2024-2025学年高考数学一轮复习：平面向量的数量积及运算（学生版+教师版）

第36讲平面向量的数量积及运算

知识梳理

知识点一.平面向量的数量积a

(1)平面向量数量积的定义

已知两个非零向量日与我们把数量|0||6|cos。叫做日与方的数量积(或内积)，记

作展5,即n.5=|a||B|cos。，规定：零向量与任一向量的数量积为0.

(2)平面向量数量积的几何意义

①向量的投影：|a|cos。叫做向量。在b方向上的投影数量，当。为锐角时，它是正数；

当。为钝角时，它是负数；当e为直角时，它是o.

②a小的几何意义：数量积。小等于a的长度|a|与b在。方向上射影|b|cos。的乘积.

③设B是两个非零向量，它们的夹角是0,2与B是方向相同的单位向量，

丽=扇3=5,过湿的起点A和终点8,分别作前所在直线的垂线，垂足分别为4瓦，

得到丽，我们称上述变换为向量苕向向量B投影，瓶叫做向量M在向量5上的投影向

量.记为|阳cos曲.

知识点二.数量积的运算律

已知向量a、b、c和实数X,贝I)：

①a-b=b-a；

②(2a)-b=2(ab)=a-(Ab)；

(§)(a+b)c=ac+bc.

知识点三.数量积的性质

设a、6都是非零向量，e是与6方向相同的单位向量，。是。与e的夹角，则

①e•a=a•e=|a|cos。.®a±Z(<x>aft=0.

③当a与分同向时,a-b=\a\\b\；当。与b反向时，a-b=-\a\\b\.

特别地，a•a=|a/或|a|=~Jaa.

1

"h

@COS0=—：—(|aIIZ>|7^0).⑤|a1|W|a||Z>|.

IaII*I

知识点四.数量积的坐标运算

已知非零向量a=（占，%），b=（x2,y2）,6为向量a、b的夹角.

结论几何表示坐标表示

模|a|=Naa\a\=y]x2+y2

数量积〃•办=|a1sleos6ab=%%2+%必

cos。=ab

夹角

\a\\b\Jx；+y；,在+£

的充要

ab-Q尤1尤2+%>2=0

条件

a//b的充要

a=AbQbw0)尤1%-％%=0

条件

|e"与|。|网\a-b\<\a\\b\（当且仅

1玉%+%为|WG+X-Jx；+y；

的关系当〃〃力时等号成立）

知识点五、向量中的易错点

（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且区陌||方|.

（2）当万片0时，由小B=0不能推出方一定是零向量，这是因为任一与己垂直的非零

向量5都有无B=o.

当方片。时，且。-5=小^时，也不能推出一定有5=1,当B是与G垂直的非零向量，

是另一与日垂直的非零向量时，有无5=万十=0,但6#晨

（3）数量积不满足结合律，即（口•方江•3力，这是因为3石兄是一个与工共线的向

量，而（51招是一个与a共线的向量，而々与c不一定共线，所以0•方兄不一定等于,

即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项.

（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当晨B>0且日片篇（九>0）（或苕4<0,

且商片九5（九<0））

【解题方法总结】

2

（1）5在M上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0.

（2）数量积的运算要注意4=。时，展坂=0,但小5=0时不能得到或方=0,因

为4时，也有商・B=o.

（3）根据平面向量数量积的性质：|五|=,cos6=°,商_15=值・5=0等，

团闻

所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题.

（4）若。、b、。是实数，则〃/?="二>力=c（。。0）；但对于向量，就没有这样的性

质，即若向量4、b>3满足①B二万^（4。0）,则不一定有5=^,即等式两边不能同时

约去一个向量，但可以同时乘以一个向量.

（5）数量积运算不适合结合律，即。,这是由于表示一个与

己共线的向量，小（BN）表示一个与五共线的向量，而m与^不一定共线，因此（小B）]与

5-•c）不一定相等.

必考题型全归纳

题型一：平面向量的数量积运算

例1.（2024•吉林四平•高三四平市第一高级中学校考期末）已知向量方，方满足

同=2,|昨收且不与5的夹角为:，则他+孙侬询=（）

A.6B.8C.10D.14

例2.（2024•全国•高三专题练习）已知同=6,问=3,向量力在5方向上投影向量是

4e,则为（）

A.12B.8C.-8D.2

例3.（2024•湖南长沙•周南中学校考二模）已知菱形/BCD的边长为1,

ABAD=-^,G是菱形ABCD内一点，若丽+说+祀=0,则而.艮（）

A.1B.1C.-D.2

22

变式1.（2024•云南昆明•高三昆明一中校考阶段练习）已知单位向量:工，且

<a,b）=-,若G+Z）—,。|=2，则=[=（）

A.1B.12C.-2或2D.-1或1

3

变式2.（2024•广东•校联考模拟预测）将向量加=（也,夜）绕坐标原点。顺时针旋转

75°得至而1，则赤•苑=（）

A.B.V6-V2

2

C.V6+V2D.

2

变式3.（2024•全国•高三专题练习）正方形A3CD的边长是2,E是AB的中点，则

ECED=（）

A.y/5B.3C.26D.5

变式4.（2024•天津和平•高三耀华中学校考阶段练习）如图，在AA3C中，

ABAC=,AD=2DB>P为CD上一点，且满足AP=，〃AC+geR）,若AC=3,

AB=4,则而.函的值为（）.

变式5.（2024•陕西西安•西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知向量B满足同

向共线，且W=2,卜/-0=1,则（a+B）a=（）

A.3B.15C.-3或15D.3或15

变式6.（2024•吉林长春•东北师大附中校考模拟预测）在矩形A3CD中，

43=1,4。=2,4。与瓦）相交于点。，过点A作AE，8。于E,则通.血=（）

,12r24c12、4

A.—B.—C.—D.一

252555

【解题方法总结】

（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到

解题思路.

（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征,

因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛.

（3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量力在

4

向量5方向上的投影为J.

\b\

（4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）

同：（a±b）2=a2±2ab+b1；±Z?|=a2±lab+b2；a（/?+c）=aA+ac公式都可通用

异：整式：〃力二士同网，时仅仅表示数；向量：4.5=±同忖COS6（。为Q与力的夹角）

22

\ma±nt^=^m|^|±2mH|^||Z?|cos^+n|fe|,使用范围广泛，通常是求模或者夹角.

|m（2|-|n^|<^ma±nb^<\mc^+网，通常是求\ma±最值的时候用.

题型二：平面向量的夹角

例4.（2024•河南驻马店•统考二模）若单位向量£,后满足|2£-0=逐，则向量£,5

夹角的余弦值为.

例5.（2024•四川•校联考模拟预测）若£晟是夹角为60。的两个单位向量，则

a=2ei+e^^b=-3e{+2最的夹角大小为.

例6.（2024•重庆•高三重庆一中校考阶段练习）已知向量日和方满足：同=1,忖=2,

忸-即2无5=。，则方与石的夹角为.

变式7.（2024•上海杨浦•复旦附中校考模拟预测）若向量G与石不共线也不垂直，且

c=a-[^-^\b,则向量夹角①，砂=________.

ya-bJ

变式8.（2024•上海长宁•上海市延安中学校考三模）已知是同一个平面上的向

量，若同=同=|司，且晨彼=0,济万=2,不5=1,贝。依口）=.

变式9.（2024•重庆渝中•高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知向量分满足

5=（1,-1）,|5|=1,a-b=l，则向量Z与丐的夹角大小为.

变式10.（2024•四川•校联考模拟预测）已知向量£=1+1,6）,5=（1,0）,a-b=-2,

则向量Z+B与B的夹角为.

变式11.（2024•湖南长沙•雅礼中学校考模拟预测）已知向量2=（1,2）,加=（4,2）,若非

零向量"与£,石的夹角均相等，则"的坐标为_（写出一个符合要求的答案即可）

5

【解题方法总结】

求夹角，用数量积，由a-b^a\-\b\cose得

a-bxx+yy

r2r2进而求得向量。，石的夹角.

COS0=1补出厂而

题型三：平面向量的模长

例7.（2024•湖北•荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知平面向量Z,b，2满足

a=(2,1),b=(1,2),且a_Lc.若B.c=30，则|c|=()

A.V10B.275C.572D.3石

例8.（2024•陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测）已知％,后是非零向量，

同=1,^a+2b）la,向量£在向量分方向上的投影为一,，则.

例9.（2024•海南•高三校联考期末）已知向量万，B满足。=（1,1）,忖=4,

方,（苕-6）=—2,则〔3方_.=.

变式12.（2024•四川南充•阖中中学校考二模）已知为单位向量，且满足

=A/6,贝1巾。+0=.

变式13.（2024•河南驻马店•统考三模）已知平面向量海满足同=而烟=2,且

（2a+B）.（q_B）=14,则卜+囚=.

变式14.（2024•全国•高三专题练习）已知向量乙方满足卜-.=5卜+.=忸-51

则|日=.

变式15.（2024•河南郑州•模拟预测）已知点O为坐标原点，砺

丽=（-3,4）,点尸在线段42上，且网=1,则点尸的坐标为.

变式16.（2024•广西•高三校联考阶段练习）已知2=（-2,1）,b=（4,t）,―，则

忻一0=.

【解题方法总结】

求模长，用平方，|67|=7F.

6

题型四：平面向量的投影、投影向量

例10.（2024•上海宝山•高三上海交大附中校考期中）已知向量1=（3,6）,3=（3,-4）,

则M在B方向上的数量投影为.

例11.（2024•上海虹口•华东师范大学第一附属中学校考三模）已知

£=（-2,-1）&=«加）,若向量加在向量2方向上的数量投影为石，则实数机=.

例12.（2024•全国•高三专题练习）已知向量同=6,工为单位向量，当向量£、工的夹

角等于45。时，则向量£在向量工上的投影向量是.

变式17.（2024•云南昆明•高三昆明一中校考阶段练习）已知向量万=（-1,2）,向量

方=（1,1）,则向量1在向量5方向上的投影为.

变式18.（2024•新疆喀什•统考模拟预测）已知向量2,B满足曰+4=3,同=2,

^=（0,1）,则向量£在向量分方向上的投影为.

变式19.（2024•全国•高三专题练习）已知非零向量为5满足（万-25）,且向

量方在向量。方向的投影向量是:力，则向量且与B的夹角是.

变式20.（2024•全国•模拟预测）已知向量2=（1,0））=（0,1）,3"="2=1,则向量Z在

向量之上的投影向量为.

【解题方法总结】

设日，石是两个非零向量，它们的夹角是仇。与B是方向相同的单位向量，

丽=。,9=看，过荏的起点A和终点B,分别作前所在直线的垂线，垂足分别为4,用，

得到丽，我们称上述变换为向量4向向量B投影，4瓦叫做向量力在向量5上的投影向

量.记为|a|cos0e.

题型五：平面向量的垂直问题

例13.（2024•四川巴中•南江中学校考模拟预测）已知向量2=。,2）3=（-2,3）,若

（新+B）_L（万一5）,则左=.

例14.（2024•全国•高三专题练习）已知向量£,b，2,其中B为单位向量，且

alb，若R=，则（力）"2"）.

7

注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.

例15.（2024•江西宜春•高三校联考期末）设非零向量£,6的夹角为。.若忖=2网，

且（a+2办）_L（3a—,贝!J6=.

变式21.（2024•江西南昌•高三统考开学考试）已知两单位向量的夹角为三，若

a=ei+2e2,b=ei+me2,且£_1石，则实数加=.

变式22.（2024•海南•校考模拟预测）已知2为单位向量，向量石在向量£上的投影向量

是%,且（3£+二），3,则实数X的值为.

变式23.（2024•全国•模拟预测）向量拓=（1,尤）万=（2,1）,且方“而+同，则实数X=

变式24.（2024•全国•高三专题练习）非零向量2=（cos（a-6）,sin6），5=（1,sina）,若

aLb，则tanatan/?=.

变式25.（2024•河南开封•校考模拟预测）已知向量2=（-2,3）了=（4,-5）,若

（几a-则力=.

变式26.（2024•海南海口•海南华侨中学校考模拟预测）已知向量2,3不共线，

£=（2,1）,力仅向，写出一个符合条件的向量石的坐标：.

变式27.（2024•河南开封•统考三模）已知向量2=石=（1,3）,若Q-为，况

则祖=.

【解题方法总结】

=XVX2+%%=0

题型六：建立坐标系解决向量问题

例16.（2024•全国•高三专题练习）已知|£|=g|=|"|=1,£3=-；，

c=xa+yb（x,eR）,则冗一V的最小值为（）

A.-2B.一拽C.-V3D.-1

3

例17.（2024•安徽合肥•合肥市第七中学校考三模）以边长为2的等边三角形45。每个

8

顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已

IT

知尸为弧/C上的一点，且=则丽.丽的值为（）

0

B.4+72

C.4-273D.4+273

例18.（2024•黑龙江哈尔滨•哈师大附中校考模拟预测）下图是北京2022年冬奥会会徽

的图案，奥运五环的大小和间距如图所示.若圆半径均为12,相邻圆圆心水平路离为26,

两排圆圆心垂直距离为11.设五个圆的圆心分别为0、口、Q、Q，则

西•（瓯+M）的值为（）

D.-242

变式28.（2024•陕西安康•陕西省安康中学校考模拟预测）如图，在圆内接四边形

ABCD^,/54D=120O,AB=AD=1,AC=2.若E为CD的中点，则丽.丽的值为()

-1D.3

变式29.（2024•安徽合肥•合肥市第八中学校考模拟预测）如图，已知△A5C是面积为

9

的等边三角形，四边形MNPQ是面积为2的正方形，其各顶点均位于AA3C的内部及

三边上，且恰好可在AABC内任意旋转,则当题.存=0时，|苑+加/=()

C.3+2&D.2+3指

变式30.(2024•河南安阳•统考三模)已知正方形ABCD的边长为1,。为正方形的中心,

E是AB的中点，则瓦.而=()

3

C.D.1

4

y八

D(°，。)C(a,a)

-------------------------------

AB(。,0)

边长为。的等边三角形已知夹角的任意三角形正方形

y

D(bcosQ,bsinB)C(a+bcosQ,加in。)

B(a,0)

10

平行四边形直角梯形等腰梯形圆

建系必备（1）三角函数知识彳=/8$。，了=七苗。；（2）向量三点共线知识

OC=AOB+（1-A）OA.

题型七：平面向量的实际应用

例19.（2024•江西宜春•高三校考阶段练习）一质点受到同一平面上的三个力耳，F2,

F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知《，工成120。角，且M，尼的大小都为

6牛顿，则工的大小为牛顿.

例20.（2024•内蒙古赤峰•统考三模）如图所示，把一个物体放在倾斜角为30。的斜面

上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力存，垂直斜面向上的弹力耳，沿着

斜面向上的摩擦力心已知：同=80gN,同=16ON,则£的大小为.

例21.（2024•全国•高三专题练习）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于

平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是耳，工，且耳，工与水平夹角均为45。，

园=|同=4夜N,则物体的重力大小为N.

变式31.（2024•全国•高三专题练习）两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所

示，则耳与巴大小之比为.

11

Fi

F2

书

变式32.(2024•浙江•高三专题练习)一条渔船距对岸46%以2切/的速度向垂直于

对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际行程为8物?，则河水的流速是km/h.

【解题方法总结】

用向量方法解决实际问题的步骤

第36讲平面向量的数量积及运算

知识梳理

知识点一.平面向量的数量积a

(1)平面向量数量积的定义

已知两个非零向量日与我们把数量|0||6|cos。叫做日与方的数量积(或内积)，记

作展5,即n.5=|a||B|cos。，规定：零向量与任一向量的数量积为0.

(2)平面向量数量积的几何意义

①向量的投影：|a|cos。叫做向量。在b方向上的投影数量，当。为锐角时，它是正数；

当。为钝角时，它是负数；当e为直角时，它是o.

②a小的几何意义：数量积。小等于a的长度|a|与b在。方向上射影|b|cos。的乘积.

③设B是两个非零向量，它们的夹角是仇。与B是方向相同的单位向量，

砺=%历=5,过通的起点A和终点2,分别作国所在直线的垂线，垂足分别为4,男，

得到丽，我们称上述变换为向量苕向向量B投影，瓶叫做向量日在向量日上的投影向

量.记为|阳cos曲.

知识点二.数量积的运算律

已知向量a、b、c和实数X,贝I)：

①a-b=b-a；

②(2a)-b=2(ab)=a-(Ab)；

(§)(a+b)c=ac+bc.

知识点三.数量积的性质

设a、6都是非零向量，e是与6方向相同的单位向量，。是。与e的夹角，则

@e-a=a-e=\a\cos0.②a_L60a1=0.

③当a与1同向时,a-b=\a\\b\；当。与b反向时，a-b=-\a\\b\.

特别地，a•a=|a/或|a|=~Jaa.

1

"h

@COS0=—：—(|aIIZ>|7^0).⑤|a1|W|a||Z>|.

IaII*I

知识点四.数量积的坐标运算

已知非零向量a=（占，%），b=（x2,y2）,6为向量a、b的夹角.

结论几何表示坐标表示

模|a|=Jaa\a\=y]x2+y2

〃•办=1〃1sleose

数量积ab=xxx2+.%

ab

COS0=2,3产

夹角

\a\\b\Jx；+y；,在+£

的充要

ab-Q尤1尤2+%>2=0

条件

a//b的充要

a-AbCbwO)尤1%-％%=0

条件

|e"与|。|网\a-b\<\a\\b\（当且仅

1%9+X%IW+y；-收+y；

的关系当〃〃力时等号成立）

知识点五、向量中的易错点

（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且|也不区5|出|.

（2）当万片0时，由小B=0不能推出方一定是零向量，这是因为任一与己垂直的非零

向量5都有无B=o.

当方片。时，且2=M吃时，也不能推出一定有方=1,当5是与a垂直的非零向量，

是另一与日垂直的非零向量时，有无5=万十=0,但6#晨

（3）数量积不满足结合律，即（万•方兄•0?，这是因为3石兄是一个与工共线的向

量，而（51招是一个与a共线的向量，而々与c不一定共线，所以（a•方兄不一定等于,

即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项.

（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当晨B>0且日片篇（九>0）（或苕4<0,

且商片九5（九<0））

【解题方法总结】

2

(1)5在M上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0.

(2)数量积的运算要注意4=。时，展坂=0,但小5=0时不能得到或方=0,因

为4_LB时，也有a-b=0.

(3)根据平面向量数量积的性质：|五|=,cos6=°,商_15=值・5=0等，

团闻

所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题.

(4)若。、b、。是实数，则〃/?="二＞力=c(。。0)；但对于向量，就没有这样的性

质，即若向量M、5、^满足。％=万］(商。0),则不一定有B二^,即等式两边不能同时

约去一个向量，但可以同时乘以一个向量.

(5)数量积运算不适合结合律，即(商•分)•1安如(加3)，这是由于(商丘)•只表示一个与

己共线的向量，小(BN)表示一个与五共线的向量，而M与^不一定共线，因此(小B)］与

5-•c)不一定相等.

必考题型全归纳

题型一：平面向量的数量积运算

例1.(2024•吉林四平•高三四平市第一高级中学校考期末)已知向量方，方满足

同=2,|昨收且不与5的夹角为:，则他+孙侬询=()

A.6B.8C.10D.14

【答案】B

【解析】'

由|司=2,向=6,且力与5的夹角为g

0

所以(4+另).(2々一回=2a+a,b-b

=2口+|2|*|^|cos-^--|&|

.2

=2X22+2X^X^--(V3)=8.

故选：B.

例2.(2024•全国•高三专题练习)已知同=6,忖=3,向量方在5方向上投影向量是

4工，则9.E为()

3

A.12B.8C.-8D.2

【答案】A

【解析】力在5方向上投影向量为B|cos（9."=4",

.,.同cos。=4,a-b=|a||/?|cos^=4x3=12.

故选：A

例3.（2024•湖南长沙•周南中学校考二模）已知菱形/BCD的边长为1,

—,—.1

AB-AD=--,G是菱形/8Q）内一点，若G4+通+祀=0,则3s.须=（）

A.1B.1C.-D.2

22

【答案】A

【解析】在菱形6菱形/BCD的边长为1,ABAD=-^,

所以4.而=|题,而|cosNBAO=cosZBAO=-g,

所以/84。=120。，则“LBC为等边三角形，因为G1+GS+交=0，

所以笈=-（通+武），设点M为BC的中点，则函=一2加，所以玄〃话，

所以G,A,M三点共线，所以/”为8c的中线，

所以回卜[ijT，

同理可得点45,4C的中线过点G,

0

所以点G为”RC的重心,故|AG|=§|AM|=

在等边AABC中，〃为8c的中点，则N2AAf=30°,

所以和.丽=|恁，而kos/BAMu^xlx亨=g

故选：A

变式1.（2024•云南昆明•高三昆明一中校考阶段练习）已知单位向量J],且

4

〈。工〉=1'若G+Z)J_1。|=2，则()

A.1B.12C.一2或2D.-1或1

【答案】D

_._.—>—>-TT-TT

【解析】由题意单位向量二工，且〈。力〉=方，可知1+7与：的夹角为《，

因为他+可，心所以仅用=；或技，

故当缶,司=三时，a.c=|a|-|c|cos(a.c)=lx2x1=l；

当伍0〉=g时，a-c=|a|-|c|cos(a.c)=lx2x(-1)=-l,

故选：D.

变式2.(2024•广东•校联考模拟预测)将向量炉=(血,3)绕坐标原点。顺时针旋转

75。得到丽-则丽・西=()

A.如二包B.V6-V2

2

C.V6+V2D.

2

【答案】B

【解析】因为赤=(叵伺，所以幽=J(⑹'+(@2=2,

因为向量不绕坐标原点。顺时针旋转75°得到OPt，

所以向量而与向量时的夹角为75。，且师12,

所以存.西=|西•研］cos75。=2x2xcos(300+45。)

=4(TXT4XT)=V"-^-

故选：B

变式3.(2024•全国•高三专题练习)正方形A5CQ的边长是2,E是A3的中点，则

5

ECED=（）

A.亚B.3C.2V5D.5

【答案】B

【解析】方法一：以｛荏，砌为基底向量，可知同卜画=2,适而=0,

--->--->---->I--->---->---、--->--->I--->---->

则EC=EB+BC=—AB+AD,ED=EA+AD=——AB+AD,

22

所以反1.丽J；方+呵9+呵/+而2=_]+4=3；

方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，

则E（l,0）,C（2,2）,£>（0,2）,可得配=（1,2）,方=（-1,2）,

所以反•茴=-1+4=3；

方法三：由题意可得：ED=EC=ECD=2,

DF1+CF1-DC25+5-43

在ACDE中，由余弦定理可得cosNDEC="。"厂=（

2DE-CE2xV5xV55

所以反•前=|就八码cosZDEC=V^x^x|=3.

故选：B.

变式4.（2024•天津和平•高三耀华中学校考阶段练习）如图，在AA3C中，

ABAC=y,而=2而，p为CD上一点,且满足Q=〃z恁+ga^（wieR）,若AC=3,

AB=4,则Q.函的值为（）.

6

c

A.-3

【答案】C

__2__?__►1__.

即而二—前k且CkD=—四+—乙?,

333

31

又C、尸、。共线，有机+7=1,即根=：,

44

^AP=\AC+\AB,1^CB=CA+AB,

42

__.2.1►2>2__•__►

；.CD^-(CA+AB)+-CA=CA+-AB=-AB-AC

3333

1.1—.2—■—■1—.21.—.1—.216913

••.AP.CI5=(-AC+-ABX-AB-AC)^-AB——ABAC——AC=一一2——=一.

4233343412

故选：C

变式5.(2024•陕西西安•西北工业大学附属中学校考模拟预测)已知向量Z，后满足同

向共线，且利=2,口一加1,则(£+»£=()

A.3B.15C.-3或15D.3或15

【答案】D

【解析】因为向量£,5满足同向共线，所以设Z="(彳>0),

又因为卜=1,M=2,所以,b-0=|(/l-1)/?|=(A-1)"|/>|=4(4-1)2=1,

所以力=彳或2=3，即所"或a=

①当£二，时，（Z+B）33

24

_一3—5315

②当〃=,8时,b=15；

2

所以（Z+冲的值为3或15.

故选：D.

7

变式6.(2024•吉林长春•东北师大附中校考模拟预测)在矩形A3CD中，

43=1,4。=2,4。与8。相交于点。，过点A作于E,则通.正=()

4

C.乜D.

55

【答案】D

【解析】建立如图所示直角坐标系:

则4(0,0)((2,0),。(2,1),

设E(x,y),则通二(x,y-l),BE=(x,y),丽二(2,1)

vAE_LBD/.AE_L而且屉〃而，

x=—

2x+y-l=0解得?

x-2y=0

21—►24-

E(丁q),AE=EC=

在矩形A5CQ中，。为3。的中点,

所以。■

,由A(O,1),

所以而=

—►—►24

AEAO=-xl+

55

故选：D.

【解题方法总结】

(1)求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到

解题思路.

(2)平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，

8

因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛.

（3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量M在

向量5方向上的投影为妙.

\b\

（4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）

同：（a±b）2=a2±2ab+b1；|tz±Z?|=yja2±2ab+b2；〃（Z?+c）=ab+ac公式都可通用

异：整式：〃・3=±同网，1d仅仅表示数；向量：五•5=±同碓05。（。为a与办的夹角）

|痴±回=J/同间cose+Nq,使用范围广泛，通常是求模或者夹角.

|mtz|-|nS|<\ma±nb^<\mc^+网，通常是求\ma±最值的时候用.

题型二：平面向量的夹角

例4.（2024•河南驻马店•统考二模）若单位向量Z,石满足|2Z-q=而，则向量£,b

夹角的余弦值为.

【答案】-7/-0.25

【解析】设向量Z，石的夹角为。，因为|2〃-囚=e，所以4）2_47万+片=6・

又W=W=1,所以4—4cos9+l=6,所以cos8=-；.

故答案为：-:

例5.（2024•四川•校联考模拟预测）若录，晟是夹角为60。的两个单位向量，则

M=2,+4与办=—3q+2g的夹角大小为.

2

【答案】120。/铲

【解析】晟是夹角为60。的两个单位向量，则74=同同cos6（F=；,

u•b=（2q+4）•（-3q+24）-—6,+6•4+2与=-6+—+2=——,

Ia|=\/（2,+4）=Q4C]+4q,4+4=A/4+4X—F1=y/7,

9-12xl+4=V7,

|5|二

2

9

/_a-b1

/.cos(a,b)=-----=——,

\a\-\b\2

■：0°<<Zz,fe）<180°,{a,b）=l20°.

故答案为：120°

例6.（2024•重庆•高三重庆一中校考阶段练习）已知向量日和5满足：同=1,忖=2,

\2a-b\-2a-b=O,则益与日的夹角为.

7T

【答案】y/60°

【解析】记向量£和万的夹角为凡将忸叫=2泊5平方得到：

41a|2+1|2-41«|||cos0=41a|21ft|2cos20^-2cos2d+cos0-1=0^-cosgK-1,

又因为悔-方卜2a!b20ncos"-1,即cos。=：=>0=%.

故答案为：—.

变式7.（2024•上海杨浦•复旦附中校考模拟预测）若向量4与5不共线也不垂直，且

c=a-[^-^\b,则向量夹角〈商，羚=________.

\a-bJ

【答案】I

【解析】由题意可得：益।m（十一（云3"）=1-[5乂（&.=02—12=0,

故：a±c,即向量a与"的夹角为].

故答案为