2024-2025学年衡阳市衡阳县高二数学上学期10月考试卷附答案解析

-2025学年衡阳市衡阳县高二数学上学期10月考试卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.设集合，则集合的真子集个数为（）A.7 B.8 C.15 D.162已知，，则（

）A.23 B. C. D.3.在平行四边形中，已知，则（）A.5 B.9 C.13 D.184.已知向量满足，则（）A. B. C. D.5.在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，则复数对应的点所在象限为（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.已知圆锥的轴截面是边长为3的等边三角形，且该圆锥底面圆和顶点都在球的球面上，则球的体积为（）A. B. C. D.7.已知一组数据：的平均数为6，则该组数据的分位数为（）A.4.5 B.5 C.5.5 D.68.现有7张分别标有卡片，甲一次性从中随机抽取5张卡片，抽到的卡片数字之和为，剩下的2张卡片数字之和为，则的概率为（）A. B. C. D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）9.已知事件两两互斥，若，则（）A. B.C. D.10.已知正方体的棱长为2，E是正方形的中心，F是棱CD(包含顶点)上的动点，则以下结论正确的是（）A.EF的最小值为B.存在点F，使EF⊥C.三棱锥的体积是定值D.直线EF与平面所成角的正切最大值为11.如图，四棱柱中，为的中点，为上靠近点的五等分点，则（）A. B.C. D.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.如图，在某个海域，一艘渔船以海里/时的速度，沿方位角为的方向航行，行至处发现一个小岛在其东偏南方向，半小时后到达处，发现小岛在其东北方向，则处离小岛的距离为__________海里.13.从2011名学生中选取40名同学组成参观团，若采用下面的方法选取：先简单随机抽样从2011人中剔除11人，再将剩下的2000人按系统抽样的方法进行选取，则每个人入选的概率为______．14.已知的内角所对的边分别为a、b、c，，为边上一点，满足，且．则的最小值为______．四、解答题（本题共5小题，共77分）15.在中，角，，的对边分别为，，，.（1）求；（2）若面积为，周长为8，求.16已知非零向量，满足，且，.（1）求的值；（2）证明：；（3）设与的夹角为，求及的值.17.某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分.现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求的值，并求这100名学生成绩的中位数（保留一位小数）；（2）若认定评分在80,90内的学生为“运动爱好者”，评分在90,100内的学生为“运动达人”，现采用分层抽样的方式从不低于80分的学生中随机抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的概率.18.甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母和；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母和；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母和．从三个口袋中各随机取出1个小球．（1）取出的3个小球上恰好有1个､2个和3个元音字母的概率分别是多少？（2）取出3个小球上全是辅音字母的概率是多少？（注：本题中，是元音字母；是辅音字母）19.如图所示，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，分别是棱的中点，是的中点.（1）证明：；（2）证明：平面平面；（3）求二面角的余弦值.2024-2025学年衡阳市衡阳县高二数学上学期10月考试卷第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.设集合，则集合的真子集个数为（）A.7 B.8 C.15 D.16【答案】C【解析】【分析】根据集合对元素的要求，求得集合，即得其真子集个数.【详解】由且可知，可以取，则可取，即，故集合的真子集个数为.故选：C.2.已知，，则（

）A.23 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据余弦和角公式和求出，求出，利用二倍角公式求出答案.【详解】，，，.故选：C.3.在平行四边形中，已知，则（）A.5 B.9 C.13 D.18【答案】B【解析】【分析】根据向量加法、减法和数量积运算列方程来求得.【详解】，两式平方并相减得，所以.故选：B4.已知向量满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的夹角公式直接求解即可.【详解】因为，所以.故选：C5.在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，则复数对应的点所在象限为（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】设出复数的代数形式，利用复数的除法运算求出即可判断得解.【详解】由在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，设，则，显然，所以点在第一象限，A正确.故选：A6.已知圆锥的轴截面是边长为3的等边三角形，且该圆锥底面圆和顶点都在球的球面上，则球的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据圆锥的轴截面是边长为3的等边三角形，求出外接球的半径即可求出体积.【详解】圆锥的轴截面是边长为3的等边三角形，边长为3的等边三角形的外接圆半径即是圆锥的外接球半径,设球的半径为，由正弦定理得，即，故球的体积.故选：D.7.已知一组数据：的平均数为6，则该组数据的分位数为（）A.4.5 B.5 C.5.5 D.6【答案】C【解析】【分析】由平均数及百分位数的定义求解即可.【详解】依题意，，解得，将数据从小到大排列可得：，又，则分位数为.故选：C.8.现有7张分别标有的卡片，甲一次性从中随机抽取5张卡片，抽到的卡片数字之和为，剩下的2张卡片数字之和为，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据题意，将转化为，再结合古典概型公式求解即可.【详解】因为，所以，故，而，所以，解得，所以求的概率即可，从7张卡片抽2张，基本事件有，，共有个基本事件，且设的概率为，符合题意的事件有，，共9种，所以，故D正确.故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查概率，解题关键是合理消元，转化条件，然后利用古典概型公式得到所要求的概率即可．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）9.已知事件两两互斥，若，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据互斥事件的概念、互斥事件概率加法公式得解.【详解】对于A，因为事件两两互斥，所以，故A错误.对于B，由，得，故B正确.对于D，由，得，故D正确.对于C，因为，所以C正确.故选：BCD10.已知正方体的棱长为2，E是正方形的中心，F是棱CD(包含顶点)上的动点，则以下结论正确的是（）A.EF的最小值为B.存在点F，使EF⊥C.三棱锥的体积是定值D.直线EF与平面所成角的正切最大值为【答案】BCD【解析】【分析】A选项，作出辅助线，得到F为CD中点时，EF取得最小值，由勾股定理求出最小值；B选项，当点F与点C重合时，证明线面垂直，得到⊥，⊥EF；C选项，根据的面积不变，点E到平面距离不变，得到三棱锥体积不变；D选项，取的中点，证明出当与重合时，平面，由对称性可知，当点F与点C或D重合时，直线EF与平面所成角最大，故正切值最大，求出各边长，得到正切最大值.【详解】对于A，取的中点，连接，则⊥平面，连接FM，显然F为CD中点时，EF取得最小值，此时，故A不正确．B选项，当点F与点C重合时，因⊥，又⊥平面，平面，故⊥，又，平面，故⊥平面，又平面，所以⊥，所以⊥EF，所以B正确；C选项，的面积不变，点E到平面(平面)的距离不变，所以三棱锥的体积是定值，所以C正确；D选项，取的中点，连接，，则，，取的中点，连接，则，故四边形为平行四边形，故，由于平面，平面，故平面，故当与重合时，平面，由对称性可知，当点F与点C或D重合时，直线EF与平面所成角最大，故正切值最大，最大值为，所以D正确.故选：BCD．【点睛】方法点睛：立体几何中最值问题，一般可从三个方面考虑：一是构建函数法，即建立目标函数，转化为函数的最值问题进行求解；二是借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵制的变量（两个变量之间有等量关系），往往可以使用此种方法；三是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值.11.如图，四棱柱中，为的中点，为上靠近点的五等分点，则（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】运用空间向量的基底表示，结合平面向量的三角形法则和线性运算规则可解.【详解】，即，故A错误、B正确；，即，故C错误，D正确.故选：BD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.如图，在某个海域，一艘渔船以海里/时的速度，沿方位角为的方向航行，行至处发现一个小岛在其东偏南方向，半小时后到达处，发现小岛在其东北方向，则处离小岛的距离为__________海里.【答案】【解析】【分析】根据题意得，，，再利用正弦定理可得.【详解】由题意及方位角可得，，，，因为渔船以海里/时的速度航行，所以海里，由正弦定理可得，即，得海里，故答案为：.13.从2011名学生中选取40名同学组成参观团，若采用下面的方法选取：先简单随机抽样从2011人中剔除11人，再将剩下的2000人按系统抽样的方法进行选取，则每个人入选的概率为______．【答案】【解析】【分析】根据随机抽样可知：每个个体入选的概率均等，与抽样方法和过程无关，即可得结果.【详解】根据随机抽样可知：每个个体入选的概率均等，与抽样方法和过程无关，所以每个人入选的概率为.故答案为：.14.已知的内角所对的边分别为a、b、c，，为边上一点，满足，且．则的最小值为______．【答案】9【解析】【分析】由条件可得BD平分，利用三角形等面积转化可得，求出代入所求式，整理后运用基本不等式即可求得.【详解】由得平分．因为，故由，可得，化简得，即，则．因为，故，当且仅当，即时，等号成立，此时取得最小值9．故答案为：9四、解答题（本题共5小题，共77分）15.在中，角，，的对边分别为，，，.（1）求；（2）若的面积为，周长为8，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理角化边可得，由余弦定理即可求出角；（2）根据三角形面积公式可得，利用余弦定理结合完全平方公式可得，即可求.【小问1详解】因为，由正弦定理可得：所以，整理得，所以，因为，所以【小问2详解】因为的面积为，所以由（1）可知，，解得，所以又因为，所以，解得.16已知非零向量，满足，且，.（1）求的值；（2）证明：；（3）设与的夹角为，求及的值.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3），.【解析】【分析】（1）由条件，结合数量积的运算律求；（2）由条件根据数量积运算律求，再计算，由此证明结论；（3）根据模的性质和数量积运算律求，根据向量夹角公式求.【小问1详解】因为，所以，故，又，所以，【小问2详解】因为，所以，又，所以，所以，所以；【小问3详解】因为，所以，因为，又，，，所以.17.某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分.现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求的值，并求这100名学生成绩的中位数（保留一位小数）；（2）若认定评分在80,90内的学生为“运动爱好者”，评分在90,100内的学生为“运动达人”，现采用分层抽样的方式从不低于80分的学生中随机抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的概率.【答案】（1），中位数是分（2）【解析】【分析】（1）根据频率之和为求得，根据中位数求法求得中位数.（2）先按分层抽样计算出、抽取的人数，然后利用列举法求得所求概率.【小问1详解】依题意，，解得.前三组的频率为，所以中位数为分.【小问2详解】的频率为，的频率为，两者的比例是，所以抽取的名学生中，中的有人，记为；在中的有人，记为；从中抽取人，基本事件有，共种，其中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的是：，共种，故所求概率为.18.甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母和；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母和；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母和．从三个口袋中各随机取出1个小球．（1）取出的3个小球上恰好有1个､2个和3个元音字母的概率分别是多少？（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？（注：本题中，是元音字母；是辅音字母）【答案】（1）（1个元音），（2个元音），（3个元音）；（2）.【解析】【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后根据古典概型求得所有的结果；（2）首先求得取出的3个小球上全