2024-2025学年高中数学第三讲三排序不等式学案含解析新人教A版选修4-5

PAGE三排序不等式考纲定位重难突破1.了解排序不等式的数学思想和背景．2.了解排序不等式的结构与基本原理．3.理解排序不等式的简洁应用.重点：排序不等式的结构与基本原理.难点：排序不等式的简洁应用.授课提示：对应学生用书第32页[自主梳理]一、依次和、乱序和、反序和的概念设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则称ai与bi(i＝1,2，…，n)的相同依次相乘所得积的和a1b1＋a2b2＋…anbn为依次和，和a1c1＋a2c2＋…＋ancn为乱序和，相反依次相乘所得积的和a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1为反序和．二、排序不等式(排序原理)设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于依次和，此不等式简记为反序和≤乱序和≤依次和．[双基自测]1．已知a，b，c∈R＋，则a5＋b5＋c5与a3b2＋b3c2＋c3a2A．a5＋b5＋c5>a3b2＋b3c2＋c3B．a5＋b5＋c5≥a3b2＋b3c2＋c3C．a5＋b5＋c5<a3b2＋b3c2＋c3D．a5＋b5＋c5≤a3b2＋b3c2＋c3解析：取两组数a3，b3，c3和a2，b2，c2，由排序不等式，得a5＋b5＋c5≥a3b2＋b3c2＋c3a2.答案：B2．设两组数1,2,3,4和4,5,6,7的依次和为A，反序和为B，则A＝________，B＝________.解析：A＝1×4＋2×5＋3×6＋4×7＝4＋10＋18＋28＝60.B＝1×7＋2×6＋3×5＋4×4＝7＋12＋15＋16＝50.答案：60503．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别须要5s,4s,3s,7s，每个人接完水后就离开，则他们等候的总时间最短为________s.解析：由题意知，等候的时间最短为3×4＋4×3＋5×2＋7＝41.答案：41授课提示：对应学生用书第32页探究一利用排序不等式证明不等式[例1]设a，b，c都是正数，求证：eq\f(bc,a)＋eq\f(ca,b)＋eq\f(ab,c)≥a＋b＋c.[证明]由题意不妨设a≥b≥c>0，由不等式的单调性，知ab≥ac≥bc，eq\f(1,c)≥eq\f(1,b)≥eq\f(1,a).由排序不等式，知ab×eq\f(1,c)＋ac×eq\f(1,b)＋bc×eq\f(1,a)≥ab×eq\f(1,b)＋ac×eq\f(1,a)＋bc×eq\f(1,c)，即所证不等式eq\f(bc,a)＋eq\f(ca,b)＋eq\f(ab,c)≥a＋b＋c成立．1．利用排序不等式证明不等式时，若已知条件中已给出两组量的大小关系，则须要分析清晰依次和、乱序和及反序和．利用排序不等式证明即可．2．若在解答数学问题时，涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小依次．那么在解答问题时，我们可以利用排序原理将它们按肯定依次排列起来，继而用不等关系来解题．1．设a，b，c为正数，求证：eq\f(a12,bc)＋eq\f(b12,ac)＋eq\f(c12,ab)≥a10＋b10＋c10.证明：不妨设a≥b≥c>0，则a12≥b12≥c12，eq\f(1,bc)≥eq\f(1,ac)≥eq\f(1,ab)>0，∴由依次和≥乱序和，得eq\f(a12,bc)＋eq\f(b12,ac)＋eq\f(c12,ab)≥eq\f(a12,ab)＋eq\f(b12,bc)＋eq\f(c12,ac)＝eq\f(a11,b)＋eq\f(b11,c)＋eq\f(c11,a). ①又∵a11≥b11≥c11，eq\f(1,c)≥eq\f(1,b)≥eq\f(1,a)，∴由乱序和≥反序和，得eq\f(a11,b)＋eq\f(b11,c)＋eq\f(c11,a)≥eq\f(a11,a)＋eq\f(b11,b)＋eq\f(c11,c)＝a10＋b10＋c10， ②由①②两式得：eq\f(a12,bc)＋eq\f(b12,ac)＋eq\f(c12,ab)≥a10＋b10＋c10.探究二利用排序不等式求最值[例2]设a，b，c为随意正数，求eq\f(a,b＋c)＋eq\f(b,c＋a)＋eq\f(c,a＋b)的最小值．[解析]不妨设a≥b≥c，则a＋b≥a＋c≥b＋c，eq\f(1,b＋c)≥eq\f(1,c＋a)≥eq\f(1,a＋b)，由排序不等式得，eq\f(a,b＋c)＋eq\f(b,c＋a)＋eq\f(c,a＋b)≥eq\f(b,b＋c)＋eq\f(c,c＋a)＋eq\f(a,a＋b)eq\f(a,b＋c)＋eq\f(b,c＋a)＋eq\f(c,a＋b)≥eq\f(c,b＋c)＋eq\f(a,c＋a)＋eq\f(b,a＋b)上述两式相加得：2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b＋c)＋\f(b,c＋a)＋\f(c,a＋b)))≥3，即eq\f(a,b＋c)＋eq\f(b,c＋a)＋eq\f(c,a＋b)≥eq\f(3,2).当且仅当a＝b＝c时，eq\f(a,b＋c)＋eq\f(b,c＋a)＋eq\f(c,a＋b)取最小值eq\f(3,2).利用排序不等式求最值的方法利用排序不等式求最值时，先要对待证不等式及已知条件细致分析，视察不等式的结构，明确两个数组的大小依次，分清依次和、乱序和及反序和，由于乱序和是不确定的，依据须要写出其中的一个即可．一般最值是依次和或反序和．2．设0<a≤b≤c且abc＝1.试求eq\f(1,a3b＋c)＋eq\f(1,b3a＋c)＋eq\f(1,c3a＋b)的最小值．解析：令S＝eq\f(1,a3b＋c)＋eq\f(1,b3a＋c)＋eq\f(1,c3a＋b)，则S＝eq\f(abc2,a3b＋c)＋eq\f(abc2,b3a＋c)＋eq\f(abc2,c3a＋b)＝eq\f(bc,ab＋c)·bc＋eq\f(ac,ba＋c)·ac＋eq\f(ab,ca＋b)·ab.由已知可得：eq\f(1,ab＋c)≥eq\f(1,ba＋c)≥eq\f(1,ca＋b)，ab≤ac≤bc.∴S≥eq\f(bc,ab＋c)·ac＋eq\f(ac,ba＋c)·ab＋eq\f(ab,ca＋b)·bc＝eq\f(c,ab＋c)＋eq\f(a,ba＋c)＋eq\f(b,ca＋b).又S≥eq\f(bc,ab＋c)·ab＋eq\f(ac,ba＋c)·bc＋eq\f(ab,ca＋b)·ac＝eq\f(b,ab＋c)＋eq\f(c,ba＋c)＋eq\f(a,ca＋b)，两式相加得：2S≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥3·eq\r(3,\f(1,abc))＝3.∴S≥eq\f(3,2)，即eq\f(1,a3b＋c)＋eq\f(1,b3a＋c)＋eq\f(1,c3a＋b)的最小值为eq\f(3,2).探究三利用排序不等式解决实际问题[例3]若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其修理分别须要45min,25min和30min，每台电脑耽搁1min，网吧就会损失0.05元．在只能逐台修理的条件下，按怎么样的依次修理，才能使经济损失降到最小？[解析]设t1，t2，t3为25,30,45的任一排列，由排序原理知3t1＋2t2＋t3≥3×25＋2×30＋45＝180(min)，所以依据修理时间由小到大的依次修理，可使经济损失降到最小．利用排序不等式解决实际问题的关键是将实际问题转化为数学问题，构造排序不等式的模型．3．某座大楼共有n层，在每层有一个办公室，每个办公室的人员步行上下楼，他们的速度分别为v1，v2，…，vn(他们各不相同)，为了能使得办公室的人员上下楼梯所用的时间总和最小，应当如何支配？(假设每两层楼的楼梯长都一样)解析：设两层楼间的楼梯长为s，则第一层须要走的路程为s，其次层须要走的路程为2s，…，第n层须要走的路程为ns.不妨设v′1>v′2>…>v′n为v1，v2，…，vn从大到小的排列，明显eq\f(1,v′1)<eq\f(1,v′2)<…<eq\f(1,v′n)，由排序不等式，可得nseq\f(1,v′1)＋(n－1)seq\f(1,v′2)＋…＋seq\f(1,v′n)的和最小，所以将速度快的放在高层，速度慢的放在低层，可使上下楼的时间最短．在运用排序不等式时不能精确找到相应有序数组致误[典例]一般地，对于n个正数a1，a2，…，an，几何平均数Gn＝eq\r(n,a1a2…an)，算术平均数An＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)，利用排序不等式可以推断Gn，An的大小关系为________．[解析]令bi＝eq\f(ai,Gn)(i＝1,2，…，n)，则b1b2…bn＝1，故可取x1≥x2≥…≥xn>0，使得b1＝eq\f(x1,x2)，b2＝eq\f(x2,x3)，…，bn－1＝eq\f(xn－1,xn)，bn＝eq\f(xn,x1).由排序不等式有：b1＋b2＋…＋bn＝eq\f(x1,x2)＋eq\f(x2,x3)＋…＋eq\f(xn,x1)≥x1·eq\f(1,x1)＋x2·eq\f(1,x2)＋…＋xn·eq\f(1,xn)＝n，当且仅当x1＝x2＝…＝xn时取等号，所以eq\f(a1,Gn)＋eq\f(a2,Gn)＋…＋eq\f(an,Gn)≥n，即eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)≥Gn，即An≥Gn.[答案]An≥Gn[规律探究](1)利用排序不等式的关键是正确地找寻两组有序实数组，构造的恰当是正确解题的前提，如本例中构造的两组数，恰好能够解决反序和为n，使得问题得以解决．(2)利用排序不等式求解完成后，肯定要说明等号成立的条件，若取不到等号也应当说明缘由，使得解题更加清晰和精确．(3)运用排序不等式的解题步骤是①构造两组有序数组使之满意排序不等式的条件；②运用排序不等式得到不等关系；③找出等号成立的条件并以此得出证明的结论.[随堂训练]对应学生用书第34页1．设正实数a1，a2，a3的任一排列为a′1，a′2，a′3，则eq\f(a1,a′1)＋eq\f(a2,a′2)＋eq\f(a3,a′3)的最小值为()A．3 B．6C．9 D．12解析：设a1≥a2≥a3>0，则eq\f(1,a3)≥eq\f(1,a2)≥eq\f(1,a1)>0，由排列不等式可知eq\f(a1,a′1)＋eq\f(a2,a′2)＋eq\f(a3,a′3)≥eq\f(a1,a1)＋eq\f(a2,a2)＋eq\f(a3,a3)＝3.当且仅当a′1＝a1，a′2＝a2，a′3＝a3时等号成立．答案：A2．设a1，a2，a3为正数，E＝eq\f(a1a2,a3)＋eq\f(a2a3,a1)＋eq\f(a3a1,a2)，F＝a1＋a2＋a3，则E，F的大小关系是()A．E<F B．E≥FC．E＝F D．E≤F解析：不妨设a1≥a2≥a3>0，于是eq\f(1,a1)≤eq\f(1,a2)≤eq\f(1,a3)，a2a3≤a3a1≤a1a2.由排序不等式：依次和≥乱序和，得eq\f(a1a2,a3)＋eq\f(a2a3,a1)＋eq\f(a3a1,a2)≥eq\f(1,a2)·a2a3＋eq\f(1,a3)·a3a1＋eq\f(1,a1)·a1a2＝a3＋a1＋a2，即eq\f(a1a2,a3)＋eq\f(a2a3,a1)＋eq\f(a3a1