第五章-拉普拉斯变换-数学物理方法

第五章拉普拉斯变换Laplace变换（简称拉氏变换）是常用的一种积分变换.在数学、物理及工程科学中有广泛的应用.本章介绍Laplace变换的定义及其基本性质，以及它的简单应用.§5.1拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换是一种积分变换，它把f(t)变换为F(p).这里t是实数，p是复数，，F(p)称为f(t)的Laplace换式，是Laplace变换的核。通常把Laplace变换简写为：f(t)和F(p)分别称为拉氏变换的原函数和象函数.靠原函数的点在上方，靠象函数的点在下方.或.或注意：对许多实际问题，一般只研究t0情形，因此约定：

例1、函数f(t)=1的Laplace换式为：其中条件是为了保证积分收敛，或者说是Laplace变换存在的条件.【解】例2、函数的拉氏换式为：【解】这里的限制也是为了保证积分收敛，即Laplace变换存在的条件.从例1、例2可以看出，由于Laplace变换的核是e-pt，所以对于相当广泛的函数拉氏换式都存在；甚至当t

时，f(t)的拉氏换式也可能存在.这就是为什么要乘上的缘故.Laplace变换存在的条件，也就是收敛的条件:

f(t)在区间0t

中除了第一类间断点（在断点处左右极限都存在)外都是连续的，而且有连续导数，在任何有限区间中这种间断点的数目都是有限的

f(t)有有限的增长指数，即存在正数M>0和s>0，使对于任何t值（实际上，只要对于足够大的t值）

这是Laplace变换存在的充要条件.在很多情况下，该条件都能满足.如果s存在的话，它一定不是唯一的，因为比s大的任何正数也符合要求，s的下界称为收敛横标，记为so.常用函数的拉氏变换:……(其中可以是复数)（把sint和cost拉氏换式中的p换成p+

即可.）§5.2拉氏变换的性质性质1：拉氏变换是一个线性变换，即：这个性质很容易从Laplace变换的定义得到，因为它只不过是积分运算的线性性质的反映.性质2：原函数的导数的拉氏变换

设f(t)及都满足拉氏变换存在的充分条件，则：因此，对原函数f(t)的微商运算就转化为对象函数F(p)的乘法运算，而且还自动包括了f(t)的初值.正因为这个特点，拉氏变换方法是求解微分方程的一种重要方法.……例1、已知，求【解】例2、解强迫振动方程【解】令方程两边同时作拉氏变换，则：性质3：若，则【证明】

设则例.LC串联电路i(t)的微分方程设求解微分积分方程的问题转化为求解代数方程利用性质4：若，则【证明】……例：……，性质5：（延迟定理）若【证明】当时，例则约定性质6：（位移定理）若【证明】例1、（

=-）.

例2、同理

§5.3亥维赛展开定理若象函数为不可约有理分式，且G(p)的最高幂次比H(p)的最高幂次低，对此反演可以利用亥维赛展开定理.讨论

H(p)=0无重根H(p)的m个根：即问题：如何求上式的系数

两边同乘以洛必达法则：例1、求【解】或或例2求

（出现重根）

【解】求B,C时，若式子两边同乘p–1，在令，显然可以式子两边同乘(p–1)2：将(2)式两边对p求导，右边第一项含p–1，令p1，此项为零；右边第三项是常数C，求导后为零.因此：其中可利用位移定理进行反演

可利用性质四例3、求【解】在上式中最后两项的反演将得到和，还应将它化为sin3t和cos3t，为了结果更加容易处理，令：令p3i，得：§5.4卷积定理（折积定理）卷积定理：若则注意【证明】当时，故（约定）因此其中（因为t从0到

时，t-

<0，）卷积定理的积分换限也可以从图形上说明例1、解方程【解】设已知方程两边同时作拉氏变换：例2、

求【解一】利用延迟定理注意：利用延迟定理时，应加上H(t-

)，否则将出错.【解二】利用延迟定理由卷积定理例3、解常微分方程的初值问题【解】利用也可以不利用卷积定理：§5.6拉氏变换的应用例1求解RL交流电路【解】设

方程两边同时作拉氏变换，有：利用

令

电流分成两个部分：第一部分稳定的振荡部分第二部分随着t的增大指数衰减，当t较大时，可略去——衰减部分。当t较大时，电路存在稳定振荡，振荡频率为电源频率。（相当于力学中的受迫振荡）例2、互感电路如图，自感系数L，互感系数M，在t=0时，电容极板上无电荷积累，电感内部无磁场，求i2(t).设

方程两边同时作拉氏变换，有【解】代入第二方程得：令：位移定理同理：其