人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册学案：7 3 2　第1课时　离散型随机变量的方差

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE17.3.2离散型随机变量的方差第1课时离散型随机变量的方差学习目标1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．导语均值是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差．本节我们将对反映随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度的数字特征——方差进行研究．一、离散型随机变量的方差问题要从甲、乙两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛．根据以往的成绩记录，应派哪位同学参赛？甲同学击中目标靶的环数X1的分布列为X15678910P0.030.090.200.310.270.10乙同学击中目标靶的环数X2的分布列为X256789P0.010.050.200.410.33〖提示〗E(X1)＝8，E(X2)＝8，因为两个均值相等，所以只根据均值无法判断这两名同学的射击水平．可以利用样本方差，它可以刻画样本数据的稳定性．知识梳理方差：设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，我们称D(X)＝(x1－E(X))2_p1_＋(x2－E(X))2_p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称eq\r(DX)为随机变量X的标准差，记为σ(X)．注意点：一般地，随机变量的方差是非负常数．例1(多选)下列说法正确的是()A．离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定B．若a是常数，则D(a)＝0C．离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于均值的平均程度D．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小〖答案〗BCD〖解析〗随机变量的方差越小，随机变量越稳定．所以A错误．反思感悟方差反应了随机变量取值的离散程度，方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散．跟踪训练1(多选)下列说法中错误的是()A．离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的概率的平均值B．离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平C．离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平D．离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的概率的平均值〖答案〗ABD〖解析〗E(X)反映了X取值的平均水平，D(X)反映了X取值的离散程度．二、方差的计算例2有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E(ξ)和D(ξ)．解这3张卡片上的数字之和为ξ，ξ的可能取值为6,9,12.ξ＝6表示取出的3张卡片上均标有2，则P(ξ＝6)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)；ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P(ξ＝9)＝eq\f(C\o\al(2,8)C\o\al(1,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)；ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，则P(ξ＝12)＝eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).∴ξ的分布列为ξ6912Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)∴E(ξ)＝6×eq\f(7,15)＋9×eq\f(7,15)＋12×eq\f(1,15)＝7.8，D(ξ)＝(6－7.8)2×eq\f(7,15)＋(9－7.8)2×eq\f(7,15)＋(12－7.8)2×eq\f(1,15)＝3.36.反思感悟求离散型随机变量方差的步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X的所有取值；(2)求出X取每个值的概率；(3)写出X的分布列；(4)计算E(X)；(5)计算D(X)．跟踪训练2(1)设离散型随机变量X的分布列为X1234Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,4)则D(X)等于()A.eq\f(29,12)B.eq\f(121,144)Ceq\f(179,144)D.eq\f(17,12)〖答案〗C〖解析〗由题意知，E(X)＝1×eq\f(1,4)＋2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,6)＋4×eq\f(1,4)＝eq\f(29,12)，故D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(29,12)))2×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(29,12)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(29,12)))2×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(29,12)))2×eq\f(1,4)＝eq\f(179,144).(2)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且eq\i\su(i＝1,4,p)i＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是()A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2〖答案〗B〖解析〗X的可能取值为1,2,3,4，四种情形的均值E(X)＝1×p1＋2×p2＋3×p3＋4×p4都为2.5，方差D(X)＝〖1－E(X)〗2×p1＋〖2－E(X)〗2×p2＋〖3－E(X)〗2×p3＋〖4－E(X)〗2×p4，标准差为eq\r(DX).A选项的方差D(X)＝0.65；B选项的方差D(X)＝1.85；C选项的方差D(X)＝1.05；D选项的方差D(X)＝1.45.所以选项B的情形对应样本的标准差最大．三、方差的简单应用例3有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如表所示：ξA110120125130135P0.10.20.40.10.2ξB100115125130145P0.10.20.40.10.2其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好)．解E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125.D(ξA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，D(ξB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165.由此可见E(ξA)＝E(ξB)，D(ξA)<D(ξB)，故两种材料的抗拉强度的均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性较好．反思感悟(1)解题时可采用比较分析法，通过比较两个随机变量的均值和方差得出结论．(2)均值体现了随机变量取值的平均水平，有时只比较均值往往是不恰当的，还需比较方差，才能准确地得出更适合的．跟踪训练3甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为ξ123Pa0.10.6η123P0.3b0.3(1)求a，b的值；(2)计算ξ，η的均值与方差，并以此分析甲、乙的技术状况．解(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3.同理0.3＋b＋0.3＝1，∴b＝0.4.(2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E(ξ)>E(η)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优劣．1.知识清单：离散型随机变量的方差、标准差.2.方法归纳：公式法.3.常见误区：方差公式套用错误.1．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(1,3)，k＝3,6,9，则D(X)等于()A．6 B．9C．3 D．4〖答案〗A〖解析〗由题意得E(X)＝3×eq\f(1,3)＋6×eq\f(1,3)＋9×eq\f(1,3)＝6，D(X)＝(3－6)2×eq\f(1,3)＋(6－6)2×eq\f(1,3)＋(9－6)2×eq\f(1,3)＝6.2．设随机试验的结果只有A发生和A不发生，且P(A)＝m，令随机变量X＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，A发生，,0，A不发生，))则X的方差D(X)等于()A．m B．2m(1－m)C．m(m－1) D．m(1－m)〖答案〗D〖解析〗显然X服从两点分布，∴D(X)＝m(1－m)．3．设随机变量X的分布列为X123Peq\f(1,2)xy若E(X)＝eq\f(15,8)，则D(X)等于()A.eq\f(33,64)B.eq\f(55,64)C.eq\f(7,32)D.eq\f(9,32)〖答案〗B〖解析〗由随机变量分布列的性质得x＋y＝eq\f(1,2)，①由E(X)＝eq\f(15,8)，得1×eq\f(1,2)＋2x＋3y＝eq\f(15,8)，即2x＋3y＝eq\f(11,8)，②由①②，解得x＝eq\f(1,8)，y＝eq\f(3,8)，∴D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(15,8)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(15,8)))2×eq\f(1,8)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(15,8)))2×eq\f(3,8)＝eq\f(55,64).4．已知离散型随机变量X的分布列如表所示，若E