2024-2025学年高中数学第二章变化率与导数4导数的四则运算法则课后作业含解析北师大版选修2-2

PAGE其次章改变率与导数[A组基础巩固]1．设y＝eq\f(sinx,1＋cosx)，－π<x<π，当y′＝2时，x等于()A．±eq\f(1,3)π B．±eq\f(1,6)πC．±eq\f(1,4)π D．±eq\f(2,3)π解析：∵y＝eq\f(sinx,1＋cosx)，∴y′＝eq\f(cosx1＋cosx－－sinxsinx,1＋cosx2)＝eq\f(1＋cosx,1＋cosx2)＝eq\f(1,1＋cosx).∵y′＝2，∴eq\f(1,1＋cosx)＝2.∴cosx＝－eq\f(1,2).又－π<x<π，∴x＝±eq\f(2,3)π.答案：D2．在下列四个命题中(每个函数都是可导函数)，真命题为()①若y＝f1(x)＋f2(x)＋…＋fn(x)，则y′＝f1′(x)＋f2′(x)＋…＋fn′(x)；②若y＝f1(x)·f2(x)，则y′＝f1′(x)f2(x)＋f1(x)·f2′(x)＋f1′(x)f2′(x)；③若y＝k1f1(x)±k2f2(x)(k1，k2是实常数)，则y′＝k1f1′(x)±k2f2′(x)；④若y＝eq\f(f1x,f2x)，则y′＝eq\f(f1x,f2′x)＋eq\f(f1′x,f2x)＋eq\f(f1′x,f2′x).A．①② B．②③C．①③ D．③④解析：对②，由求导法则易知：y′＝[f1(x)f2(x)]′＝f1′(x)f2(x)＋f1(x)f2′(x)．对④，y′＝[eq\f(f1x,f2x)]′＝eq\f(f1′xf2x－f1xf2′x,f\o\al(2,2)x).答案：C3．若函数f(x)＝exsinx，则此函数图像在点(3，f(3))处的切线的倾斜角为()A.eq\f(π,2) B．0C．钝角 D．锐角解析：f′(x)＝exsinx＋excosx＝ex(sinx＋cosx)＝eq\r(2)exsin(x＋eq\f(π,4))，f′(3)＝eq\r(2)e3sin(3＋eq\f(π,4))<0，则此函数图像在点(3，f(3))处的切线的倾斜角为钝角．答案：C4．若过函数f(x)＝lnx＋ax上的点P的切线与直线2x－y＝0平行，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2] B．(－∞，2)C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)解析：设过点P(x0，y0)的切线与直线2x－y＝0平行，因为f′(x)＝eq\f(1,x)＋a，故f′(x0)＝eq\f(1,x0)＋a＝2，得a＝2－eq\f(1,x0)，由题意知x0＞0，所以a＝2－eq\f(1,x0)＜2.答案：B5．函数y＝eq\f(x2,x＋3)的导数是()A.eq\f(x2＋6x,x＋32) B.eq\f(x2＋6x,x＋3)C.eq\f(－2x,x＋32) D.eq\f(3x2＋6x,x＋32)解析：y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,x＋3)))′＝eq\f(x2′x＋3－x2·x＋3′,x＋32)＝eq\f(2xx＋3－x2,x＋32)＝eq\f(x2＋6x,x＋32).答案：A6．函数y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)＋\f(1,x3)))的导数为________．解析：y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)＋\f(1,x3)))＝x3＋1＋eq\f(1,x2)，y′＝3x2－eq\f(2,x3).答案：3x2－eq\f(2,x3)7．若曲线f(x)＝x4－x在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为________．解析：∵f′(x)＝4x3－1，由题意得4x3－1＝3，∴x＝1.故切点为P(1,0)．答案：(1,0)8．已知曲线y＝eq\f(x2,4)－3lnx的一条切线的斜率为eq\f(1,2)，则切点的坐标为________．解析：∵y′＝eq\f(x,2)－eq\f(3,x)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(3,x)＝\f(1,2)，,x>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－6＝0，,x>0，))解得x＝3，故切点坐标为(3，eq\f(9,4)－3ln3)．答案：(3，eq\f(9,4)－3ln3)9．求下列函数的导数：(1)y＝(2x2＋3)(3x－2)；(2)y＝eq\f(x2,sinx).解析：(1)y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝4x(3x－2)＋3(2x2＋3)＝18x2－8x＋9.(2)y′＝eq\f(x2′sinx－x2sinx′,sin2x)＝eq\f(2xsinx－x2cosx,sin2x).10．已知曲线C1：y1＝x2与C2：y2＝－(x－2)2，若直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程．解析：法一：设直线l与曲线C1、C2分别相切于A(a，a2)，B(b，－(b－2)2)．因为两曲线对应函数的导函数分别为y1′＝2x，y2′＝－2(x－2)，当x＝a时，y1′＝2a，当x＝b时，y2′＝－2(b－2)，易知2a＝－2(b－2)，由题意，可得eq\f(a2＋b－22,a－b)＝2a＝－2(b－2)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2－b，,a2－b2－2ab＋4b＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝2.))所以A点坐标为(2,4)或(0,0)，切线的斜率k＝4或0，从而得到切线l的方程为4x－y－4＝0或y＝0.法二：设l与C1、C2相切时切点的横坐标分别为a、b，直线l的斜率为k，依据题意，得y1′＝2x，y2′＝－2(x－2)．则k＝2a＝－2(b－2)，可得a＝eq\f(k,2)，b＝eq\f(4－k,2)，所以切点的坐标分别为(eq\f(k,2)，eq\f(k2,4))，(eq\f(4－k,2)，－eq\f(k2,4))，则k＝eq\f(\f(k2,4)－－\f(k2,4),\f(k,2)－\f(4－k,2))＝eq\f(k2,2k－4)，解得k＝0或4.故所求的切线方程为4x－y－4＝0或y＝0.[B组实力提升]1．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)等于()A．212 B．29C．28 D．26解析：因为f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′，所以f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝212.答案：A2．设某商品的需求函数为Q＝100－5P，其中Q、P分别表示需求量和价格，假如商品需求弹性eq\f(EQ,EP)大于1，其中eq\f(EQ,EP)＝－eq\f(Q′,Q)P，Q′是Q的导数，则商品价格P的取值范围是()A．(0,10) B．(10,20)C．(20,30) D．(20，＋∞)解析：eq\f(EQ,EP)＝－eq\f(Q′,Q)P＝－eq\f(－5,100－5P)·P＝eq\f(P,20－P)，由eq\f(EQ,EP)＞1得eq\f(P,20－P)－1＞0，即eq\f(2P－20,20－P)＞0，解得10＜P＜20.故选B.答案：B3．已知f(x)＝x2＋2f′(－eq\f(1,3))x，则f′(－eq\f(1,3))＝________.解析：因为f(x)＝x2＋2f′(－eq\f(1,3))x，所以f′(x)＝2x＋2f′(－eq\f(1,3))，所以f′(－eq\f(1,3))＝2×(－eq\f(1,3))＋2f′(－eq\f(1,3))，所以f′(－eq\f(1,3))＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)4．设f(x)＝aex＋blnx，且f′(1)＝e，f′(－1)＝eq\f(1,e)，则a＋b＝________.解析：因为f′(x)＝aex＋eq\f(b,x)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′1＝ae＋b＝e，,f′－1＝\f(a,e)－b＝\f(1,e)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0.))所以a＋b＝1.答案：15．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1,1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求实数a、b、c的值．解析：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过P(1,1)，∴a＋b＋c＝1.…………①∵y′＝2ax＋b，∴当x＝2时，y′＝4a＋b，∴4a＋b＝1.…………②又抛物线过Q(2，－1)，∴4a＋2b＋c＝－1，…………………③联立①②③，解得a＝3，b＝－11，c＝9.6．曲线C：y＝ax3＋bx2＋cx＋d在点(0,1)处的切线为l1：y＝x＋1，在点(3,4)处的切线为l2：y＝－2x＋10，求曲线C的方程．解析：