数学物理方法-复数与复变函数

数学物理方法概述《数学物理方法》是物理系本科的必修课，是衔接数学与物理学的一门重要的基础课程。本课程在高等数学和普通物理学的基础上论述古典数学物理中的常用方法，为后续的理论物理系列课程做准备，打下用数学知识定量解决复杂物理问题的基础。课程的主要目的是，培养学生用数学语言表述物理问题的能力、综合应用数学知识的能力，提高运算能力。课程的主要内容有：复变函数论和数学物理方程两大部分.数学物理方法复变函数数学物理方程教材及指导书

一、教材：梁昆淼编.《数学物理方法》，第三版，高等教育出版社，1998年6月二、主要的参考书：。胡嗣柱、倪光炯编，《数学物理方法》高等教育出版社。陆全康编，《数学物理方法》上、下，上海：上海科学技术出版社。陆全康编，《数学物理方法自学辅导》，上海：上海科学技术出版社。郭敦仁编，《数学物理方法》，北京：人民教育出版社。胡嗣柱、倪光炯编，《数学物理方法》，上海：复旦大学出版社第一章复数与复变函数第一节复数及运算第二节区域第三节复变函数第四节复变函数的极限和连续性第一节复数及运算复数的概念复数相等复数形如z=x+iy的数被称为复数，其中x,y∈R。x=Rez，y=Imz分别为z的实部和虚部，i为虚数单位，其意义为i2=-1z1=z2当且仅当Rez1=Rez2且Imz1=Imz1复平面复数与平面向量一一对应z平面复数z=x+iy虚轴实轴模幅角复数不能比较大小主幅角复数的表示代数表示：z=x+iy三角表示：z=r(cosθ+isinθ)指数表示：z=rexp(iθ)注意在三角表示和指数表示下，两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差2kπ复数的运算设z1=x1+iy1和

z2=x2+iy2是两个复数加减运算z1±

z2=(x1±x2)

+i(y1±

y2)复数加减法满足平行四边形法则，或三角形法则z1+(-

z2)-

z2乘法运算两个复数相乘等于它们的模相乘，幅角相加除法运算两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减共轭运算复数z=x+iy的共轭复数为z*=x-iy共轭复数为z*是复数z关于实轴的对称点零点与无穷远点复平面上有些个点比较特殊,比如:零点和无穷远点.(1)复数零的幅角无意义,模为0.(2)无穷远点的模为∞,幅角没有意义.关于无穷远点的定义需要借助测地投影法。复球面无穷远点测地投影法定义无穷远点A举例ii第三节复变函数为了更好的理解这个定义，我们需要了解以下概念：区域、邻域、内点、外点、境界线、闭区域、开区域等。邻域：以z0为圆心，以任意小正数ε为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为z0的邻域。内点：

z0及其邻域均属于点集G，则该点叫作G的内点。境界线：若z0及其邻域内既有属于G的点，也有不属于G的点，则该点为境界点，境界点的全体称为境界线。外点：

z0及其邻域均不属于点集G，则该点叫作G的外点。境界点内点外点区域境界线开集设G为一平面点集，z0为G中任意一点，如果存在z0的一个邻域，使该邻域的所有点都属于G，那么称z0为G的内点。如果G内的每一个点都是它的内点，那么称G为开集。Gz0区域的概念Dz1z2p连通性点集中的任何两点都可以用一条曲线连接起来，且线上的点全属于该点集。区域平面点集D称为一个区域，如果它满足下列两个条件：1.D是开集；2.D是连通的。闭区域区域D连同它的边界一起构成闭区域，记为Dz1z2pxyORxyORxyROr

1xyR-ROxOyxOy

2

1举例用复数表示的平面点集单连通域与复连通域设B为复平面上的一个区域，如果在其中作一条简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而曲线内部总属于B

，则称B为单连通区域，否则称为复连通区域。BB单连通域复连通域复变函数的定义设G是一个复数z=x+iy的集合。如果有一个确定的法则存在，按照这一法则，对于集合G中的每一个复数z，有一个或多个复数ω=u+iv与之对应，那么称复变数ω是复变数z的函数，或复变函数，记为ω=f(z)。说明1如果z的一个值对应着ω的唯一一个值，那么我们称f(z)是单值的；如果z的一个值对应着多个ω的值，那么我们称f(z)是多值函数。说明2复变函数ω=f(z)可以看作是z平面到ω平面上的一个映射。复变函数ω=f(z)可以写成ω=u(x,y)+iv(x,y)，其中是z=x+iyω=f(z)z平面ω平面举例求0<θ<π,0<r<1经ω=iz变换后在ω平面上的图形。z平面ω平面ω=iz=zexp(iπ/2)复变函数举例—基本初等函数指数函数性质1，没有零点2，乘积公式3，周期性举例求z平面上带形区域-∞<Rez<+∞,0<Imz<π经ω=ez

变换后在ω平面上的图形。ω=ez注意根式函数记注意根式函数是多值函数举例1设，规定0≤arg(z-1)<2π，求ω(2),ω(i),ω(0),ω(-i)。对数函数性质1性质2注意符号lnz与ln|z|，以及Lnz的区别恒等式下列式子不成立举例计算Ln2，

Ln(-1)，Ln(-i)，Ln(1+i)Oxy1+i2-i-1三角函数性质1，周期性：周期2π2，三角关系式：3，非有界函数：举例求解sinz=0的全部根求解sinz=2的全部根双曲函数性质1.

以2πi为周期2.

sinh

z=-isin(iz),cosh

z=cos(iz)3.

恒等式：cosh2z-sinh2z=1幂函数第四节复变函数的极限和连续性复变函数的极限设函数ω=f(z)定义在区域B的单值函数，如果任给实数

ε>0，若存在实数δ>0,当B内的z满足0<|z-z0|<δ时，存在有确定复数满足，则称ω0为f(z)当z趋向于z0时的极限，记为定理1定理2设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，A=u0+iv0，z=x0+iy0，那么举例复变函数的连续性称函数ω=f(z)在z=z0点连续，如果1.f(z0)存在；2.定理3设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，z=x0+iy0，那么f(z)在z=z0点连续的充分必要条件是函数u(x,y)和v(x,y)皆在(x0,y0)点连续。定理4连续函数的四则运算仍连续。举例第五节复变函数的导数

从定义形式上看，复变函数与实变函数是完全一样的，所以实变函数论中的相关规则往往可以适用于复变函数。例如：

但是，复变函数可导却比实变函数复杂的多，因为实变函数Δx只能沿实轴逼近0，而复变函数Δz则可以沿任何曲线逼近于0，因此，复变函数的可导有更严格的要求。首先看Δz则沿实轴逼近于0的情形：5.1复变函数f(z)在点z可微的必要条件：柯西-黎曼条件再看Δz沿虚轴逼近于0的情形：既然与路径无关，以上两式应该相等，即以上条件为复数z可导的必要条件，又称为柯西—黎曼条件（简称C-R条件）。总结以上结论，得到函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D上一点(x,y)可微的必要条件是:

(1)u(x,y)和v(x,y)在(x,y)点的偏导数存在；

(2)满足C-R条件。注意：函数在一点可微，则它在该点必定连续，反之则不一定正确。即：可微可导连续例如：试讨论函数在复平面上的连续和可微性注意：u(x,y),v(x,y)的偏导数存在且满足C-R条件只是必要条件，而不是充分条件。例如函数在z=0点满足上述条件，但函数在z=0点不可微。5.2复变函数f(z)在点z可微的充分必要条件把上述的C-R条件加强，就得到f(z)可微的充分必要条件：设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D确定，则f(z)在D的内点z=x+iy可微的充分必要条件是u(x,y),v(x,y)在点(x,y)处可微并满足C-R条件。相当于下述两个条件：(1)在点(x,y)不仅存在，而且还连续；(2)在点(x,y)满足C-R条件。满足上述条件的复变函数的微分可以写成下列形式之一：

可见，解析函数在每点的邻域内，其实部与虚部是相互联系的，联系的纽带为C-R条件。因此只要已知解析函数f(z)的实部或虚部中的任一个就能由C-R条件求出另一个。第六节解析函数定义：如果函数ω=f(z)在区域D上处处可微，则称f(z)是区域D上的解析函数，或称f(z)在D上解析。有时也说函数ω=f(z)在某点解析，应理解为不仅在该点可微，而且在该点的邻域内是可微的。如果函数ω=f(z)在z0点不解析，则z0称为函数f(z)的奇点。例：讨论函数ω=f(z)=x+ixy的解析性。解析函数的实部与虚部是通过C-R条件相互联系的，因此只要已知解析函数f(z)的实部或虚部中的任一个就能由C-R条件求出另一个。由C-R条件，用线积分得到，例1,已知函数f(z)的实部u(x,y)=x2-y2+xy,求虚部v(x,y)和这个解析函数f(z)。例2，求常数k，使为调和函数，并求以u为实部的解析函数f(z)例3，已知解析函数的实部u=exsiny,求v(x,y)和解析函数f(z).例4，已知解析函数的实部u=ex(xcosy-ysiny),f(0)=0,求f(z).例5，已知解析函数的虚部v=y/

(x2+y2),f(2)=0,求f(z).第七节解析函数与调和函数的关系

拉普拉斯方程：直角坐标系下：上式称为二维拉普拉斯(Laplace)方程(或称调和方程)。定义：凡具有二阶连续偏导数并满足二维拉普拉斯方程的函数，称为二维调和函数。

解析函数的实部与虚部是通过C-R条件相互联系，

解析函数具有任意阶的导数（下一章将证明），因而u，v总是有二阶连续偏导数，将C-R条件的第一个式子对x，第二个式子对y求导，有两式相加得定理：任何一个在区域D上解析的函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y),

其实部与虚部都是该区域上的调和函数，他们二者通过C-R条件联系，又称做相互共轭的调和函数。同理可得简写为或注意：反过来，如果u与