观察、推理与表达：素养导向的作业设计策略

北京师范大学教育学部课程与教学研究院院长，教授、博士生导师；中国教育学会小学数学教学专业委员会副秘书长，中国教育发展战略学会教育教学创新专业委员会副理事长，中国少数民族教育学会数学教育专业委员会副理事长；主持的课题有全国教育科学“十一五”规划教育部重点课题“新课程小学数学、语文学科能力评价研究”、全国教育科学“十二五”规划教育部重点课题“读懂中小学生数学学习过程的方法研究”，以及国家自然科学基金面上项目“复杂情境下学生数学创造性思维的认知及脑机制研究”等；著有《小学生数学能力评价研究》《小学数学互动式教学》《学习者视角下的学习历程分析》等专著，发表学术论文100余篇。作业设计是当前基础教育课程改革中的热点问题，是达成“教-学-评”一致性的重要保障。如何基于核心素养设计作业，通过作业设计培养学生的问题解决能力，充分发挥作业的育人功能呢？笔者以为，深入理解核心素养导向的作业功能是基础，探索核心素养导向的作业设计策略是关键。一、核心素养导向的作业功能作业为学生提供了相对独立的思考环境，不同的作业对学生提出了不同的认知要求。立足核心素养设计作业的基础是深入理解核心素养，只有理解了核心素养要求，才能找到作业设计的主线。《义务教育数学课程标准（2022年版）》以“三会”（会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界）高度凝练了数学核心素养，用数学眼光、数学思维和数学语言概括了数学抽象、推理和建模的能力。“三会”目标明确指向问题解决能力的培养，旨在帮助学生建立数学世界和真实世界的联系。数学核心素养导向下，数学作业应一脉相承地发挥培养学生问题解决能力的功能。进行过程性诊断是发挥数学核心素养导向作业功能的重要手段。这种过程性测量表现在学生能否用自己的话解释、表达所学知识；能否基于这一知识做出推论和预测，从而解释相关现象，解决相关问题；能否运用这一知识解决变式问题；能否将这一知识迁移运用到解决实际问题中；等等。换言之，数学核心素养导向的作业功能是满足一种认知需求，为学生提供理解真实世界中的数学元素、进行数学思维和推理活动的场景，以及提出猜测、构建问题、寻找模式的媒介。二、基于“三会”的作业设计策略1.观察视角多样化，深化概念理解义务教育阶段，数学眼光指通过对现实世界中基本数量关系和空间形式的观察，逐步养成从数学的角度观察现实世界的意识和习惯，主要表现为抽象能力（包括数感、量感、符号意识）、几何直观、空间观念与创新意识。核心素养导向的数学作业需要考查学生仔细观察、辨别、描述和分析数学现象、关系和模式的能力，涉及对细节的敏感度、对整体与部分的把握能力以及对相关信息的筛选和归纳能力。核心素养导向的数学作业在观察方面需要为学生提供过程性的可观察素材，以及通过多个维度的观察视角进行观察的方法。在培养学生观察能力方面，多元表征型作业必不可少。教师可以从不同的表征形式、不同的思维路径、不同的问题切入视角出发，设计不同类型的观察类作业。以作业1为例，教师设计用不同的直观模型解决小数除法问题的多个作品，引导学生辨析作答过程是否正确，考查学生对小数除法意义的理解，拓展学生理解小数除法的思路。小明利用人民币模型将小数转化为整数，通过整数除法解决小数除法问题；小辉利用分数模型和除法的意义找到问题的答案；小芳利用除法竖式计算，但小数点的移动出错了；小杰利用商不变的规律将被除数和除数同时扩大100倍计算，但计算过程出错了。因此，小明和小辉作答正确。多种表征方式和解决问题方法的呈现，为学生提供了多维度解决小数除法问题的机会，让学生搭建起不同方法之间的联系，深入理解了除法的意义。教师通过学生的解释可以发现学生擅长使用的直观模型，以及学生在理解小数除法方面的困难。诊断结果可作为调整课堂教学重难点的依据。2.推理思路外显化，搭建推理支架培养推理能力的作业要在思维的推进和深化上下功夫，以发挥作业诊断、反馈、促进发展的功能。认知外显（CognitiveExternalization）指将内在的思维或知识外化为外在的行为，这在推理类作业中必不可少，是发挥上述作业功能的关键路径。推理类作业既要考查学生推理的结果是否正确，又要关注推理过程中学生逐步建立推理思路的过程，引导学生将数学思考和解决问题的过程具体化、可视化，帮助学生更全面、深入地理解和掌握数学知识。教师可以通过让学生举例、写出每一步思路、画图表示自己的想法以及操作直观模型来表达等方式，外显化学生的思维，使其更加明确并且易于交流和共享。认知外显不仅可以促进学生思维发展和学习进阶，还可以提供一个反馈机制，让学生更好地理解和评估自己的思维水平和知识掌握情况，并展开进一步思考与改进。在这个过程中，推理支架必不可少。推理作为一种高级思维活动并不是学生与生俱来的能力，因此，作业设计既要注重考查学生的推理能力，又要承担培养学生推理思维的职责，而搭建推理支架是一个很好的切入口。以作业2为例，教师设计了三角形面积比较的问题，并通过搭建3个支架，帮助学生建立从特殊到一般的推理思维。作业2：观察并比较下面图形的面积。（1）请你分别比较图2-1中两个深色三角形的面积大小和两个浅色三角形的面积大小，写出比较的过程和结果。（每个小方格的边长为1cm）（2）请你分别比较图2-2中两个深色三角形的面积大小和两个浅色三角形的面积大小，写出比较的过程和结果。（每个小方格的边长为1cm）（3）经过上面两次比较，你有什么发现？写出你的发现。你能在图2-3上画出一组具有这样特点的图形吗？作业2通过3个问题搭建推理的三个阶梯，旨在培养学生的推理能力。问题1以深色等腰三角形这个特例作为主要研究对象，让学生分别探究两种颜色三角形的面积大小关系，从而做出猜测。问题2稍微放宽条件，要求学生探究等底不等高的任意三角形是否存在同样的规律，搭建了推理的支架，引导学生聚焦图形的核心特征继续猜测并验证规律。问题3引导学生在前两个支架的基础上提出一般化结论并画图验证。3.关注语言转换，建构模型意识在表达方面，义务教育阶段的数学课程主要培养学生用数学语言表达现实世界中的简单数量关系与空间形式的能力，引导学生初步感悟数学与现实世界的交流方式，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯。利用作业培养学生用数学语言进行表达的能力与习惯，既要关注数学语言本身，又要关注数学语言背后的关系思维。第一，关注语言之间的转换。数学语言以其抽象性和简洁性著称。义务教育阶段，学生的认知具有直观化的特点，教师要通过广泛建立其他直观语言与数学语言之间的联系，培养学生用数学语言流畅地表达的能力与习惯。作业设计中，教师可以通过建立直观语言、直观图像、文字语言和数学语言之间的转化通道，为学生提供正确运用数学语言、术语和符号有效组织、展示数学思想和解决问题过程的机会。以作业3为例，教师将等式这种抽象的符号化表达用直观图像呈现，借助天平的特点体现等式的意义。作答过程中，学生需要理解天平所代表的相等意义，关注天平两边的数量关系，在将直观图像转换为等式的过程中抽象出符号所代表的数量及它们之间的关系，完成从直观图像向数学语言的转化。第二，构建开放性关系网络。数学建模的过程是寻找和探索情境中的特定模式，发现数学结构和潜在关系的过程。现实世界中，我们能观察到的信息量巨大，选择哪些数量解决问题、在数量之间建立什么样的关系都是学生建模能力的考查点。设计开放性问题解决的作业有助于学生体验在真实世界中建立模型的过程。教师可以通过给出多余条件、删除必要条件等方式，打破学生以往解决问题的常规思路，引导学生经历真实的建模过程。以作业4为例，不同于传统的考查相向而行问题的作业，这道题没有在题干中直接给出常规的条件和问题，而是通过提供多项与速度、路程相关的信息，引导学生自主提取求解“几分钟相遇？”这个问题所需要的条件。作业4：小丽和小红约好去公园锻炼，约定周日上午9：00两人从步道的两端同时出发，相向而行。小丽问：两人走几分钟能相遇？（1）下面哪些信息可以解决小丽提出的问题？在所选信息后面的括号里画“√”。小丽每分钟走55m，小红每分钟走65m（

）。小丽走一步的距离是0.5m，小红走一步的距离是0.6m（

）。公园南门到东门之间的步道长2100m（

）。（2）根据你选择的信息解答小丽提出的问题。解题过程中，学生首先要建立速度、时间