2024-2025版高中数学第三章不等式3.1.2不等式的性质学案新人教A版必修5

PAGE第2课时不等式的性质学习目标1.驾驭不等式的性质及其成立的条件.(数学抽象、数学建模)2.能利用不等式的性质比较大小、证明不等式.(逻辑推理、数学运算)【必备学问·自主学习】导思不等式有哪些性质?不等式的性质名称式子表示性质1对称性a>b⇔b<a性质2传递性a>b,b>c⇒a>c性质3可加性a>b⇔a+c>b+c性质4可乘性a>b,c>0⇒ac>bca>b,c<0⇒ac<bc性质5同向不等式可加a>b,c>d⇒a+c>b+d性质6同向同正不等式可乘QUOTE⇒ac>bd性质7正数不等式乘方a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1)性质8正数不等式开方a>b>0⇒QUOTE>QUOTE(n∈N,n≥2)若a,b∈R,a>b,那么a3>b3肯定成立吗?提示:肯定成立,因为函数f(x)=x3在R上是增函数,所以a>b时,a3>b3.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)若a>b,则ac2>bc2. ()(2)若a>b,c>d,则ac>bd. ()(3)若a>b,则an>bn(n∈N,n≥1). ()提示:(1)×.当c=0时不成立.(2)×.同向同正不等式可乘.(3)×.当a>b>0时成立.2.已知a>b,c>d,且cd≠0,则 ()A.ad>bc B.ac>bcC.a-c>b-d D.a+c>b+d【解析】选D.a,b,c,d的符号未确定,解除A,B两项;同向不等式相减,结果未必是同向不等式,解除C项,故选D项.3.(教材二次开发:习题改编)若|a|<|b|,则QUOTE

QUOTE(n∈N且n>1).【解析】因为|b|>|a|≥0,所以由不等式的性质可得QUOTE<QUOTE.答案:<【关键实力·合作学习】类型一利用不等式的性质推断不等式(逻辑推理、数学建模)1.下列命题中,正确的是 ()A.若a>b,c>d,则a>cB.若ac>bc,则a>bC.若QUOTE<QUOTE,则a<bD.若a>b,则|a|>|b|2.若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是 ()A.QUOTE<QUOTEB.a2>b2C.QUOTE>QUOTED.a|c|>b|c|3.若QUOTE<QUOTE<0,则下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b中,正确的不等式有个.

【解析】1.选C.因为QUOTE<QUOTE,又c2>0,所以a<b.2.选C.若a>b,且ab>0,则QUOTE<QUOTE,A中少条件ab>0,故A不成立.若a>b>0,则a2>b2,B中少条件b>0,故B不成立.因为a>b,且QUOTE>0,所以QUOTE>QUOTE,故C成立.D中少条件c≠0,故D不成立.3.由QUOTE<QUOTE<0,得a<0,b<0,故a+b<0且ab>0,所以a+b<ab,即①正确;由QUOTE<QUOTE<0,得QUOTE>QUOTE,两边同乘|ab|,得|b|>|a|,故②错误;由①②知|b|>|a|,a<0,b<0,那么a>b,故③错误.答案:1运用不等式的性质推断真假的技巧(1)首先要留意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不能凭想当然随意捏造性质.(2)解决有关不等式选择题时,也可采纳特值法进行解除,留意取值肯定要遵循以下原则:一是满意题设条件;二是取值要简洁,便于验证计算.【补偿训练】1.若a<b<0,则下列结论正确的是 ()A.a2<b2 B.ab<b2C.QUOTE<QUOTE D.ac>bc【解析】选C.当a<b<0时,a2>b2,故A错误,当a<b<0时,ab>b2,故B错误,当a<b<0时,0<QUOTE<1,QUOTE>1,则QUOTE<QUOTE成立,当c=0时,ac>bc不成立,故D错误.2.设a>1>b>-1,b≠0,则下列不等式中恒成立的是 ()A.QUOTE<QUOTE B.QUOTE>QUOTE C.a>b2 D.a2>2b【解析】选C.当a=2,b=-QUOTE时,满意条件.但QUOTE<QUOTE不成立,故A错误;当a>1>b>0时,QUOTE<QUOTE,故B错误;因为1>b>-1,b≠0,所以0<b2<1,则a>b2,故C正确;当a=1.1,b=0.9时,满意条件,但a2>2b不成立,故D错误.类型二利用不等式的性质证明不等式(逻辑推理、数学运算)【典例】已知c>a>b>0,求证:QUOTE>QUOTE.四步内容理解题意条件:c>a>b>0;结论:QUOTE>QUOTE.思路探求思路1:①如何证明QUOTE<QUOTE?②由QUOTE<QUOTE怎样得到QUOTE<QUOTE?思路2:要证QUOTE>QUOTE可先证明哪一个不等式.书写表达方法一:因为c>a>b>0,所以c-a>0,c-b>0.由QUOTE⇒QUOTE<QUOTE,⇒QUOTE⇒QUOTE>QUOTE;方法二:由c>a>b>0得c-b>c-a>0,又a>b>0,所以a(c-b)>b(c-a)>0,又QUOTE>0,得QUOTE>QUOTE.题后反思证明本题关键是分母怎样变换出来,第一步先证明什么.利用不等式的性质证明不等式的两留意(1)记准、记熟:利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题肯定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并留意在解题中敏捷精确地加以应用.(2)留意条件:应用不等式的性质进行推导时,应留意紧扣不等式的性质成立的条件,且不行省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.1.a>b>0,c<0求证:QUOTE>QUOTE.【证明】因为a>b>0,所以ab>0,QUOTE>0.于是a·QUOTE>b·QUOTE,即QUOTE>QUOTE.由c<0,得QUOTE>QUOTE.2.已知a>b>0,c<d<0,e<0.求证:QUOTE>QUOTE.【证明】因为c<d<0,所以-c>-d>0,又因为a>b>0,所以a+(-c)>b+(-d)>0,即a-c>b-d>0,所以0<QUOTE<QUOTE,又因为e<0,所以QUOTE>QUOTE.【拓展延长】利用不等式性质求代数式的范围要留意的问题(1)恰当设计解题步骤,合理利用不等式的性质.(2)运用不等式的性质时要切实留意不等式性质的前提条件,如由a>b及c>d,推不出ac>bd;由a>b,推不出a2>b2等.【拓展训练】若a>b>0,c<d<0,e<0,求证:QUOTE>QUOTE.【解题指南】结合不等式的性质化简证明.【证明】因为c<d<0,所以-c>-d>0,又a>b>0,所以a-c>b-d>0,则(a-c)2>(b-d)2>0,即QUOTE<QUOTE,又e<0,所以QUOTE>QUOTE.【补偿训练】若bc-ad≥0,bd>0,求证:QUOTE≤QUOTE.【证明】QUOTE⇒QUOTE≥QUOTE⇒QUOTE+1≥QUOTE+1⇒QUOTE≥QUOTE⇒QUOTE≤QUOTE.类型三利用不等式的性质求范围(逻辑推理、数学运算)角度1利用性质干脆求范围

【典例】已知-1<a<b<1,则a-b的取值范围是.

【思路导引】利用不等式的性质构造a-b求范围.【解析】因为-1<a<1,-1<b<1,所以-1<-b<1,所以-1-1<a-b<1+1,所以-2<a-b<2,又a<b,所以a-b<0.答案:(-2,0)将本例的条件改为“-QUOTE≤a<b≤QUOTE”,试求QUOTE的取值范围.【解析】因为-QUOTE≤a<b≤QUOTE,所以-QUOTE≤QUOTE<QUOTE,-QUOTE<QUOTE≤QUOTE,所以-QUOTE≤-QUOTE<QUOTE,所以-QUOTE≤QUOTE<QUOTE.又a<b,所以QUOTE<0,所以-QUOTE≤QUOTE<0.角度2整体构造求范围

【典例】已知π<α+β<QUOTE,-π<α-β<-QUOTE,则2α-β的取值范围是.

【思路导引】利用α+β,α-β表示出2α-β后求范围.【解析】令2α-β=x(α+β)+y(α-β),即2α-β=(x+y)α+(x-y)β,所以QUOTE解得QUOTE因为QUOTE<QUOTE<QUOTE,-QUOTE<QUOTE<-QUOTE,所以-π<2α-β<QUOTE.答案:QUOTE利用不等式的性质求取值范围的策略(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,最终利用一次不等式的性质进行运算,求得待求的范围.(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减),这种转化不是等价变形,假如在解题过程中多次运用这种转化,就有可能扩大其取值范围.1.若α,β满意-QUOTE<α<β<QUOTE,则2α-β的取值范围是 ()A.-π<2α-β<0 B.-π<2α-β<πC.-QUOTE<2α-β<QUOTE D.0<2α-β<π【解析】选C.因为-QUOTE<α<QUOTE,所以-π<2α<π,又-QUOTE<β<QUOTE,所以-QUOTE<-β<QUOTE,所以-QUOTE<2α-β<QUOTE.又α-β<0,α<QUOTE,所以2α-β<QUOTE.故-QUOTE<2α-β<QUOTE.2.若-2≤x+y≤2且-1≤x-y≤1,则z=4x+2y的范围是.

【解析】设4x+2y=a(x+y)+b(x-y)=(a+b)x+(a-b)y,则QUOTE,解得a=3,b=1,即4x+2y=3(x+y)+(x-y),因为-2≤x+y≤2且-1≤x-y≤1,所以-6≤3(x+y)≤6且-1≤x-y≤1,则-7≤3(x+y)+(x-y)≤7.答案:[-7,7]【课堂检测·素养达标】1.若a>b且c∈R,则下列不等式中肯定成立的是 ()A.ac>bc B.a2>b2C.a+c>b+c D.ac2>bc2【解析】选C.对于A,当c<0时不成立;对于B,当0>a>b时不成立;对于D,当c=0时不成立;C正确.2.已知-QUOTE<A<QUOTE,-π<B<QUOTE,则2A-QUOTEB的取值范围是.

【解析】因为-QUOTE<A<QUOTE,所以-π<2A<π.因为-π<B<QUOTE,所以-QUOTE<-QUOTEB<QUOTE.所以-QUOTE<2A-QUOTEB<QUOTE.答案:QUOTE3.(教材二次开发:练习改编)若a>b>0,c>d>0,则QUOTE

QUOTE.【解析】因为a>b>0,c>d>0,所以ac>bd,所以QUOTE-QUOTE=QUOTE>0,则QUO