高中数学课件-2.3向量的坐标表示和空间向量基本定理

空间向量与立体几何第二章1．在给定的空间直角坐标系中，i，j，k分别为x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，对于空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得a＝xi＋yj＋zk.我们把a＝xi＋yj＋zk叫作a的标准正交分解，把i，j，k叫作标准正交基．__________叫作空间向量a的坐标，记作a＝_________，a＝____________叫作向量a的坐标表示．(x，y，z)(x，y，z)(x，y，z)(x，y，z)(x，y，z)2．向量坐标的求法若向量a不在任何一个坐标平面内，把a的起点移到坐标原点，以a为对角线，以x轴，y轴，z轴为棱，作长方体．长方体各棱长就是相应______________．与平面向量一样，向量起点在原点时，终点坐标就是向量坐标．3．向量a在向量b上的投影一般地，若b0为b的单位向量，称a·b0＝____________为向量a在向量b上的投影．任一向量在坐标轴正方向上的投影就是此向量相应坐标．坐标的绝对值|a|cos〈a，b〉4．空间向量基本定理如果向量e1、e2、e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝_____________________.λ1e1＋λ2e2＋λ3e35．基底(1)空间中不共面的三个向量e1、e2、e3叫作这个空间的一个__________．(2)空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个________．(3)如果作为空间的一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作__________．基底基底正交基底6．特殊向量的坐标表示若向量a平行x轴，则a＝(x,0,0)．若向量a平行y轴，则a＝(0，y,0)．若向量a平行z轴，则a＝(0,0，z)．若向量a平行xOy平面，则a＝(x，y,0)．若向量a平行yOz平面，则a＝(0，y，z)．若向量a平行zOx平面，则a＝(x,0，z)．1．用空间三个不共面的已知向量a，b，c可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．2．空间任意三个不共面的向量都可以作为表示空间向量的一个基底．3．由于0可看作是与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含它们都不是0.要明确：一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．4．用基底中的基向量表示向量(即向量的分解)，关键是结合图形，运用三角形法则、平行四边形法则及多边形法则，逐步把待求向量转化为基向量的“代数和”．5．空间向量基本定理的证明空间向量的坐标表示[分析]

若向量a可以用基向量e1，e2，e3表示为a＝xe1＋ye2＋ze3，则(x，y，z)就是a在基底{e1，e2，e3}下的坐标．

空间向量基本定理投影问题[点评]

本题为综合题，用到了投影公式．(3)题中可由i·k＝i·j＝k·j＝0，i·i＝1，j·j＝k·k＝1求出．[点评]

求投影有两种方法：①先求出两个点A、B分别在平面上的投影A′、B′，则A′、B′的连线就为AB在平面上的投影；②根据公式a·b0＝|a|cos〈a，b〉，b0为b的单位向量．探索性问题设a1＝2i－j＋k，a2＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝3i＋2j＋5k，试问是否存在实数λ、μ、v，使a4＝λa1＋μa2＋va3成立？如果存在，求出λ、μ、v的值；如果不存在，请给出证明．[点评]

本题的意思是a4能否用a1，a2，a3线性表示．其实，只要a1，a2，a3不共面，就可以表示空间任一向量．线性运算在向量运算中具有十分重要的作用．课堂巩固训练一、选择题1．如果a、b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则(

)A．a与b共线

B．a与b同向C．a与b反向

D．a与b共面[答案]

A[解析]

因为空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，因此，a、b必与任何向量共面，所以a、b为共线向量．故选A.[答案]

A3．向量a＝(0,2,3)，则(

)A．a平行于x轴

B．a平行于平面yOzC．a平行于平面zOx D．a平行于平面xOy[答案]

B[解析]

因为a的横坐标为0，所以a平行于平面yOz.5．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间的基底的向量组有________个．[答案]

3[解析]

②③④都可以作为空间