人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册学案：§8 2 第2课时　一元线性回归模型的综合问题

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE1第2课时一元线性回归模型的综合问题学习目标1.了解随机误差、残差、残差图的概念，会通过残差分析判断经验回归方程的拟合效果.2.了解回归分析的基本思想方法和初步应用．一、残差及残差分析问题1上节课中我们知道儿子身高Y关于父亲身高x的经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.839x＋28.957，那么当x＝172时，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.839×172＋28.957＝173.265(cm)，如果一位父亲的身高为172cm，他儿子长大成人后的身高一定是173cm吗？为什么？〖提示〗不一定，因为还有其他影响他儿子身高的因素，父亲的身高不能完全决定儿子身高．问题2观察课本105页表8.2－1，我们发现当父亲身高为172cm时，儿子的身高实际为176cm，实际身高与预测的身高相差了多少？我们把这个差值叫什么？〖提示〗176－173.265＝2.735(cm)，残差．知识梳理1．残差：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的eq\o(y,\s\up6(^))称为预测值，观测值减去预测值称为残差．2．残差分析：残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．例1(1)对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是()〖答案〗A〖解析〗用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．(2)已知一系列样本点(xi，yi)(i＝1,2,3，…，n)的经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝2x＋a，若样本点(r,1)与(1，s)的残差相同，则有()A．r＝s B．s＝2rC．s＝－2r＋3 D．s＝2r＋1〖答案〗C〖解析〗样本点(r,1)的残差为1－2r－a，样本点(1，s)的残差为s－a－2，依题意得1－2r－a＝s－a－2，故s＝－2r＋3.反思感悟残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适．这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，经验回归方程的预报精度越高．跟踪训练1(1)已知某成对样本数据的残差图如图，则样本点数据中可能不准确的是从左到右第________个．〖答案〗6〖解析〗原始数据中的可疑数据往往是残差绝对值过大的那个数据，即偏离平衡位置过大．(2)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71，那么针对某个体(170,58)的残差是________．〖答案〗－0.79〖解析〗由题意可得eq\o(y,\s\up6(^))i＝0.85×170－85.71＝58.79，残差eq\o(e,\s\up6(^))＝yi－eq\o(y,\s\up6(^))i＝58－58.79＝－0.79.二、对数函数模型y＝c1＋c2lnx例2近年来，随着互联网技术的快速发展，共享经济覆盖的范围迅速扩张，继共享单车、共享汽车之后，共享房屋以“民宿”“农家乐”等形式开始在很多平台上线．某创业者计划在某景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近六家“农家乐”跟踪调查了100天．得到的统计数据如表，x为收费标准(单位：元/日)，t为入住天数(单位：天)，以频率作为各自的“入住率”，收费标准x与“入住率”y的散点图如图．x50100150200300400t906545302020(1)若从以上六家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记ξ为“入住率”超过0.6的农家乐的个数，求ξ的分布列；(2)令z＝lnx，由散点图判断eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))与eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))z＋eq\o(a,\s\up6(^))哪个更合适于此模型(给出判断即可，不必说明理由)？并根据你的判断结果求经验回归方程．(eq\o(b,\s\up6(^))结果保留一位小数)参考数据：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)，eq\x\to(x)＝200，eq\x\to(y)＝0.45，eq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(2,i)＝325000,eq\x\to(z)≈5.1，eq\i\su(i＝1,6,y)izi≈12.7,eq\i\su(i＝1,6,z)eq\o\al(2,i)≈158.1.解(1)ξ的所有可能取值为0,1,2.则P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)×C\o\al(1,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(8,15)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,6))＝eq\f(1,15)，∴ξ的分布列为ξ012Peq\f(2,5)eq\f(8,15)eq\f(1,15)(2)由散点图可知eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))z＋eq\o(a,\s\up6(^))更适合于此模型．其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,6,z)iyi－6\x\to(z)\x\to(y),\i\su(i＝1,6,z)\o\al(2,i)－6\x\to(z)2)＝eq\f(－1.07,2.04)≈－0.5，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(z)＝3，∴所求的经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.5lnx＋3.反思感悟对数函数模型y＝c1＋c2lnx的求法(1)确定变量，作出散点图．(2)根据散点图，做出y＝c1＋c2lnx的函数选择．(3)变量置换，令z＝lnx，通过变量置换把问题转化为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(c,\s\up6(^))1＋eq\o(c,\s\up6(^))2z的经验回归问题，并求出经验回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(c,\s\up6(^))1＋eq\o(c,\s\up6(^))2z.(4)根据相应的变换，写出eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(c,\s\up6(^))1＋eq\o(c,\s\up6(^))2lnx的经验回归方程．跟踪训练2噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度D(单位：分贝)与声音能量(单位：W/cm2)之间的关系，将测量得到的声音强度Di和声音能量Ii(i＝1,2…，10)数据作了初步处理，得到如下散点图及一些统计量的值．eq\x\to(I)eq\x\to(D)eq\x\to(W)eq\i\su(i＝1,10,)(Ii－eq\x\to(I))2eq\i\su(I＝1,10,)(Wi－eq\x\to(W))21.04×10－1145.7－11.51.56×10－210.51eq\i\su(i＝1,10,)(Ii－eq\x\to(I))(Di－eq\x\to(D))eq\i\su(i＝1,10,)(Wi－eq\x\to(W))(Di－eq\x\to(D))6.88×10－115.1表中Wi＝lgIi，eq\x\to(W)＝eq\f(1,10)eq\i\su(i＝1,10,)Wi.(1)根据散点图判断，eq\o(D,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))1＋eq\o(b,\s\up6(^))1I与eq\o(D,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))2＋eq\o(b,\s\up6(^))2lgI哪一个适宜作为声音强度D关于声音能量的经验回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据表中数据，求声音强度D关于声音能量的经验回归方程．附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)．其经验回归直线eq\o(v,\s\up6(^))＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ui－\x\to(u)vi－\x\to(v),\i\su(i＝1,n,)ui－\x\to(u)2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(β,\s\up6(^))eq\x\to(u).解(1)eq\o(D,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))2＋eq\o(b,\s\up6(^))2lgI更适合．(2)令Wi＝lgIi，先建立D关于W的经验回归方程．由于eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,10,)Wi－\x\to(W)Di－\x\to(D),\i\su(i＝1,10,)Wi－\x\to(W)2)＝eq\f(5.1,0.51)＝10，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(D)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(W)＝160.7.∴D关于W的经验回归方程是eq\o(D,\s\up6(^))＝10W＋160.7，即D关于声音能量的非线性经验回归方程是eq\o(D,\s\up6(^))＝10lgI＋160.7.三、残差平方和与决定系数R2问题3例2中给出了两个模型，那么如何比较这两个模型的拟合效果？〖提示〗残差平方和、决定系数知识梳理1．残差平方和法残差平方和eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2越小，模型的拟合效果越好．2．决定系数R2可以用R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2)来比较两个模型的拟合效果，R2越大，模型拟合效果越好，R2越小，模型拟合效果越差．例3假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下表：x15.025.830.036.644.4y39.442.942.943.149.2并由最小二乘法计算得经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.29x＋34.7.(1)计算各组残差，并计算残差平方和；(2)求R2.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(参考数据：\i\su(i＝1,5,)yi－\x\to(y)2＝50.18))解(1)由eq\o(y,\s\up6(^))i＝eq\o(b,\s\up6(^))xi＋eq\o(a,\s\up6(^))，可以算得eq\o(e,\s\up6(^))i＝yi－eq\o(y,\s\up6(^))i分别为eq\o(e,\s\up6(^))1＝0.35，eq\o(e,\s\up6(^))2＝0.718，eq\o(e,\s\up6(^))3＝－0.5，eq\o(e,\s\up6(^))4＝－2.214，eq\o(e,\s\up6(^))5＝1.624，残差平方和为eq\i\su(i＝1,5,)(eq\o(e,\s\up6(^))i)2≈8.43.(2)eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\x\to(y))2＝50.18，故R2≈1－eq\f(8.43,50.18)≈0.832.反思感悟刻画回归效果的三种方法(1)残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适．(2)残差平方和法：残差平方和eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2越小，模型的拟合效果越好．(3)R2法：R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2)越接近1，表明模型的拟合效果越好．跟踪训练3已知某种商品的价格x(单位：元)与需求量y(单位：件)之间的关系有如下一组数据：x1416182022y1210753求y关于x的经验回归方程，并借助残差平方和和R2说明回归模型拟合效果的好坏．eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(参考公式及数据：\o(b,\s\up6(^))＝\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，\o(a,\s\up6(^))＝\x\to(y)－\o(b,\s\up6(^))\x\to(x)，))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)＝1660，\i\su(i＝1,5,x)iyi＝620))解eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(620－5×18×7.4,1660－5×182)＝－1.15，eq\o(a,\s\up6(^))＝7.4＋1.15×18＝28.1，所以所求经验回归方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝－1.15x＋28.1.列出残差表为yi－eq\o(y,\s\up6(^))i00.3－0.4－0.10.2yi－eq\x\to(y)4.62.6－0.4－2.4－4.4所以eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2＝0.3，eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\x\to(y))2＝53.2，R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,5,)yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,5,)yi－\x\to(y)2)≈0.994，所以回归模型的拟合效果很好．1．知识清单：(1)一元线性回归模型．(2)最小二乘法、经验回归方程的求法．(3)对模型刻画数据效果的分析：残差图法、残差平方和法和R2法．2．方法归纳：数形结合、转化化归．3．常见误区：不判断变量间是否具有线性相关关系，盲目求解经验回归方程致误．1．(多选)关于残差图的描述正确的是()A．残差图的横坐标可以是样本编号B．残差图的横坐标也可以是解释变量或响应变量C．残差点分布的带状区域的宽度越窄R2越小D．残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小〖答案〗ABD〖解析〗残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，则残差平方和越小，此时，R2的值越大，故描述错误的是C.2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型