2024-2025学年新教材高中数学第十章复数单元素养评价练习含解析新人教B版必修第四册

PAGE单元素养评价(二)(第十章)(120分钟150分)一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知a,b∈R,i是虚数单位.若a+i=2-bi,则(a+bi)2= ()A.3-4i B.3+4iC.4-3i D.4+3i【解析】选A.由a+i=2-bi可得a=2,b=-1,则(a+bi)2=(2-i)2=3-4i.2.复数z满意(-1+i)z=(1+i)2,其中i为虚数单位,则在复平面上复数z对应的点位于 ()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选D.z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=1-i,故z在复平面内对应的点的坐标为(1,-1),位于第四象限.3.(2024·全国Ⅲ卷)复数QUOTE·(1+i)=1-i,则z= ()A.1-i B.1+i C.-i D.i【解析】选D.因为QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-i,所以z=i.4.(2024·合肥高一检测)复数z满意z(1-i)=QUOTE,则复数z的实部是 ()A.-1 B.1 C.-QUOTE D.QUOTE【解析】选D.依题意QUOTE=QUOTE,所以z=QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTEi,故z的实部为QUOTE.5.(2024·亳州高二检测)已知复数QUOTE=x+yi(a,x,y∈R,i是虚数单位),则x+2y= ()A.1 B.QUOTE C.-QUOTE D.-1【解析】选A.由题意得a+i=(x+yi)(2+i)=2x-y+(x+2y)i,所以x+2y=1,故选A.6.已知i为虚数单位,复数z1=a+2i,z2=2-i,且|z1|=|z2|,则实数a的值为 ()A.1 B.-1 C.1或-1 D.±1或0【解析】选C.因为复数z1=a+2i,z2=2-i,且|z1|=|z2|,所以a2+4=4+1,解得a=±1.7.(2024·牡丹江高一检测)i是虚数单位,复数QUOTE为纯虚数,则实数a为 ()A.2 B.-2 C.-QUOTE D.QUOTE【解析】选A.因为QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTEi,复数QUOTE为纯虚数,所以QUOTE解得a=2.8.复数2+i与复数QUOTE在复平面上的对应点分别是A,B,若O为坐标原点,则∠AOB等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.因为QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTE,所以它在复平面上的对应点为BQUOTE,而复数2+i在复平面上的对应点是A(2,1),明显AO=QUOTE,BO=QUOTE,AB=QUOTE.由余弦定理得cos∠AOB=QUOTE=QUOTE,所以∠AOB=QUOTE.二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.下列各式的运算结果为纯虚数的是 ()A.(1-i)2 B.i2(1-i)C.(1+i)2 D.i(1+i)【解析】选AC.(1-i)2=-2i,-2i是纯虚数,故A正确;i2(1-i)=-(1-i)=-1+i,不是纯虚数,解除B;i(1+i)=-1+i,不是纯虚数,解除D;(1+i)2=2i,2i是纯虚数.故C正确.10.已知a∈N,i为虚数单位,复数z=QUOTE+i,若|z|<QUOTE,则a的值可能为 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选ABC.z=QUOTE+i=QUOTE+i=QUOTE+i=QUOTE+QUOTEi,由|z|<QUOTE得QUOTE<QUOTE得a2-2a-3<0,所以-1<a<3,又a∈N,所以a=0,1,2.11.(2024·海南高一检测)已知x,y∈R,i为虚数单位,且QUOTEi-y=-1+2i,复数z=QUOTE,则以下结论正确的是 ()A.z的虚部为-2i B.z的模为2C.z的共轭复数为2i D.z对应的点在第四象限【解析】选BC.因为QUOTEi-y=-1+2i,所以QUOTE解得QUOTE所以z=QUOTE=-2i.对于A,z的虚部为-2,A错误;对于B,QUOTE=2,B正确;对于C,z的共轭复数为2i,C正确;对于D,z对应的点为QUOTE,不在第四象限,D错误.12.(2024·江阴高一检测)已知i为虚数单位,则下面说法正确的是 ()A.若复数z=3+i,则QUOTE=QUOTE-QUOTEB.复数z满意QUOTE=1,z在复平面内对应的点为QUOTE,则x2+QUOTE=1C.若复数z1,z2满意z1=QUOTE,则z1z2≥0D.复数z=1-3i的虚部是3【解析】选ABC.由QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTE,故A正确;由z在复平面内对应的点为QUOTE,则QUOTE=QUOTE=1,即QUOTE=1,则x2+QUOTE=1,故B正确;设复数z1=a+bi,则z2=a-bi,所以z1z2=QUOTE=a2+b2≥0,故C正确;复数z=1-3i的虚部是-3,故D不正确.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=,z1+z2=.

【解析】因为(2,-3)关于原点的对称点是(-2,3),所以z2=-2+3i.z1+z2=2-3i+(-2+3i)=0.答案:-2+3i014.设复数a+bi(a,b∈R)的模为QUOTE,则(a+bi)(a-bi)=.

【解析】因为|a+bi|=QUOTE=QUOTE,所以(a+bi)(a-bi)=a2+b2=3.答案:315.(2024·西宁高一检测)设z-2i=QUOTE,则QUOTE=.

【解析】因为z-2i=QUOTE=QUOTE=-i,所以z=2i-i=i,则|z|=1.答案:116.已知z,ω为复数,(1+3i)z为纯虚数,ω=QUOTE,且|ω|=5QUOTE,则ω=.

【解析】由题意设(1+3i)z=ki(k≠0且k∈R),则ω=QUOTE.因为|ω|=5QUOTE,所以k=±50,故ω=±(7-i).答案:±(7-i)四、解答题(本大题共6小题,共70分.)17.(10分)已知复数z1=2-3i,z2=QUOTE.求:(1)z1z2.(2)QUOTE.【解析】z2=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=1-3i.(1)z1z2=(2-3i)(1-3i)=-7-9i.(2)QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTEi.18.(12分)已知复数z=(1-i)2+1+3i.(1)求|z|.(2)若z2+az+b=QUOTE,求实数a,b的值.【解析】z=(1-i)2+1+3i=-2i+1+3i=1+i.(1)|z|=QUOTE=QUOTE.(2)z2+az+b=(1+i)2+a(1+i)+b=2i+a+ai+b=a+b+(a+2)i,因为QUOTE=1-i,所以a+b+(a+2)i=1-i,所以QUOTE所以a=-3,b=4.19.(12分)(2024·西藏高一检测)复数z=-QUOTE+(6m-16)i.(i为虚数单位)(1)若复数z为纯虚数,求实数m的值;(2)若复数z对应的点在第三象限或第四象限,求实数m的取值范围.【解析】(1)z=-QUOTE+(6m-16)i,因为复数z为纯虚数,所以QUOTE所以m=-2;(2)因为复数z对应的点在第三象限或第四象限,所以QUOTE解得QUOTE因此实数m的取值范围为QUOTE∪(-8,-2)∪QUOTE.20.(12分)已知复数z满意(1+2i)QUOTE=4+3i.(1)求复数z.(2)若复数(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.【解析】(1)因为(1+2i)QUOTE=4+3i,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2-i,所以z=2+i.(2)由(1)知z=2+i,则(z+ai)2=(2+i+ai)2=[2+(a+1)i]2=4-(a+1)2+4(a+1)i,因为复数(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限,所以QUOTE解得-1<a<1,即实数a的取值范围为(-1,1).21.(12分)(2024·南京高一检测)已知z是复数,z+2i与QUOTE均为实数(i为虚数单位),且复数QUOTE在复平面上的对应点在第一象限.(1)求z的值;(2)求实数a的取值范围.【解析】(1)设z=x+yiQUOTE,又z+2i=x+QUOTEi,且为实数,所以y+2=0,解得y=-2.所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因为QUOTE为实数,所以QUOTE=0,解得x=4,所以z=4-2i.(2)因为复数QUOTE=QUOTE=16-QUOTE+8QUOTEi=QUOTE+QUOTEi,所以QUOTE解得2<a<6.即实数a的取值范围是QUOTE.22.(12分)已知复数z满意|z|=QUOTE,z2的虚部是2.(1)求复数z.(2)设z,z2,z-z2在复平面上