贵州省遵义市2024-2025学年高三年级上册第一次适应性考试（一模）数学试题（含答案）

贵州省遵义市2024-2025学年高三上学期10月第一次适应性考试数学

试题

(满分：150分，时间：120分钟)

注意事项：

1.考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘

贴条形码.

2.选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其它选项;

非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给分；

在试卷上作答无效。

第I卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置上.

1.已知复数Z1=2+3i,Z2=3-2i,则下列选项正确的是

A.\z\—|z2|B.Zj=-z2C.Z]=22D.Z]=­z2

2.若奇申藜/(x)是定义在R上的增函数，则下列选项正确的是

Inx,x>0

A./(x)=——B.f(x)=x3+3xC./(x)=e'+e"D./(x)=<0,x=0

e<0

3.已知集合/={0,1,2},5={1,2,3},若集合C={zeN*|z=孙,xe/且yeB},则C的子集的个数为

A.8B.16C.32D.64

4.如图(1)所示的“大方图”称为赵爽弦图，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》“勾股

网方图”作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中.他用数学符号语言

将其表示为“若直角三角形两直角边为。，b,斜边为c(a、b、c均为正数)。则

(a+b)2=4ab+(b—a)2,(4+6)2=2°2一(6—。)2”.某同学读到此书中的“赵爽弦图，，时，出于好奇，想

用软钢丝制作此图，他用一段长6cm的软钢丝作为6的长度(制作其它边长的软钢丝足够用)，请你给

他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为

B.18C.27D.36

5.设a=log20242026,6=log20232026,2024°=2025.贝U

A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c

6.已知函数/(x)=x2—2/X+2/—27,则下列选项正确的是

A./(x)的图象恒过点(0,0)B./(X)的图象必与x轴有两个不同的交点

C./(x)的最小值可能为-2D./(X)的最小值可能为-1

7.若sin］巳-a一,1=-j,则5出(1+尸)一©05(1+尸)的值为

V2口2瓜

D.

5510

8.在矩形/BCD中，48=2Jia,3c=4a,£为8C的中点，将和ACDE分别沿4B,折起，

使点5与点C重合，记为点尸，若三棱锥P-4DE的四个顶点都在球。的球面上，则球。的表面积为

A.3601TlB.20a2兀C.9a.D.4a.

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数=函数g(x)=2x2_l,x+1,1],下列选项正确的是

A.方程/(g(x))=0无实数解B.方程/(x)+g(x)=0有且仅有两个解

C.方程/(x>g(x)=0有且仅有三个解D.方程g(/(x))=0有且仅有四个解

10.数列{£}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,…，称为斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列从第三项开始,

各项等于其前相邻两项之和，即£+2=£+i+£(/eN*),则下列选项正确的是

A.T^Q=55B.片+8+及+F-j+.......+F?3—F24

CC+冗+弓+4+........+&24=鸟025D.邛+/+&+/2+........+F；=Fn.Fn+1

11.已知函数/(1)=回11%|+,05%|+回112%],则下列选项正确的是

A.函数/(X)的最小正周期为宙B.函数/(X)的图象为中心对称图形

C.函数/(x)的图象关于直线工=/对称D.函数/(x)的值域为工1+夜]

4

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.Vx€R,关于x的一元二次不等式——2X+Q〉0恒成立，则实数。的取值范围是

13.在多项式(a+3x)(l-x)5的展开式中，炉的系数为32,则^=.

14.定义在火上的偶函数/(x)满足/(I+2x)+/(I—2x)=6,贝|八1)=；

/⑴+f(2)+/⑶+……+/(2023)+/(2024)+/(2025)=.

第H卷

四、解答题：本大题共5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤。

15.(13分)已知公差为2的等差数列｛4｝和公比为2的等比数列也｝满足：q+%=%，«2=b2-

⑴求％和么；

(2)求数列｛4•2｝的前〃项和

16.(15分)记A/BC的内角B,。对应的三边分别为a,b,c,且百sinB+cosB=1.

(1)求5；

(2)若6=3,求的周长的取值范围.

17.(15分)已知4台车床加工的同一种零件共计1000件，其中第一台加工200件，次品率为5%；第二

台加工250件，次品率为6%；第三台加工250件，次品率为8%；第四台加工300件，次品率为10%.现

从这1000件零件中任取一个零件.

(1)求取到的零件是次品的概率；

(2)若取到的零件是次品，求它是第i(其中i=l,2,3,4)台车床加工的零件的概率.

18.(17分)如图，现用一个与圆柱底面成。角的平面a截圆柱，所得截面是一个椭圆C,在平面a上建

7T

立如图所示的平面直角坐标系.若圆柱的底面圆的半径为2,6=1.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设P(Xo，%)为粗圆C上任意一点，/为椭圆C在点P处的切线.设椭圆C的两个焦点分别为公，鸟，

它们到切线/的距离分别为4,4，试判断4d2是否为定值?若是，求其定值；若不是，说明理由.

19.(17分)已知函数/(%)=*一。111%(〃6>1*,4>0,1112它0.693,6它2.71828).

U)当〃=l,a=e时，求函数/(x)的单调区间；

(2)当〃=2,a>0时，求函数/(x)的最小值;

(3)当〃£N*,a>0时，函数/(x)的极小值是关于〃的函数，记为%,设=q+2+/+........+4•若

Sn<10e,求〃的最大值.

遵义市2025届高三年级第一次适应性考试数学试题

参考答案

第I卷

题号1234567891011

答案ABCBDDCBBCABDACD

1.解：由|二J=|：21=)22+32="7,知A正确；由一二2=-3+2iHZ],

知B显然错；由二2=3+2，。二।,知C错误：由

一二2=一(3+2i)=-3-2,w/,知D错误.

2.解：定义域为R,所以A错，易知C为偶函数，D为非奇非偶函数，选B.

3.解：C={123,4,6},子集个数为25=32.选C.

4.解：由大方图知，该图为正方形，所以‘'赵爽弦图”的面积为c?由己

知(4+6)2=2c2-(b-a)2及k=a?+6?知，(a+h)2=2(a2b2)-(b-a)2<2(.a2+")

所以/=/+6,Ngm+b)?=18,选B

5•解:由2024c=2025知,c=log20242t)25,作出y=log?*》，VTogzoy》的图象，

易得：b>a>cf选D.

6.解：由/(0)=2「_力，知A错；由八=4/一4(力2-2])=-4/+8/,则△可正，

可负,可零,知B错；由/*)=/_20+2/_27=(工—)2+«-1)2-1之_1知C错

误，D正确.

7.解：sin(三_0一夕]=_，推出sin工一(a+4)=-->

(4)5|_4J5

sin^cos(a-»-/?)-cos^sin(a+/?)=-^,:.孝cos(a+6)一孝sin(a+4)=一：:.

cos(a+/?)-sin(a+/?)=--xVI=———:.sin(a+4)一cos(a+4)=*,故答案为C.

当0<》<即时，/，(x)<0,/(x)递减，当&vx时,r(x)>0,/(x)递增，

所以/⑺的最小值/(/)=//—々in/,............8分

又=-^―=>2x0=lna-ln2-lnx0代入上式，/&)=-^―+2以0+aIn2-〃Ina

2x024

由均值不等式/(x())N2a+aln2-aln4当且仅当-^-=2叫=>厮△...9分

'2x"2'

代入/%=六，a=e9f(x0)mm=e+eln2.....................1。分

⑶/(x)=〃e"-alnx,f'(x)=ne"x--(.x>0).....................11分

令r(x)=0ne“=2令方程的解x=x。，则*。=2................12分

nx9峪'

当0<》</时，/1x)<0,/(x)递减，当天<x时，/1x)>0,/(x)递增，

所以/(X)的最小值/(%)=*。-。皿与，.......13分

又冷，=/_=内0=lna-ln〃-Inx。代入上式，/(凡)=-^-+。叫)+aln〃-alna

叫)叫

由均值不等式f(x())=-^—+anxl)+a\nn-a\na>2a^a\nn-a\na当且仅当

心0

—=2nxn=>xQ=-..........................14分

加0〃，

代入e、=-^-a-ef(x0)=e+eln〃an=e+elnw.................15分

5,‘，''

Sn=q+勺+%++a“=e(l+In1+】+In2・・・+1+ln〃)vlOe只需Inl+ln2…+ln〃<5

7

SPln(5!)<5tln(5!)=inl2O<lnl28=ln2=7ln2^4.85i<5........16分

S”=q+%+%++aw=e(l+lnl+l+ln2--+l+ln/i)<10e

〃的最大值为5..............................17分

18.M：(1)设椭圆c的长半轴长为a,短半轴长为6,

半焦距为c,……1分

椭圆C长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，则由截面与圆柱底面

成锐二面角。=二，得2。=3=」一=8,解得。=4,……5分

显然6=2,

椭圆C的标准方程5+?=1……7分、弋

(2)存在，……8分

理由如下：

设椭圆34=1在点/＞处的切线/的方程为5+4%”16=0……11分

164

13分

/。2+16%2而+[6%2

222

dd_)鬲一同)&+16|_16?72%2_16-12X04(4XI6-3X0)

22

‘°42+16盟2代+16%2城+e方X0+4XI6-4V4XI6-3JT0

:.=4....17分

19.解：(1)由已知/0)的定义域为(0,+8)r(x)=e=£(x>0)..1分

X，

令/，(x)=O=x=l....2分

当0<x<1,/'(X)<0,当1<x,/'(x)>0.....3分

/(x)在(0,1)上单调递减，/(x)在(1,+00)上单调递增...4分

(2)-tzlnx,f'(x)=2e2t--Cx>0)....5分

令八x)=0n/=*令方程的解x=x°,则……6分

2x'2xn'

加工"（i=l,2,3,4）,

则。=4U4U4U4,且4.4.4两两互斥，....1分

尸（4）=020,尸（4）=025,尸（4）=025,P（J4）=0.30;尸（邳4）=005,

P（8|4）=0.06,P（8%）=0.08,P（Bp4）=0.10.....3分

尸⑻=P⑷尸（B|4）+P⑷P原2）+尸⑷响4）+64）尸朝4）……5分

=0.20x0.05+0.25x0.06+0.25x0.08+0.30x0.10

=0.010+0.015+0.020+0,030=0.075....6分

.•.任取一个零件，它是次品的概率0075.……7分

（2）尸.怛）=当?=尸（4），?4）……9分

'"，P⑻P（8）

0.20*0.052J。分

0.075-15,

同理可得尸（4|8）=:，……12分

2（阕8）=\,14分

P（4|8）=］「16分

.••如果取到的零件是次品，它是第1台生产的概率为尚，第2台生产的概率

为（，第3台生产的概率为2，第4台生产的概率为|.……17分

S“=5-l)2>2+4......13分

16.解：(1)由百$皿8+853=1得：2(*sin8+；cosB)=1......2分

即sin(3+工)=L......4分

62

又。<B<7：,............5分

所以8+二占，.....6分

66

因此，B=-K........7分

3

(1)在AJ8C中，由正弦定理知，—=—=-^=2>/2.,

sinAsin8sinC

所以]=2>/Jsin/,c=2\/3sinC.......9分

因此，a+c=2V3sinJ+25/3sinC=2V3(sin>l+sinC)=2V3cos―—―......11分

2

因为-红<4_C<红，即一£<生£<工，从而在<cos土土41......13分

3332322

即3<2VJcos土£426所以，3<a+c42G.......14分

2

又6=3,从而6<o+b+c43+2VJ

所以A/18C的周长的取值范围为(6,3+20].......15分

17.解：（1）（方法一）第一台加工200件，次品有10件：第二台加工250

件，次品15有件；第三台加工250件，次品有20件；第四台加工300件,

次品有30件，.......4分

从中任取一个零件为次品的概率为10+1；益^30=藤=0075......6分,

...任取一个零件，它是次品的概率为0.075.........1分.

（方法二）设8="任取一个零件它是次品"，4="零件为第，台车床

12.解：由A<0得。>1,实数。的取值范围是（I,+oo）.

13.解：由己知得：-a+3C；（-l）«=32,解得：a=-17.

14.解：V/（1+2JC）+/（1-2X）=6»令x=0得/⑴=3.

V/（l+2x）+/（l-2jr）=6,函数/（x）关于点（1,3）中心对称.：函数/（x）是定

义在R上的函数偶数，，函数/（x）关于直线x=0对称.函数/⑺是周期

为4的周期函数，且函数/⑺关于点（3,3）中心对称.•••/（2）+/（4）=2/（3）=6,

/（1）+/（2）+/（3）+/（4）=12./（1）+/（2）+/（3）+…+/（2023）+/（2024）+/（2025）=

3x2025=6075.

第II卷

四.解答题：本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明.证明

过程或演算步骤.

15.解：(I)由卜+%=%得『+q+j，+4,.....2分

[a2=b2[a,+2=24

解得………4分

所以a“=2”,b„=2"......6分

(II)a„xb„=2nx2"=nx2"+l,.......7分

4

则S“=qx"fa2x62+?+…+a“=1x2?+2x2’+3x2H---

BPS„=1X2:+2X23+3X24+--+/IX2,,+1(1)

2S„=lx23+2x24+3x25+--+«x2nt2(2)

由(1)—(2)得-S“=IX22+23+2*+…+2"'-"X2"2,......10分

即_S="I-2")-*2»2=_4+2"2_〃*2"2......12分

1-2

10.解：由题可知，A正确；

片+6+丹+丹+・・・+63=入+K+6+,+…+J=用+E+丹+…+G=

R+B+…+所="+…+耳9+玛I+43=…七+G=/，B正确；

K+E+用+外+&+…+/24=K+B+线+居+…+/4=E+线+线+…+/4=

/+&+…+Btt4=1025，，••玛+居+娓+居+…+6024=玛025-1，C错误;

5・小=下优+居T)=gM=F：+Fl(*+Fi)=F：+*2+F"T

=凡2+工J+...+M+尸低=乙2+乙：+...+8+42,D正确；故选ABD.

11.解:/(A+y)=|sin(A+y)|+1cos(.x+y)|+|sin2(x+1-)|

=|cosx|+|sin.x|+|sin2x\=f