初中数+学++　与三角形有关的角+课件++人教版数学八年级上册

11.2.1三角形的内角第十一章三角形11.2

与三角形有关的角

我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°，思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为

180°

呢?折叠还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？验证结论三角形三个内角的和等于

180°.求证：∠A+∠B+∠C=180°.已知：△ABC.证法1：过点

A作

l∥BC，则∠B=∠1，∠C=∠2(两直线平行，内错角相等).

∵∠1+∠2+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAC=180°.12证法2：延长

BC到

D，过点

C作

CE∥BA，则∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)，∠B=∠2(两直线平行，同位角相等).又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.CBAED12CBAEDF证法3：过

D作

DE∥AC，DF∥AB.∴∠C=∠EDB，∠B=∠FDC(两直线平行，同位角相等)，∠A+∠AED=180°，∠EDF+∠AED=180°(两直线平行，同旁内角相补).∴∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠C

+∠A

+∠B=180°.想一想：同学们还有其他的证法吗？知识要点

在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.思路总结

为了证明三个角的和为

180°，转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.辅助线例1

如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.ABCD解：由∠BAC=40°，

AD是△ABC的角平分线，得∠BAD=∠BAC=20°.在△ABD中，∠ADB=180°-

∠B

-

∠BAD=180°-

75°-

20°=85°.三角形的内角和定理的运用解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.又∵∠CFD＝∠AFE，∴∠CFD＝60°.∴在△CDF中，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.例2如图，△ABC中，D在

BC的延长线上，过

D作

DE⊥AB于

E，交

AC于

F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.基本图形由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.总结归纳由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.例3

在△ABC

中，∠A

的度数是∠B

的度数的3倍，∠C

比∠B

大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.解：设∠B为

x°，则∠A为3x°，∠C为(x+

15)°，从而有3x+

x+(x+

15)＝180.解得x＝33.∴3x＝99，x+15＝48.答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.几何问题借助方程来解，

这是一个重要的数学思想.例4.如图，在△ABC

中，∠B

=

42°，∠C

=

78°，AD

平分∠BAC．求∠ADC

的度数.解：∵∠B

=

42°，∠C

=

78°，∴∠BAC

=

180°

-

∠B

-

∠C

=

60°.∵

AD

平分∠BAC，∴∠CAD

=

∠BAC

=

30°.∴∠ADC

=180°

-

∠C

-

∠CAD

=

72°.

例5.如图，在△ABC

中，BP

平分∠ABC，CP

平分∠ACB.（1）若∠A

=

60°，求∠BPC

的度数．解：在△ABC

中，∵∠A

=

60°，∴∠ABC

+∠ACB

=

120°．∵

BP

平分∠ABC，CP

平分∠ACB，∴∠PBC

+∠PCB

=

(∠ABC

+∠ACB)

=

60°．∵∠PBC

+∠PCB

+∠BPC

=

180°，∴∠BPC

=

180°

-

60°

=

120°．拓展提升(2)你能直接写出∠BPC与∠A

之间的数量关系吗？解：∵

BP

平分∠ABC，CP

平分∠ACB，∴∠PBC

+∠PCB

=

(∠ABC

+∠ACB)．∵∠PBC

+∠PCB

+∠BPC

=

180°，∴∠BPC

=

180°

-

(∠ABC

+∠ACB)

=

180°

-

(180°

-

∠A）

=90°

+∠A．三角形的内角和定理证明了解添加辅助线的方法及其目的内容三角形内角和等于

180°第2课时

直角三角形的性质和判定问题1：如下图所示是我们常用的三角板，它们两锐角的度数之和分别为多少度?30°

+

60°

=90°45°

+

45°

=90°直角三角形的两个锐角互余问题2：如图，在直角△ABC

中，∠C

=90°，两锐角的和等于多少呢？在直角△ABC

中，∠C

=

90°，

由三角形内角和定理，得∠A+∠B+∠C

=180°，故∠A+∠B

=

90°.思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？ABC直角三角形的两个锐角互余．应用格式：在

Rt△ABC

中，∵∠C=

90°，∴∠A+∠B=90°．直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形

ABC

可以写成

Rt△ABC．总结归纳解:∵∠B

=

∠C

=

90°，∴∠A

+∠AOB

=

90°，∠D

+∠COD

=

90°.∵∠AOB

=

∠COD，∴∠A

=

∠D.(2)解：∠A

=

∠C.

理由如下：∵∠B

=

∠D=

90°，∴∠A

+∠AOB

=

90°，∠C+∠COD

=

90°.∵∠AOB

=

∠COD，∴∠A

=

∠C.例6（1）如图①，∠B

=∠C

=

90°，AD

交BC

于点

O，∠A

与∠D

有什么关系？（2）如图②，∠B

=∠D

=

90°，AD

交

BC

于点

O，∠A

与∠C

有什么关系？请说明理由.图①例7

如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点

E.∠CAE与

∠DBE有什么关系？为什么？ABCDE解：∠CAE=∠DBE.理由如下：在

Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC.在

Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED.∵∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠DBE.解：∵

CD⊥AB

于点

D，BE⊥AC

于点

E，

∴∠BEA

=∠BDF

=

90°.

∴∠ABE

+∠A

=

90°，

∠ABE

+∠DFB

=

90°.

∴∠A

=∠DFB.

∵∠DFB

+∠BFC

=180°，

∴∠A

+∠BFC

=180°.【变式题】如图，△ABC

中，CD⊥AB

于

D，BE⊥AC于

E，CD，BE

相交于点

F，∠A

与∠BFC

又有什么关系？为什么？例8

如图，∠C

=90°，∠1=∠2，△ADE

是直角三角形吗？为什么？ACBDE((12在

Rt△ABC中，∠2+∠A=90°.∵∠1=∠2，

∴∠1+∠A=90°，即

△ADE是直角三角形.解：△ADE是直角三角形.理由如下：例9

如图，CE⊥AD，垂足为

E，∠A

=

∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？解：△ABD是直角三角形.理由如下：∵

CE⊥AD，∴∠CED

=

90°．∴∠C

+∠D

=

90°．∵∠A

=

∠C，∴∠A

+∠D

=

90°．∴△ABD是直角三角形.直角三角形的性质与判定性质直角三角形的两个锐角互余判定有两个角互余的三角形是直角三角形11.2.2三角形的外角BDCAO●40°

70°

？问题：懒羊羊独自在

O处游玩，灰太狼发现后打算先从

A前进到

C处，然后再折回到

B处截住懒羊羊返回羊村的去路，红太狼则直接在

A处拦截懒羊羊，已知∠BAC=40°，∠ABC=70°.灰太狼从

C处要转多少度角才能直达

B处？●●●定义如图，把△ABC的一边

BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.∠ACD是△ABC的一个外角CBAD三角形的外角的概念三角形的外角应具备的条件：①

角的顶点是三角形的顶点；②

角的一边是三角形的一边；③

另一边是三角形中一边的延长线.∠ACD是△ABC的一个外角，CBAD每一个三角形都有6个外角．总结归纳三角形的外角ACBD相邻的内角不相邻的内角问题1

如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？∠BCD与∠ACB互补.三角形的外角的性质三角形内角和定理的推论ABCD(((三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.应用格式：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD=∠A+∠B.知识要点

例10如图，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求∠BFC的度数.解：∵∠BEC是△AEC的一个外角，∴∠BEC=∠A+∠ACE.∵∠A=42°

，∠ACE=18°，∴∠BEC=60°.∵∠BFC是△BEF的一个外角，∴∠BFC=∠ABD+∠BEF.∵∠ABD=28°，∠BEF=60°，∴∠BFC=88°.FACDEB例11如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．E解：延长

BP交

AC于点

E，则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A.∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE

＝150°－30°＝120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+