人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册学案：7 3 2　离散型随机变量的方差

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE17.3.2离散型随机变量的方差课标要求素养要求1.通过具体实例，理解离散型随机变量的分布列及方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.通过研究离散型随机变量的方差，进一步提升数学抽象及数据分析素养.自主梳理1.离散型随机变量的方差、标准差设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2.因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，我们称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称eq\r(D（X）)为随机变量X的标准差，记为σ(X).2.几个常见的结论(1)D(aX＋b)＝a2D(X).(2)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p).1.方差也可以用公式D(X)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)pi－(E(X))2计算(可由D(X)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi展开得到).2.当a，b均为常数时，随机变量η＝aξ＋b的方差D(η)＝D(aξ＋b)＝a2D(ξ).自主检验1.思考辨析，判断正误(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定.(×)〖提示〗随机变量的方差越小，随机变量越稳定.(2)若a是常数，则D(a)＝0.(√)(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度.(√)(4)标准差与随机变量本身有相同的单位，在实际问题中应用更广泛.(√)2.若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5,则E(X)和D(X)分别为()A.0.5和0.25 B.0.5和0.75C.1和0.25 D.1和0.75〖答案〗A〖解析〗E(X)＝p＝0.5，D(X)＝p(1－p)＝0.5×0.5＝0.25.3.设随机变量X的方差D(X)＝1，则D(2X＋1)的值为()A.2 B.3C.4 D.5〖答案〗C〖解析〗D(2X＋1)＝4D(X)＝4×1＝4.4.随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数X的方差为______.〖答案〗eq\f(35,12)〖解析〗抛掷一枚骰子所得点数X的分布列为X123456Peq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)所以E(X)＝1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,6)＋3×eq\f(1,6)＋4×eq\f(1,6)＋5×eq\f(1,6)＋6×eq\f(1,6)＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×eq\f(1,6)＝eq\f(21,6)＝eq\f(7,2).所以D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(7,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(7,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(7,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(7,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－\f(7,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,6)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,4)＋\f(9,4)＋\f(1,4)＋\f(1,4)＋\f(9,4)＋\f(25,4)))×eq\f(1,6)＝eq\f(35,12).题型一求离散型随机变量的方差角度1用定义求离散型随机变量的方差〖例1〗设离散型随机变量X的分布列为X1234Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,4)则D(X)等于()A.eq\f(29,12) B.eq\f(121,144)C.eq\f(179,144) D.eq\f(17,12)〖答案〗C〖解析〗由题意知，E(X)＝1×eq\f(1,4)＋2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,6)＋4×eq\f(1,4)＝eq\f(29,12)，故D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(29,12)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(29,12)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(29,12)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(29,12)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,4)＝eq\f(179,144).角度2求两点分布的方差〖例2〗若某运动员投篮命中率p＝0.8，则该运动员在一次投篮中命中次数X的方差为__________.〖答案〗0.16〖解析〗依题意知：X服从两点分布，所以D(X)＝0.8×(1－0.8)＝0.16.思维升华求离散型随机变量的方差的类型及解决方法(1)已知分布列型(非两点分布)：直接利用定义求解，先求均值，再求方差.(2)已知分布列是两点分布：直接套用公式D(X)＝p(1－p)求解.(3)未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成(1)中的情况.〖训练1〗袋中有大小相同的四个球，编号分别为1，2，3，4，每次从袋中任取一个球，记下其编号.若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放回袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球.(1)求“第二次取球后才停止取球”的概率；(2)若第一次取到球的编号为偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和方差.解(1)记A＝“第二次取球后才停止取球”.易知第一次取到偶数球的概率为eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，第二次取球时袋中有三个奇数，所以第二次取到奇数球的概率为eq\f(3,4)，而这两次取球相互独立，所以P(A)＝eq\f(1,2)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,8).(2)若第一次取到编号为2的球，则第二次取球时袋中有编号为1，3，3，4的四个球；若第一次取到编号为4的球，则第二次取球时袋中有编号为1，2，3，3的四个球.所以X的可能取值为3，5，6，7，所以P(X＝3)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,8)，P(X＝5)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＝eq\f(3,8)，P(X＝6)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)，P(X＝7)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,4)＝eq\f(1,4)，所以X的分布列为X3567Peq\f(1,8)eq\f(3,8)eq\f(1,4)eq\f(1,4)均值E(X)＝3×eq\f(1,8)＋5×eq\f(3,8)＋6×eq\f(1,4)＋7×eq\f(1,4)＝eq\f(11,2)，方差D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(11,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,8)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(11,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(3,8)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－\f(11,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7－\f(11,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,4)＝eq\f(3,2).题型二方差的性质的应用〖例3〗已知离散型随机变量X的分布列为：X01xPeq\f(1,2)eq\f(1,3)p若E(X)＝eq\f(2,3).(1)求D(X)的值；(2)若Y＝3X－2，求eq\r(D（Y）)的值.解由分布列的性质，得eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋p＝1，解得p＝eq\f(1,6).∵E(X)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)x＝eq\f(2,3)，∴x＝2.(1)D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,6)＝eq\f(15,27)＝eq\f(5,9).(2)∵Y＝3X－2，∴D(Y)＝D(3X－2)＝9D(X)＝5，∴eq\r(D（Y）)＝eq\r(5).思维升华求随机变量Y＝aX＋b方差的方法求随机变量Y＝aX＋b的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解.〖训练2〗设离散型随机变量X的分布列为X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)若Y＝2X＋2，则D(Y)等于()A.－eq\f(1,3) B.eq\f(5,9)C.eq\f(10,9) D.eq\f(20,9)〖答案〗D〖解析〗由题意知，E(X)＝－1×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)，故D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,6)＝eq\f(5,9)，D(Y)＝D(2X＋2)＝4D(X)＝4×eq\f(5,9)＝eq\f(20,9).题型三均值与方差的综合应用〖例4〗有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：XA110120125130135P0.10.20.40.10.2XB100115125130145P0.10.20.40.10.2其中，XA，XB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好).解E(XA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，E(XB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，D(XA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，D(XB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165.由此可见E(XA)＝E(XB)，D(XA)＜D(XB)，故两种材料的抗拉强度的平均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性好.思维升华(1)均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断.(2)离散型随机变量的分布列、均值、方差之间存在着紧密的联系，利用题目中所给出的条件，合理地列出方程或方程组求解，同时也应注意合理选择公式，简化问题的解答过程.〖训练3〗袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4).现从袋中任取一球，X表示所取球的标号.(1)求X的方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)