人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册课时作业6：6 1 第一课时 两个计数原理及其简单应用练习

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE1第六章计数原理6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第一课时两个计数原理及其简单应用一、选择题1.某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有()A.24种 B.9种C.3种 D.26种〖答案〗B〖解析〗不同的杂志本数为4＋3＋2＝9，从其中任选一本阅读，共有9种选法.2.已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是()A.1 B.3C.6 D.9〖答案〗D〖解析〗可分为两步完成：第一步，在集合{2，3，7}中任取一个值x有3种方法；第二步，在集合{－31，－24，4}中任取一个值y有3种方法.根据分步乘法计数原理知，有3×3＝9(个)不同的点.3.某体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，小李到体育场看比赛，则他进、出门的方案有()A.12种 B.7种C.14种 D.49种〖答案〗D〖解析〗完成进、出体育场门这件事，需要分两步，第一步进体育场，第二步出体育场.第一步进门共有4＋3＝7(种)方法，第二步出门共有4＋3＝7(种)方法.由分步乘法计数原理知，进、出门的方案有7×7＝49(种).4.5名同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有()A.10种 B.20种C.25种 D.32种〖答案〗D〖解析〗每位同学限报其中的一个小组，各有2种报名方法，根据分步乘法计数原理，不同的报名方法共有25＝32(种).5.如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A.60 B.48C.36 D.24〖答案〗B〖解析〗长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36(个)，另外含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2＝12(个)，所以共有36＋12＝48(个).二、填空题6.已知a∈{2，4，6，8}，b∈{3，5，7，9}，则能使logab>1的对数值有__________个.〖答案〗9〖解析〗分四类，当a＝2时，b取3，5，7，9四种情况；当a＝4时，b取5，7，9三种情况；当a＝6时，b取7，9两种情况；当a＝8时，b取9一种情况，所以总共有4＋3＋2＋1＝10种，又log23＝log49，所以对数值有9个.7.用0到9这十个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为__________.〖答案〗328〖解析〗由题意知本题是一个分类计数问题.若个位数字为0，则前两位的排法种数为9×8＝72；若个位数字不为0，则确定个位数字有4种方法，确定百位数字有8种方法，确定十位数字有8种方法，所以排法种数为4×8×8＝256.所以可以组成256＋72＝328(个)没有重复数字的三位偶数.8.如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通.今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有__________种.〖答案〗13〖解析〗按照焊接点脱落的个数进行分类：第1类，脱落1个，有1，4，共2种；第2类，脱落2个，有(1，4)，(2，3)，(1，2)，(1，3)，(4，2)，(4，3)，共6种；第3类，脱落3个，有(1，2，3)，(1，2，4)，(2，3，4)，(1，3，4)，共4种；第4类，脱落4个，有(1，2，3，4)，共1种.根据分类加法计数原理，共有2＋6＋4＋1＝13(种)焊接点脱落的情况.三、解答题9.用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字的四位数，若把每位数字比其左邻的数字小的数叫做“渐降数”，求上述四位数中“渐降数”的个数.解分三类：第一类，千位数字为3时，要使四位数为“渐降数”，则四位数只有3210，共1个；第二类，千位数字为4时，“渐降数”有4321，4320，4310，4210，共4个；第三类，千位数字为5时，“渐降数”有5432，5431，5430，5421，5420，5410，5321，5320，5310，5210，共10个.由分类加法计数原理，得共有1＋4＋10＝15(个)“渐降数”.10.王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读.(1)若他从这些参考书中带1本去图书馆，则有多少种不同的带法？(2)若带外语、数学、物理参考书各1本，则有多少种不同的带法？(3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，则有多少种不同的带法？解(1)完成的事情是带一本书，无论带外语书，还是数学书、物理书，事情都能完成，因此应用分类加法计数原理，共有5＋4＋3＝12(种)不同的带法.(2)完成的事情是带3本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选1本后，才能完成这件事，因此应用分步乘法计数原理，共有5×4×3＝60(种)不同的带法.(3)选1本外语书和选1本数学书应用分步乘法计数原理，有5×4＝20(种)选法；同样，选外语书、物理书各1本，有5×3＝15(种)选法；选数学书、物理书各1本，有4×3＝12(种)选法.即有三类情况，应用分类加法计数原理，共有20＋15＋12＝47(种)不同的带法.11.(多选题)某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B层.该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是()第1节第2节第3节第4节地理1班化学A层3班地理2班化学A层4班生物A层1班化学B层2班生物B层2班历史B层1班物理A层1班生物A层3班物理A层2班生物A层4班物理B层2班生物B层1班物理B层1班物理A层4班政治1班物理A层3班政治2班政治3班A.此人有4种选课方式B.此人有5种选课方式C.自习不可能安排在第2节D.自习可安排在4节课中的任一节〖答案〗BD〖解析〗由于生物在B层，只有第2，3节有，故分两类：若生物选第2节，则地理可选第1节或第3节，有2种选法，其他两节政治、自习任意选，故有2×2＝4(种)(此种情况自习可安排在第1、3、4节中的某节)；若生物选第3节，则地理只能选第1节，政治只能选第4节，自习只能选第2节，故有1种.根据分类加法计数原理可得选课方式有4＋1＝5(种).综上，自习可安排在4节课中的任一节.故选BD.12.在如图1的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有________种不同的方法；在如图2的电路中，合上两个开关可以接通电路，有________种不同的方法.〖答案〗56〖解析〗对于图1，按要求接通电路，只要在A中的两个开关或B中的三个开关中合上一个即可，故有2＋3＝5(种)不同的方法.对于图2，按要求接通电路必须分两步进行：第一步，合上A中的一个开关；第二步，合上B中的一个开关，故有2×3＝6(种)不同的方法.13.已知集合A＝{2，4，6，8，10}，B＝{1，3，5，7，9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，问：(1)有多少个不同的数对？(2)其中所取两数满足m＞n的数对有多少个？解(1)∵集合A＝{2，4，6，8，10}，B＝{1，3，5，7，9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，∴先选出m有5种结果，再选出n有5种结果，根据分步乘法计数原理知共有5×5＝25(个)不同的数对.(2)在(1)中的25个数对中所取两数满足m＞n的数对可以分类来解，当m＝2时，n＝1，有1种结果；当m＝4时，n＝1，3，有2种结果；当m＝6时，n＝1，3，5，有3种结果；当m＝8时，n＝1，3，5，7，有4种结果；当m＝10时，n＝1，3，5，7，9，有5种结果.综上所述共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)不同的数对.14.设A＝{1，2，3，…，10}，若方程x2－bx－c＝0满足b，c属于A，且方程至少有一根a属于A，称方程为“漂亮方程”，则“漂亮方程”的总个数为()A.8个 B.10个C.12个 D.14个〖答案〗C〖解析〗用十字相乘法，先把c分解因数，依据方程根与系数的关系，这两个因数的差就是b：c＝2时，有2×1＝2，b＝2－1＝1，则“漂亮方程”为x2－x－2＝0；c＝3时，有3×1＝3，b＝3－1＝2，则“漂亮方程”为x2－2x－3＝0；c＝4时，有4×1＝4，b＝4－1＝3，则“漂亮方程”为x2－3x－4＝0(同时，4＝2×2，b＝2－2＝0∉A，故舍去)c＝5时，有5×1＝5，b＝5－1＝4，则“漂亮方程”为x2－4x－5＝0；c＝6时，有6×1＝6，b＝6－1＝5，则“漂亮方程”为x2－5x－6＝0；同时，有2×3＝6，b＝3－2＝1，则“漂亮方程”为x2－x－6＝0；c＝7时，有7×1＝7，b＝7－1＝6，则“漂亮方程”为x2－6x－7＝0；c＝8时，有8×1＝8，b＝8－1＝7，则“漂亮方程”为x2－