专题13.14 等腰三角形七种常见辅助线作法（方法梳理与题型分类讲解）（人教版）（学生版） 2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题13.14等腰三角形七种常见辅助线作法（方法梳理与题型分类讲解）第一部分【模型归纳与题型目录】题型目录【题型1】作等腰三角形底边上高线求值或证明.................................1【题型2】遇到中点作中线求值或证明.........................................2【题型3】过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线.............................3【题型4】过一腰上的某一已知点做底边的平行线...............................4【题型5】倍长中线构造等腰三角形...........................................5【题型6】截长补短构造等腰三角形...........................................6【题型7】延长相交构造或证明等腰三角形.....................................7第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】作等腰三角形底边上高线求值或证明【例1】（2024·浙江·模拟预测）如图，是等腰三角形，．设．(1)如图1，点D在线段上，若，求的度数（用含的代数式表示）．(2)如图2，已知．若，过点B作于点H，求证：．【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分交于点，是上一点，且．求证：．

【变式2】（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧）点D是射线上一动点（不与点C重合），点E在线段上，且．

(1)如图1，当点E与点C重合时，与的位置关系是，若，则的长为；（用含a的式子表示）(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接，①若，求的度数；②用等式表示与直间的数量关系，并证明．【题型2】遇到中点作中线求值或证明【例3】（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）在中，，且的顶点E在边上移动，在移动过程中，边，分别与，交于点M，N，(1)当且M与A重合时，求证：(2)当E为中点时，连接，求证：【变式1】（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，中，，是的中点，、分别是、上的点，且，求证：．

【变式2】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，过的中点D作，，垂足分别为点E，F．(1)求证：；(2)若，求的度数．【题型3】过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线【例3】（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，是等边三角形，是的中点，点在上，点在直线上，(1)当点与重合时，判断的形状，并说明理由?(2)当点在的延长线上时，求证：．【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在等边中，点D、E分别在和边上，以为边作等边，连接．若，．则的长是．【变式2】（22-23八年级下·广西南宁·开学考试）如图，等边三角形中，D为上一点，E为延长线上一点，交于点F，且．若，则的长为．【题型4】过一腰上的某一已知点做底边的平行线【例4】（23-24八年级上·湖南怀化·期末）如图，在等边中，点M为上任意一点，延长至点N，使，连接交于点P．

(1)求证：；(2)作于点H，设，请用含的式子表示的长度．【变式1】（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．如图，已知E是的中点，点A在上，且．求证：．

(1)现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．①如图1，延长到点F，使，连接；②如图2，过点B作，交的延长线于点F，过点C作，垂足为G．请你在图3中添加不同于（1）中的辅助线，并对原题进行证明．【变式2】（21-22八年级上·湖北武汉·期中）如图，在等边三角形中，点D在上，延长至点E，使于点F．(1)如图①，若点D是的中点，求证：；(2)如图②，若点D是上任意一点，是否仍然成立？请证明你的结论；(3)如图③，若点D是延长线上的任意一点，其他条件不变，（2）中的结论是否仍然成立？画图并写出你的结论，不必证明．【题型5】倍长中线构造等腰三角形【例5】（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，D是的中点，E是上一点，，的延长线交于点F，若，，则求的度数为．

【变式1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图在四边形中，是的中点，连接，平分，，，则线段的长为．【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）小明同学在学习完全等三角形后，发现可以通过添加辅助线构造全等三角形来解决问题．(1)如图（1），是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________．(2)如图（2），在中，点在上，且，过作，且．求证：平分．【题型6】截长补短构造等腰三角形【例6】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，，三角形内有一点，连接，，，若平分，，则．

【变式1】（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，平分交于点D，点E在的延长线上，，若，则线段的长为．【变式2】（2024·陕西西安·三模）如图，是等边三角形，D为外一点，且，连接，若，则的长为．【题型7】延长相交构造或证明等腰三角形【例7】（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，，动点在射线上，交于，的平分线交于．则当时，．