2024-2025学年新教材高中数学第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.2第1课时函数的单调性与证明学案含解析新人教B版必修第一册

PAGE3．1.2函数的单调性第1课时函数的单调性与证明内容标准学科素养1.利用函数图像，直观地视察函数的单调性．直观想象数学抽象逻辑推理2.利用特别函数，理解函数单调性及几何意义．3.会依据函数的单调性定义，推断、证明单调性.授课提示：对应学生用书第45页[教材提炼]学问点一增函数与减函数的定义一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D.(1)假如对随意x1，x2∈I，当x1＞x2，都有f(x1)＞f(x2)，则称y＝f(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增)．(2)假如对随意x1，x2∈I，当x1＞x2，都有f(x1)＜f(x2)，则称y＝f(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减)．学问点二函数的单调区间当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间．学问点三函数的平均改变率1．一般地，若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对随意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(y2－y1,x2－x1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(即\f(Δf,Δx)＝\f(fx2－fx1,x2－x1)))，则：(1)y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是eq\f(Δy,Δx)＞0在I上恒成立；(2)y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是eq\f(Δy,Δx)＜0在I上恒成立．2．一般地，当x1≠x2时，称eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均改变率．[自主检测]1．如图所示的函数中在其定义域上是增函数的个数是()A．0 B．1C．2 D．4解析：只有①是增函数．答案：B2．对于函数y＝f(x)，在给定区间上有两个数x1，x2，且x1＜x2，使f(x1)＜f(x2)成立，则y＝f(x)()A．肯定是增函数B．肯定是减函数C．可能是常数函数D．单调性不能确定解析：依据函数单调性概念可知，y＝f(x)的单调性不确定．答案：D3．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是()A．y＝3－x B．y＝x2＋1C．y＝eq\f(1,x) D．y＝－|x|答案：B4．函数y＝|x－1|的增区间为________．答案：[1，＋∞)授课提示：对应学生用书第45页探究一由函数图像求函数的单调区间[例1]作出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图像并指出它的单调区间．[解析]依据肯定值的意义，y＝－x2＋2|x|＋3＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋3，x≥0,－x2－2x＋3，x<0))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－12＋4，x≥0,－x＋12＋4，x<0)).作出函数图像如图所示，依据图像可知，函数在区间(－∞，－1]，[0,1]上是增函数；函数在区间(－1,0)，(1，＋∞)上是减函数．一般来说，求函数单调区间可以依据函数的图像．在某区间内，由左至右图像是上升的，该区间就是函数的单调增区间；某区间内，由左到右图像是下降的，该区间就是函数的单调减区间．将本例函数改为f(x)＝|x2＋2x－3|，求f(x)的单调区间．解析：令g(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.先作出g(x)的图像，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图像翻到x轴上方就得到f(x)＝|x2＋2x－3|的图像，如图所示．由图像易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．探究二函数单调性的证明或推断[例2]依据定义证明y＝x＋eq\f(1,x)在(0,1)上是单调递减．[证明]∀x1，x2∈(0,1)，且x1＜x2，有y1－y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(1,x1)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))＝(x1－x2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)－\f(1,x2)))＝(x1－x2)＋eq\f(x2－x1,x1x2)＝eq\f(x1－x2,x1x2)(x1x2－1)．由于0＜x1＜1,0＜x2＜1.∴0＜x1x2＜1.∴x1x2－1＜0.又由x1＜x2，∴x1－x2＜0，∴eq\f(x1－x2,x1x2)(x1x2－1)＞0，∴y1＞y2，∴函数y＝x＋eq\f(1,x)在(0,1)上是减函数．证明或推断函数单调性的方法主要是定义法(在解决选择或填空题时有时可用图像法)，利用定义法证明或推断函数单调性的步骤是：探究三利用单调性求参数[例3]已知函数f(x)＝ax2－x＋1在(－∞，2)上单调递减，求a的取值范围．[解析]当a＝0时，f(x)＝－x＋1在(－∞，2)上单调递减，符合题意；当a≠0时，要使f(x)在(－∞，2)上单调递减，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,－\f(－1,2a)≥2，))解得0＜a≤eq\f(1,4).综上，a的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))).依据函数的单调性求参数取值范围的方法(1)利用单调性的定义：设单调区间内x1＜x2，由f(x1)－f(x2)＜0(或f(x1)－f(x2)＞0)恒成立求参数范围．(2)利用详细函数本身所具有的特征：如二次函数单调区间被对称轴一分为二，依据对称轴相对于所给单调区间的位置求参数．需留意：若一函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的随意子集上也是单调的．若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b－1x＋b－1，x＞0，,－x2＋2－bx，x≤0))在R上为增函数，则实数b的取值范围是________．解析：要使此分段函数为R上的增函数，必需使函数g(x)＝(2b－1)x＋b－1在(0，＋∞)上是增函数；函数h(x)＝－x2＋(2－b)x在(－∞，0]上是增函数，且满意h(0)≤g(0)，依据一次函数和二次函数的单调性可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b－1＞0，,－\f(2－b,2×－1)≥0，,0≤b－1，))∴1≤b≤2，即实数b的取值范围是[1,2]．答案：[1,2]授课提示：对应学生用书第46页一、单调性定义的拓展及规律1.eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＞0⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)是增函数．2.eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＜0⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)是减函数．3．f(x)在区间A上是单调函数，则k＞0时，kf(x)的单调性不变；k＜0时，则相反．4．f(x)，g(x)在区间A上同单调，则f(x)＋g(x)的单调性不变．5．若f(x)在区间A上是单调函数，则eq\f(1,fx)的单调性相反，eq\r(2n,fx)(f(x)＞0)、eq\r(2n－1,fx)(n∈N*)的单调性相同．6．图像关于轴(与x轴垂直)对称的函数在它们的对称区间上的单调性相反，图像关于中心对称的函数在它们的对称区间上的单调性相同．[典例]1.判定函数y＝x2－2x＋eq\r(x－1)的单调性，并求单调区间．[解析]定义域为x≥1，函数y1＝x2－2x，y2＝eq\r(x－1)均为增函数，则y＝x2－2x＋eq\r(x－1)也为增函数，则y＝x2－2x＋eq\r(x－1)的增区间为[1，＋∞)．2．定义在R上的函数f(x)，对随意的x1，x2∈R，(x1≠x2)有eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＜0，若a＋b≤0，则有()A．f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b)B．f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)C．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)[解析]由题意知，f(x)在R上为减函数．由题意知，a≤－b，b≤－a，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，故选D.[答案]D二、对“单调区间”和“在区间上单调”两个概念理解错误而致误[典例]若函数f(x)＝x2＋2