高考数学（理）一轮讲义：导数与函数的综合问题

第16讲导数与函数的综合问题

2019曷考解读GAOKAOJIEDU®◎。

考纲要求考情分析命题趋势

1.利用导数研究函数的单2023•全国卷I,21

调性、极(最)值，并会解决与之2023•全国卷III,21考查导数在研究函数中

有关的方程(不等式)问题.2023•四川卷,21的应用，并应用导数的方法探求一

2.会利用导数解决某些简些与不等式、函数、数列有关的综

分值：12~14分

单的实际问题.合问题，题目难度较大.

板块~/考点清单•课前1查漏

知识梳理/

1.生活中的优化问题

通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定

的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点.

2.利用导数解决生活中的优化问题的基本思路

|优化问题|~-I用函数表个数学问题|

|优化.题答案IT用导数解』数学问题|

3.导数在研究方程(不等式)中的应用

研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式；

反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与

最值的问题，利用导数进行研究.

4.导数在综合应用中转化与化归思想的常见类型

(1)把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题；

(2)把证明不等式问题转化为函数的单调性问题；

(3)把方程解的问题转化为函数的零点问题.

对点检测/

1.思维辨析(在括号内打“J”或“x”).

(1)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解.(x)

(2)函数八尤)=了3+以2+6x+c的图象与无轴最多有3个交点，最少有一个交点.(V)

(3)函数F(无)=/(x)—g(x)的最小值大于0,则/(x)>g(x).(V)

(4)”存在b),使7(x)2〃”的含义是“任意工£(〃，b),使危)2。”.(x)

2.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量M单位：万件)的函数关系式为y=—$+81尤一

234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(C)

A.13万件B.411万件

C.9万件D.7万件

解析y'=一9+81,令y=0得x=9或X=—9(舍去)，当XG(0,9)时，y'>0,当x6(9,+°0)

时，y'<0,则当x=9时，y有最大值.即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件.

3.己知函数无)，g(尤)均为［a,句上的可导函数，在［a,b］上连续且/(无)<g'(x),则八尤)一g(x)的最大

值为(A)

A.五①一g(a)B.j(b)—g(b)

C.j{d}—g(b)D.fib)~g(a)

解析设F(x)=/(x)—g(x),F'(x)=/(,x)—g'(x)<0,

.*.P(x)在［a,切上是减函数.

.•.丹力在团，加上的最大值为F(a)=/(a)-g(a).

Inx

4.若4x)=k，0<a<b<e,贝|八。)，外加的大小关系为！！！血)###.

］—Inx1—1nx

解析由题意可知，/(x)=r2,当xG(0,e)时，..>0,即/(无)>0,...於)在(0,e)上递增，

又0<a<b<e,，艮艮b).

5.若函数/U)=x3—3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是(一2,2).

解析由于函数人力是连续的，故只需要两个极值异号即可.

f(x)=3/—3,令3/—3=0,得了=±1,只需八一1成1)<0,

即(a+2)(a—2)V0,故。©(—2,2).

-利用导数解决生活中的优化问题

利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤

(1)分析实际问题中各个量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关

系式>=兀力

(2)求函数的导数,(x),解方程(尤)=0.

(3)比较函数在区间端点和使/(尤)=0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.

(4)回归实际问题提出解决方案.

注意：解决此类问题要根据实际问题的意义确定函数的定义域.

【例1】某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为〃

米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本

为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000兀元(兀为圆周率).

(1)将V表示成厂的函数H，)，并求该函数的定义域;

02/12

(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定厂和h为何值时该蓄水池的体积最大.

解析(1)因为蓄水池侧面的总成本为100义2兀泌=200兀K元，底面的总成本为160兀3元，所以蓄水池

的总成本为(200兀汕+16071r2)元.

又根据题意得20071^+160^=12000K,

1JT

所以。=*(30°—4户)，从而M>)=兀户用=弓(300「一42).

由h>0,且r>0可得0<r<5小,故函数V⑺的定义域为(0,5#).

⑵因丫(厂)=5(300厂一4户)，所以V(r)=^(300-12r).令V0)=0,解得n=5,r2=—5(因为厂2=一

5不在定义域内，舍去).

当—(0,5)时,V(r)>0,故V(r)在(0,5)上为增函数；

当rG(5,54)时，V'(r)<0,故V⑺在(5,55)上为减函数.

由此可知，V(r)在厂=5处取得最大值，此时〃=8,即当厂=5,%=8时，该蓄水池的体积最大.

躇法二利用导数研究函数的零点或方程的根

>归纳总结I

研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，

画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求

解有一个清晰、直观的整体展现.

【例2】已知尤=3是函数式无)=aln(l+x)+x2—10x的一个极值点.

⑴求1的值;

(2)求函数/(x)的单调区间；

(3)若直线y=6与函数y=/(x)的图象有3个交点，求6的取值范围.

解析(1)因为/'(X)=K%+2X—10,

所以(3)=^+6—10=0,因此a=16.

(2)由⑴知,犬x)=161n(l+x)+/—10x,x£(-l,+0°),

,2?X2~4X+3?

f(无尸1+x.

当尤e(一1,1)或(3,+8)时,f(x)>0;xG(l,3)时，f(x)<0.

所以ar)的单调增区间是(一1,1),(3,+°°);兀r)的单调减区间是(1,3).

(3)由(2)知，八尤)在(一1,1)内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3,+8)内单调递增，且当尤=1或x=3

时，(x)=0.

所以人尤)的极大值为/(l)=161n2—9,

极小值为式3)=321n2-21.

因为X16)>162-10X16>161n2—9=/(1),1)<一32+11=—21勺(3),所以在/(x)的三个单调区间

(-1,1),(1,3),(3,+8)上，直线y=6与y=/(x)的图象各有一个交点，当且仅当犬3)<6勺Q).因此，b的

取值范围为(321n2-21,161n2-9).

房法三利用导数证明不等式

利用导数证明不等式的解题策略

(1)证明兀0<8(》)，戈6(凡b),可以构造函数刀(x)=/(尤)一g(x),如果F(x)<0,那么尸(无)在(a,6)上是

减函数，同时若F(a)WO,由减函数的定义可知，xe(a,6)时，有F(x)<0,即证明了大x)<g(x).

(2)证明外x)>g(x),xG(cz,b),可以构造函数F(x)=A尤)一g(x),如果尸'(x)>0,那么网尤)在(a,b)上是

增函数，同时若网a)20,由增函数的定义可知，xe(a,6)时，有F(无)>0,即证明了/(尤)丑(无).

(3)在证明过程中，一个重要技巧就是找到函数/(x)=«r)—g(x)的零点，这往往就是解决问题的一个突

破口.

?r—2

【例3】已知函数五尤)=Rp

(1)设g(%)=lnx,求证：g(x)2/a)在［1,+8)上恒成立;

,,八、-Inb-lna2a

⑵右0<"6,求证：b_a>^5.

2x-2

证明(1)由题意知，要证111125不7在［1，+8)上恒成立,

即证明(f+l)ln2,flnx+lnx—2x+220在［1,+8)上恒成立.

设/zOOuflnx+lnx—2%+2,则h'(x)=2xlnx+x+J—2,

由G1,得2xlnx20,x+》12・、层22(当且仅当x=l时等号成立)，即/?'(x)20,所以/z(x)在［1,

x

+8)上单调递增，/z(x)^/z(l)=O,所以g(%)2，/(x)在［1,+8)上恒成立.

2.--2

…bba转Inala,

(2)因为0<a<b,所以工>1,则(1)知In,整理付衣京，所以当°<。电时，

In/?—Ina2a

--------->------

b~a次+/

考法四利用导数研究恒成立(或存在性)问题

利用导数研究不等式恒成立问题的方法

(1)由不等式恒成立求解参数的取值范围问题常采用的方法是分离参数求最值，即要使aNg(x)恒成立，

只需O》g(X)max,要使。Wg(无)恒成立，只需aWg(X)min.另外，当参数不宜进行分离时，还可直接求最值建

立关于参数的不等式求解，例如，要使不等式八x)》。恒成立，可求得兀0的最小值九m)，令/?(a)》0即可

求出a的取值范围.

(2)参数范围必须依靠不等式才能求出，求解参数范围的关键就是找到这样的不等式.

【例4】已知函数危)=f+2x,g(x)—xex.

04/12

⑴求人的一g(%)的极值；

(2)当2,0)时，/(x)+l2〃g(x)恒成立，求实数。的取值范围.

解析(1)令〃(%)=/(x)—g(x)=f+2x—xe\

则今(x)=(x+l)(2-ex),令/(x)=0,解得工=一1或x=ln2.

当x变化时，/(%)与/z(x)的变化情况如下表.

X(-8,-1)-1(-1,In2)In2(In2,+8)

h'(x)一0+0一

极小极大

h(x)单调递减单调递增单调递减

值值

.•./z(x)的极小值为4(—1)=:—1,%(x)的极大值为/z(ln2)=ln22,

即/(x)—g(x)的极小值为1,极大值为In?2.

(2)由题意知，当工£(—2,0)时，，+2x+1恒成立,

f+2x+l

即恒成立.

xex

/+2%+1?拶+1??%+1?

令©)=;则t'(x)=

.••当次£(—2,—1)时，t'(x)>0,«x)单调递增;

当丁£(—1,0)时,t'(x)<0,心)单调递减；

当工£(—2,0)时，*x)max=4—1)=0.「.aNO.

故。的取值范围是[0,+°°).

【例5】已知函数加)=/一blnx在点(1,11))处的切线方程为y=3x—1.

(1)若八%)在其定义域内的一个子区间(%—1,左+1)内不是单调函数，求实数上的取值范围；

(2)若对任意x£(0,+°°),均存在/£[1,3],使得53—弓工/+以+111试求实数c的取值

范围.

b

解析(1^(x)=2ax--f

由f?1?=3,

历1?=2,

14工2—11

/(x)=2f-Inx,f(x)=4x--=---,令/(x)=0,得

Z—1N0,

所以<解得iwk<|.

^+1>2，

故实数上的取值范围是1,

(2)设g⑺一*|二2+a+ln2+t,

根据题意可知g«)minW兀X)min.

由(1)知於)min=/a=g+ln2,

g'(/尸/2—(c+l)/+c=Q—1)(Lc),

当cWl时，g'⑺20,g⑺在［1,3］上单调递增，

c

g(，)min—g(D—2+ln2,>两足g(/)minWy(X)min.

当1<C<3时，g⑺在［1,C］上单调递减，在匕3］上单调递增，g(/)min=g(C)=一甘+++1112+/.由一家

+^c2+ln2+不忘1+1112得c3—3c2+2^0,(c—1)(，-2c—2)20,

此时1+小Wc<3.

,3c143c14

当c23时，g'(0^0,g⑺在［1,3］上单调递减，^(0min=^(3)=—y+y+ln2,^(3)=—y+y+ln2^

3X3141

-—2-+-+ln2W］+ln2.

综上，c的取值范围是(一8,1］U［1+V3,+8).

1.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27兀，且用料最省，则圆柱的底面半径为（A）

A.3B.4

C.6D.5

解析设圆柱的底面半径为R,母线长为I,则丫=兀店/=27兀，

27、

，/=?，要使用料最省，只须使圆柱的侧面积与下底面面积之和S最小.由题意，S=7lR2+2TIR/=7IR2

27

:五

54兀

**.S'=2TIR—R2,令S'=0,得R=3,

则当R=3时，S最小.故选A.

2.已知函数兀c）=皿3—3x+l对xG（0,l］总有1x）20成立，则实数a的取值范围是「4,十8）.

3x—1

解析当xG（0,l］时不等式加一3苫+120可化为a2一^―,

3%—1

设g（x）=、，XG（O,1］,

,3X3-?3X—1?-3X26（J—5）

g（x）=?~.

06/12

由g'(x)=0得x=T，当xG(O,，时g，(x)>0;

当xG(W，J时g'(x)<0;因此g(x)的最大值g(；)=4,

则实数。的取值范围是［4,+8).

］1—a

3.已知函数/0)=不？+方~台一or—a,尤GR,其中a>0.

(1)求函数八劝的单调区间；

(2)若函数兀0在区间(一2,0)内恰有两个零点，求。的取值范围.

解析(l)f(x)=x2+(l—ci)x—a=(x+l)(无一a).

由(尤)=0,得了=一1或。(。>0).

当无变化时(尤)与八x)的变化情况如下表

X(~°0,-1)-1(—1,a)a(a,+°°)

fW+0一0+

极大极小

fl.x)单调递增单调递减单调递增

值值

故函数的单调递增区间是(一8,—1),(m+8)；单调递减区间是(一1,。).

(2)由⑴知人劝在区间(-2,—1)内单调递增；在区间(-1,0)内单调递减.从而函数次尤)在区间(-2,0)

7?-2?<0,

内恰有两个零点，当且仅当1?>0，解得0<。<4所以〃的取值范围是(0,I

/?0?<0,

4.(2023•安徽安庆模拟)已知y(%)=xlnx,证明：当时，2x—e^/x).

证明令g(%)=/(%)—2x+e,则g'M=f,(x)—2=lnx—1.

令g'。)=0,得1=«.

f

当％£(1,e)时，g(x)<0;当一£(e,+8)时，g'(x)>o,

.,.g(x)在(1,e)内单调递减,在(e,+8)内单调递增.

g(x)极小值=g(e)=/(e)—2e+e=0.

又・・飞(1)=,1)-2+©=9—2>0,・・・ga)在［1,+8)内的最小值为0,

.•・g(x)2ga)min=0,・•・/(%)—2x+eNO,即2x—

易错点忽视定义域出错、求导出错，非等价转化出错

错因分析：对一些函数的定义域没有认清，不能对要证明的目标进行合理转化，也不能按得分点规范

化书写而失分.

［例1］设函数alnx.

(1)讨论«x)的导函数/(%)零点的个数；

.2

(2)证明：当a>0时，f(x)^2a+a\n~.

解析(l/x)的定义域为(0,+°°),

/(无)=(3©)-(alnx)'=2e2v-^>0),

当aWO时，f'(x)>0,/(x)没有零点.

当a>0时，设〃(x)=2e汽o(x)=*

因为〃(x)=2e2%在(0,+8)上单调递增，

0a)=£在(0,+8)上单调递减，

在同一坐标系中作出u(x),o(x)的简图如下.

可知"(x)与o(x)的图象在(0,+8)上仅有一个交点.

故当〃>0时，/(x)存在唯一零点.

综合得/(%)的零点的个数为1.

(2)证明：由⑴，可设/(%)在(0,+8)上的唯一零点为私当x£(0,必)时，/(x)V0；

当x£(%o,+°°)H+,f(x)>0.故人%)在(0,xo)上单调递减，在(%o,+8)上单调递增，所以当x=x()

时，危)取得最小值，最小值为月配).

［十4〜a2

由于2e2xo——=0,所以e2&=5—，41nxo=-2〃&-〃ln-，

XQ/X。Cl

所以危。)=+2ax。〃

zx。a+«lna~22+tzln~.

2

故当〃>0时，«x)e2a+”ln‘.

【跟踪训练1】已知八%)=疣%,g(%)=—(x+l)2+m若?阳，％2£R，使得/(X2)Wgai)成立，则实数〃

的取值范围是JJJ-g+8］###.

解析/(x)=er+xer=ex(l+x),当尤C一1时，/(x)<0,当尤>一1时，/(尤)>0,.7/(>:)在(-8,-1)

上递减，在(-1,+8)上递增，，於：)min=/(—1)=—土

•••g(%)max=〃，「・由题意，得”》一1•

课时达标第16讲

［解密考纲］本考点主要以基本初等函数为载体，综合应用函数、导数、方程、不等式等知识，常考查

恒成立问题、存在性问题或者与实际问题相结合讨论最优解等问题，综合性较强，常作为压轴题出现.三

08/12

种题型均有出现，以解答题为主，难度较大.

1.已知函数人功二%2一。无一alnx(aeR).

(1)若函数7U)在x=i处取得极值，求。的值；

(2)在(1)的条件下，求证：了+4x+不.

解析(1»'(尤)=2无一4一%由题意可得

，(1)=0,解得4=1.

经检验，4=1时“X)在％=1处取得极小值，所以〃=1.

(2)由(1)知，J(x)=x1—x—\nx,

+4+

令g(x)=/(x)-[~^~~X~6,J=~3~~+3x_In不，

1—14?X—1?3

由g'(X)=X2-3X+3--=—^-3(x-l)=，'(x>0),可知g(x)在(0,1)上是减函数，在(1,+^)

上是增函数，

1311

•*­g(X)min=g(l)=3-2+3一不=°，

5X211

当x>0时，g(x)2g(1)=0,于是八次)》一可+三一4%+不.

4

2.若函数危)=以3—笈+4,当x=2时，函数«x)有极值一

(1)求函数1的的解析式;

(2)若方程式x)=左有3个不同的根，求实数左的取值范围.

角星析(1^(%)=3加一b,

//?2?=12。一匕=0,1

a=y

由题意得14解得《

/?2?=8〃­2。+4=一?

3=4,

故所求函数的解析式为y(x)=1x3—4x+4.

(2)由(1)得/(x)=/—4=(x+2)。-2),令/(x)=0,

得x=2或x=-2.

当X变化时，f(X),危)的变化情况如下表.

(—8,-2)(—2,2)2(2,+°0)

2

/④+0一0+

错单调递

於)单调递增4单调递增

减

3

284

因此，当x=-2时，有极大值可，当冗=2时，人%)有极小值一],

所以函数危)=¥—4x+4的图象大致如图所示.

428

因为八工)=左有3个不同的根，所以直线,=女与函数«x)的图象有3个交点，所以一

3.(2023•河南新乡调研)已知函数危)=x—(〃+l)ln%一，(a£R),g(x)~xex.

(1)当x£[l,e]时,求於)的最小值;

(2)当〃<1时，若存在e”使得对任意的应W[-2,0],兀⑴嵇3)恒成立，求。的取值范围.

解析(1求>)的定义域为(0,+8),f(x)=-—V----

①当aWl时，e],f(x)^0,犬x)为增函数，

则/U)min=/U)=l-a

②当l<a<e时，Xd[l,a]时，f(x)^0,/)为减函数；

xG[a,e]时，f'(x)^0,应行为增函数，

则f(x)mm=f(a)=a~(a+l)lna—1.

③当a2e时，xG[l,e]时，f(x)^0,人尤)在[1,e]上为减函数，

则/(x)min=#e)=e—(a+1)—(

综上，当aWl时，/(x)min=l-a;

当l<〃<e时，y(%)min=a—(a+l)lna—1;

当〃2e时，y(x)min=e—(41+1)—P

⑵由题意知，危)(x£[e,e2])的最小值小于g(x)a£L2,0])的最小值.由⑴知心：)在[e,e?]上单调递增,

yU)min=/(e)=e—(a+l)g'(无)=(1—3)元.

xG[-2,0]时，g'a)W0,则g(x)为减函数.

所以gQ)min=g(0)=l.所以e—(〃+l)一号<1,

e2-2e

即

e2—2e)

所以4的取值范围为

4.某商店经销一种奥运纪念品，每件产品成本为30元，且每卖出一件产品，需向税务部门上交〃元

(a为常数，2WaW5)的税收，设每件产品的日售价为x元(35WxW41),根据市场调查，日销售量与e%e为

10/12

自然对数的底数)成反比，已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件.

(1)求商店的日利润元与每件产品的日售价x元的函数关系式；

(2)当每件产品的日售价为多少元时该商店的日利润〃尤)最大，说明理由.

kk

解析(1)设日销售量为最件，则群=10,...左=10e4°

40

则日销售量为否101e件，每件利润为(x—30—a)元，

1---30---Z7

则日利润L(x)=10e4°q.工(35WxW41).

31-I-a—x

(2)1,(x)=10e他一最一(35WxW41).

①当2<aW4时，33W31+aW35,L'(x)40,£(无)在［35,41］上是减函数....当x=35时，L(x)的最大

值为10(5—a)e5.

②当4<aW5时，35<31+aW36,由Z7(x)=0得x=a+31,

当尤G(35,a+31)时,L'(x)>0,L(x)在(35,a+31)上是增函数.

当尤e(a+31,41］时,L'(x)<0,L(x)在(a+31,41］上是减函数.

当x=a+31时，L(x)的最大值为10e9-fl.

综上可知，当2WaW4时，日售价为35元可使日利润L(x)最大，

当4<aW5时，日售价为a+31元可使日利润L(x)最大.

5.(2023・辽宁五校联考)已知函数式x)=(依一l)lnx+g.

(1)若。=2,求曲线>=人尤)在点(1,八1))处的切线/的方程；

(2)设函数g(尤)=/(尤)有两个极值点，xi，尤2，其中尤iG(0,e］,求g(xi)—g(无2)的最小值.

解析⑴当a=2时，/(x)=21nx+x一菱+2,

f(1)=2,-1)=.

.•.切线/的方程为y—；=2(x—l),即4无一2y一3=0.

(2)函数g(x)=aln尤+x—1+”，定义域为(0,+°°),

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