人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册学案2：§8 1　成对数据的统计相关性

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE1§8.1成对数据的统计相关性学习目标1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义.2.了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系.3.结合实例，会通过样本相关系数比较多组成对样本数据的相关性．知识梳理知识点一相关关系1．相关关系的定义：两个变量有关系，但没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．思考相关关系是函数关系吗？2．相关关系的分类(1)按变量间的增减性分为相关和相关．①正相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现的趋势；②负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现的趋势．(2)按变量间是否有线性特征分为相关和相关(曲线相关)．①线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在附近，我们称这两个变量线性相关；②非线性相关或曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是相关，我们称这两个变量非线性相关或曲线相关．知识点二相关关系的刻画1．散点图：为了直观描述成对样本数据的变化特征，把每对成对样本数据都用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图，叫做散点图．2．样本相关系数(1)我们常用样本相关系数r来确切地反映成对样本数据(xi，yi)的相关程度，其中r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\r(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))2)\r(\i\su(i＝1,n,)(yi－\x\to(y))2)).(2)样本相关系数r的取值范围为．①若r>0时，成对样本数据相关；②若r<0时，成对样本数据相关；③当|r|越接近时，成对样本数据的线性相关程度越强；④当|r|越接近时，成对样本数据的线性相关程度越弱．题型探究探究一变量间相关关系的判断例1.下列两变量中具有相关关系的是()A．正方体的体积与边长B．人的身高与体重C．匀速行驶车辆的行驶距离与时间D．球的半径与体积反思感悟两个变量是否相关的两种判断方法(1)根据实际经验：借助积累的经验进行分析判断．(2)利用散点图：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断．如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．跟踪训练1.(1)对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图①，对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图②.由这两个散点图可以判断()A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关(2)两个变量x，y与其线性相关系数r有下列说法：①若r＞0，则x增大时，y也随之相应增大；②若r＜0，则x增大时，y也相应增大；③若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上，其中正确的有()A．①② B．②③C．①③ D．①②③(3)有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③某人每日吸烟量和其身体健康情况；④正方形的边长和面积；⑤汽车的重量和百公里耗油量．其中两个变量成正相关的是(A．①③ B．②④C．②⑤ D．④⑤探究二样本相关系数的性质例2.如图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归直线，若去掉一个点使得余下的5个点所对应的数据的相关系数最大，则应当去掉的点是()A．D B．EC．F D．A反思感悟样本相关系数的性质(1)r的绝对值越接近0，相关性越弱．(2)r的绝对值越接近1，相关性越强．跟踪训练2.(1)在一组数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若这组样本数据的相关系数为－1，则所有的样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)满足的方程可以是()A．y＝－eq\f(1,2)x＋1 B．y＝x－1C．y＝x＋1 D．y＝－x2(2)设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线方程的回归系数为eq\o(b,\s\up8(^))，回归截距是eq\o(a,\s\up6(^))，那么必有()A.eq\o(b,\s\up8(^))与r的符号相同 B.eq\o(a,\s\up6(^))与r的符号相同C.eq\o(b,\s\up8(^))与r的符号相反 D.eq\o(a,\s\up6(^))与r的符号相同探究三样本相关系数的计算及应用例3.某厂的生产原料耗费x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下的对应关系：x2468y30405070(1)计算x与y之间的相关系数，并求其回归直线方程；(2)若实际销售额不少于80百万元，则原料耗费应该不少于多少？反思感悟线性相关强弱的判断方法(1)散点图：散点图只是粗略作出判断，其图象越接近直线，相关性越强．(2)样本相关系数：样本相关系数能够较准确的判断相关的程度，其绝对值越大，相关性越强．跟踪训练3.假设关于某种设备的使用年限x(单位：年)与所支出的维修费用y(单位：万元)有如下统计资料：x23456y2.23.85.56.57.0已知eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do6(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝90，eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do6(i＝1))yeq\o\al(2,i)≈140.8，eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do6(i＝1))xiyi＝112.3，eq\r(79)≈8.9，eq\r(2)≈1.4.(1)计算y与x之间的相关系数(精确到0.001)，并求出回归直线方程；(2)根据回归方程，预测假设使用年限为10年时，维修费用约是多少万元？课堂小结1．知识清单：(1)相关关系．(2)散点图．(3)正相关、负相关、线性相关、非线性相关．(4)样本相关系数．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：相关关系与函数关系不分，样本相关系数绝对值的大小与相关程度的关系．当堂检测1.两个变量之间的线性相关程度越低，其线性相关系数的数值()A．越接近于－1 B．越接近于0C．越接近于1 D．越小2.如图所示，给出了样本容量均为7的A，B两组样本数据的散点图，已知A组样本数据的相关系数为r1，B组数据的相关系数为r2，则()A．r1＝r2 B．r1＜r2C．r1＞r2 D．无法判定3.对于线性相关系数r，叙述正确的是()A．r∈(－∞，＋∞)，且r越大，相关程度越大B．r∈(－∞，＋∞)，且|r|越大，相关程度越大C．r∈〖－1,1〗，且r越大，相关程度越大D．r∈〖－1,1〗，且|r|越大，相关程度越大4.变量X与Y相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U与V相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则()A．r2<r1<0 B．0<r2<r1C．r2<0<r1 D．r2＝r15.如图是依据某集团1994年至2014年的出口贸易额的原始数据得到的散点图．给出下列经验公式：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋b；③y＝a·ebx.请依据该散点图的特征，指出拟合程度最不好的经验公式的序号：________．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁知识梳理知识点一相关关系1．思考〖答案〗不是．函数关系是唯一确定的关系．2．相关关系的分类(1)正负①增加②减少(2)线性非线性①一条直线②线性知识点二相关关系的刻画(2)〖－1,1〗①正②负③1④0题型探究探究一变量间相关关系的判断例1.〖答案〗B〖解析〗选项A中正方体的体积为边长的立方，有固定的函数关系；选项C中匀速行驶车辆的行驶距离与时间成正比，也是函数关系；选项D中球的体积是eq\f(4,3)π与半径的立方相乘，有固定函数关系．只有选项B中人的身高与体重具有相关关系．跟踪训练1.〖答案〗(1)C(2)C(3)C〖解析〗(1)由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关，故选C.(2)根据两个变量的相关性与其相关系数r之间的关系知，①③正确，②错误，故选C.(3)其中①③成负相关关系，②⑤成正相关关系，④成函数关系，故选C.探究二样本相关系数的性质例2.〖答案〗B〖解析〗因为相关系数的绝对值越大，越接近1，则说明两个变量的相关性越强．因为点E到直线的距离最远，所以去掉点E，余下的5个点所对应的数据的相关系数最大．跟踪训练2.〖答案〗(1)A(2)A〖解析〗(1)∵这组样本数据的相关系数为－1，∴这一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…(xn，yn)线性相关，且是负相关，∴可排除D，B，C，故选A.(2)由公式可知eq\o(b,\s\up8(^))与r的符号相同．探究三样本相关系数的计算及应用例3.解：(1)画出(x，y)的散点图如图所示，由图可知x，y有线性关系．eq\o(x,\s\up6(－))＝5，eq\o(y,\s\up6(－))＝47.5，eq\o(∑,\s\up8(4),\s\do6(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝120，eq\o(∑,\s\up8(4),\s\do6(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝9900，eq\o(∑,\s\up8(4),\s\do6(i＝1))xiyi＝1080，故相关系数r＝eq\f(\o(∑,\s\up8(4),\s\do6(i＝1))xiyi－4\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\r((\o(∑,\s\up8(4),\s\do6(i＝1))x\o\al(2,i)－4\o(x,\s\up6(－))2)(\o(∑,\s\up8(4),\s\do6(i＝1))y\o\al(2,i)－4\o(y,\s\up6(－))2)))＝eq\f(1080－4×5×47.5,\r((120－4×52)(9900－4×47.52)))≈0.9827.eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(4),\s\do6(i＝1))xiyi－4\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up8(4),\s\do6(i＝1))x\o\al(2,i)－4\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(1080－4×5×47.5,120－4×52)＝6.5，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up8(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝47.5－6.5×5＝15.故回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋15.(2)由回归直线方程知，当eq\o(y,\s\up6(^))≥80，即6.5x＋15≥80时，x≥10.故原料耗费应不少于10百万元．跟踪训练3.解：(1)∵eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0,5)＝5.eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do6(i＝1))xiyi－5eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))＝112.3－5×4×5＝12.3，eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do6(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5eq\o(x,\s\up6(－))2＝90－5×42＝10，eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do6(i＝1))yeq\o\al(2,i)－5eq\o(y,\s\up6(－))2＝140.8－125＝15.8，所以r＝eq\f(12.3,\r(10×15.8))＝eq\f(12.3,\r(158))＝eq\f(12.3,\r(2)×\r(79))≈eq\f(12.3,1.4×8.9)≈0.987.又eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(5),\s\do6(i＝1))xiyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up8(5),\s\do6(i＝1))x\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(112.3－5×4×5,90－5×42)＝1.23.eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up