人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册学案：6 3 2　二项式系数的性质

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE16.3.2二项式系数的性质课标要求素养要求理解二项式系数的性质并灵活运用.通过本节课的学习，进一步提升逻辑推理及数学运算素养.自主梳理二项式系数的性质对称性在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Ceq\o\al(m,n)＝eq\a\vs4\al(Ceq\o\al(n－m,n))增减性与最大值增减性：当k＜eq\f(n＋1,2)时，Ceq\o\al(k,n)随k的增大而增大；由对称性可知，当k＞eq\f(n＋1,2)时，Ceq\o\al(k,n)随k的增大而减小.最大值：当n是偶数时，中间一项取得最大值；当n是奇数时，中间两项与相等，且同时取得最大值各二项式系数的和①Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n②Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1，即在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和对二项式系数性质的三点说明(1)对称性：源于组合数的性质“Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)”，基础是Ceq\o\al(0,n)＝Ceq\o\al(n,n)＝1，然后从两端向中间靠拢，便有Ceq\o\al(1,n)＝Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(2,n)＝Ceq\o\al(n－2,n)，….(2)最大值：①当n是偶数时，(a＋b)n的展开式共n＋1项，n＋1是奇数，这时展开式的形式是中间一项是第eq\f(n,2)＋1项，它的二项式系数是，它是所有二项式系数中的最大值；②当n是奇数时，(a＋b)n的展开式共有n＋1项，n＋1是偶数，这时展开式的形式是中间两项是第eq\f(n＋1,2)，eq\f(n＋3,2)项，它们的二项式系数是，，这两个系数相等，并且是所有二项式系数中的最大值.(3)各二项式系数和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n，源于(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn中，令a＝1，b＝1，即得到Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.自主检验1.思考辨析，判断正误(1)二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项).(×)〖提示〗二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的，二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，但是项的系数的最大值与项其他数字因数的大小有关.(2)二项展开式的偶数项系数和等于奇数项系数和.(×)〖提示〗在二项式(a＋b)n中只有当a，b的系数相同时，展开式的偶数项系数和才等于奇数项系数和.(3)二项展开式项的系数是先增后减的.(×)〖提示〗二项式系数是随n的增加先增后减的，二项展开式项的系数和a，b的系数有关.(4)(3x＋2)5的展开式的二项式系数和为25＝32.(√)2.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,x)))eq\s\up12(n)的展开式中第8项是常数，则展开式中系数最大的项是()A.第8项 B.第9项C.第8项和第9项 D.第11项和第12项〖答案〗D〖解析〗二项式展开式的通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(1,2)))eq\s\up12(n－k)·(x－1)k＝Ceq\o\al(k,n)·xeq\f(1,2)n－eq\f(3,2)k，令k＝7，则eq\f(1,2)n－eq\f(21,2)＝0，解得n＝21，通项可化简为Ceq\o\al(k,21)·xeq\f(21－3k,2).由于n＝21，故展开式中一共有22项，又展开式中各项的二项式系数与项的系数相同，故系数最大的项为k＝10，11两项，即展开式的第11项和第12项.3.在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是()A.第6项 B.第5项C.第5，6项 D.第6，7项〖答案〗A〖解析〗由题意，得第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，∴Ceq\o\al(3,n)＝Ceq\o\al(7,n)，由组合数的性质，得n＝10.∴展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项.4.若(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a8＝________.〖答案〗180〖解析〗由题意可知a8是x8的系数，所以a8＝Ceq\o\al(8,10)·22＝180.题型一二项展开式的系数的和问题〖例1〗已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.解令x＝1，得：(2×1－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1.〖迁移1〗(变换所求)例1条件不变，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|.解∵(2x－1)5的展开式中偶数项的系数为负值，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.令x＝－1，得：〖2×(－1)－1〗5＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5，即a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－(－3)5＝35，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝35＝243.〖迁移2〗(变换所求)例1条件不变，求a1＋a3＋a5的值.解由上题得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，,a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝243，))两式相减得a1＋a3＋a5＝eq\f(1,2)×(1－243)＝－121.思维升华(1)赋值法是求二项展开式系数和及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项.(2)一般地，对于多项式f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，各项系数和为f(1)，奇次项系数和为eq\f(1,2)〖f(1)－f(－1)〗，偶次项系数和为eq\f(1,2)〖f(1)＋f(－1)〗，a0＝f(0).〖训练1〗已知(1－3x)8＝a0＋a1x＋…＋a7x7＋a8x8.求：(1)a0＋a1＋…＋a8；(2)a0＋a2＋a4＋a6＋a8；(3)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|.解(1)令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝(－2)8＝256.①(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＋a8＝48.②①＋②，得2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝28＋48，∴a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝eq\f(1,2)×(28＋48)＝32896.(3)由于(1－3x)8＝Ceq\o\al(0,8)＋Ceq\o\al(1,8)×(－3x)＋Ceq\o\al(2,8)×(－3x)2＋…＋Ceq\o\al(8,8)×(－3x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，故a0，a2，a4，a6，a8＞0，a1，a3，a5，a7＜0，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝48＝65536.题型二二项式系数性质的应用〖例2〗已知f(x)＝(eq\r(3,x2)＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项.解令x＝1，则展开式中各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.(1)由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T3＝Ceq\o\al(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(2,3)))3·(3x2)2＝90x6，T4＝Ceq\o\al(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(2,3)))2·(3x2)3＝270xeq\f(22,3).(2)展开式的通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)·3k·xeq\f(2,3)(5＋2k)，假设Tk＋1项系数最大，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(k,5)3k≥Ceq\o\al(k－1,5)3k－1，,Ceq\o\al(k,5)3k≥Ceq\o\al(k＋1,5)3k＋1，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(5！,（5－k）！k！)×3≥\f(5！,（6－k）！（k－1）！)，,\f(5！,（5－k）！k！)≥\f(5！,（4－k）！（k＋1）！)×3，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3,k)≥\f(1,6－k)，,\f(1,5－k)≥\f(3,k＋1)，))∴eq\f(7,2)≤k≤eq\f(9,2).∵k∈N，∴k＝4，∴展开式中系数最大的项为T5＝Ceq\o\al(4,5)xeq\f(2,3)(3x2)4＝405xeq\f(26,3).思维升华(1)二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论.①当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大.②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.(2)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法，设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1))解出k，即得出系数的最大项.〖训练2〗求(x－y)11的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)项的系数绝对值最大的项；(3)项的系数最大的项和系数最小的项；(4)二项式系数的和；(5)各项系数的和.解(1)二项式系数最大的项为中间两项：T6＝－Ceq\o\al(5,11)x6y5，T7＝Ceq\o\al(6,11)x5y6.(2)(x－y)11的展开式的通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,11)x11－k(－y)k＝Ceq\o\al(k,11)(－1)kx11－kyk，∴项的系数的绝对值为|Ceq\o\al(k,11)·(－1)k|＝Ceq\o\al(k,11)，∴项的系数的绝对值等于该项的二项式系数，其最大的项也是中间两项，T6＝－Ceq\o\al(5,11)x6y5，T7＝Ceq\o\al(6,11)x5y6.(3)由(2)知中间两项系数绝对值相等，又∵第6项系数为负，第7项系数为正，故项的系数最大的项为T7＝Ceq\o\al(6,11)x5y6，项的系数最小的项为T6＝－Ceq\o\al(5,11)x6y5.(4)展开式中，二项式系数的和为Ceq\o\al(0,11)＋Ceq\o\al(1,11)＋Ceq\o\al(2,11)＋…＋Ceq\o\al(11,11)＝211.(5)令x＝