2024-2025学年高中数学第二章解三角形1.2余弦定理课时素养评价含解析北师大版必修5

PAGE余弦定理(20分钟35分)1.设△ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a+c=2b,3sinB=5sinA,则C= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.因为3sinB=5sinA,所以由正弦定理可得3b=5a,所以a=QUOTEb.因为a+c=2b,所以c=QUOTE,所以cosC=QUOTE=-QUOTE,因为C∈(0,π),所以C=QUOTE.【补偿训练】在△ABC中,sin2A-sin2C-sin2B=sinCsinB,则A等于 ()A.60° B.45° C.120° D.30°【解析】选C.由正弦定理得a2-c2-b2=bc,结合余弦定理得cosA=QUOTE=-QUOTE,又A∈(0,π),所以A=120°.2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列结论不正确的是 ()A.a2=b2+c2-2bccosA B.asinB=bsinAC.a=bcosC+ccosB D.acosB+bcosA=sinC【解析】选D.选项A,是余弦定理,所以该选项正确;选项B,事实上是正弦定理QUOTE=QUOTE的变形,所以该选项是正确的;选项C,由于sinA=sin(B+C),所以sinA=sinBcosC+cosBsinC,所以a=bcosC+ccosB,所以该选项正确;选项D,acosB+bcosA=2R(sinAcosB+sinBcosA)=2RsinC(R为△ABC的外接圆半径),不肯定等于sinC,所以该项是错误的.3.在△ABC中,a,b,c为角A,B,C的对边,且b2=ac,则B的取值范围是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.cosB=QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTE≥QUOTE,因为0<B<π,所以B∈QUOTE.4.已知在△ABC中,AB=7,BC=5,CA=6,则·=.

【解析】在△ABC中,分别用a,b,c表示边BC,CA,AB,则·=ca·cosB=ca·QUOTE=QUOTE(a2+c2-b2)=QUOTE(52+72-62)=19.答案:195.已知锐角三角形的边长分别为1,3,a,则a的范围是.

【解析】只需让3和a所对的边均为锐角即可.故QUOTE解得2QUOTE<a<QUOTE.答案:2QUOTE<a<QUOTE6.在△ABC中,若ccosB=bcosC,cosA=QUOTE.(1)求sinB的值.(2)若b=2,求a.【解析】方法一:(1)由ccosB=bcosC,结合正弦定理得sinCcosB=sinBcosC,故sin(B-C)=0,因为0<B<π,0<C<π,所以-π<B-C<π,所以B-C=0,B=C,故b=c.因为cosA=QUOTE,所以由余弦定理得3a2=2b2,再由余弦定理得cosB=QUOTE,故sinB=QUOTE.(2)由(1)知b=c=2,所以a2=b2+c2-2bccosA=4+4-2×2×2×QUOTE=QUOTE,则a=QUOTE.方法二:(1)由余弦定理和ccosB=bcosC得c×QUOTE=b×QUOTE,化简得b=c,cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE,故3a2=2b2,即QUOTEa=QUOTEb,又由cosA=QUOTE,知sinA=QUOTE,由正弦定理得sinB=QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)因为cosA=QUOTE,所以sinA=QUOTE,由正弦定理得a=QUOTE=QUOTE=QUOTE.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且cos2QUOTE=QUOTE,则△ABC是 ()A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【解析】选A.因为cos2QUOTE=QUOTE及2cos2QUOTE-1=cosA,所以cosA=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,所以a2+b2=c2,则△ABC是直角三角形.2.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2,QUOTE=QUOTE,则A= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.因为QUOTE=QUOTE,所以由正弦定理得QUOTE=QUOTE,化简得b2+c2-a2=QUOTEbc,所以cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE.又因为0<A<π,所以A=QUOTE.3.(2024·全国Ⅲ卷)在△ABC中,cosC=QUOTE,AC=4,BC=3,则cosB= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.由余弦定理可知cosC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,可得QUOTE=3,又由余弦定理可知:cosB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.4.钝角三角形ABC的面积是QUOTE,AB=1,BC=QUOTE,则AC= ()A.5 B.QUOTE C.2 D.1【解析】选B.由面积公式得:QUOTE×1×QUOTEsinB=QUOTE,解得sinB=QUOTE,所以B=45°或B=135°,当B=45°时,由余弦定理得:AC2=1+2-2QUOTEcos45°=1,所以AC=1,又因为AB=1,BC=QUOTE,所以此时△ABC为等腰直角三角形,不合题意,舍去;所以B=135°,由余弦定理得:AC2=1+2-2QUOTEcos135°=5,所以AC=QUOTE.【误区警示】本题易由sinB=QUOTE干脆得出B=45°,从而产生错误.5.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若bsinA-QUOTEacosB=0,且b2=ac,则QUOTE的值为 ()A.2 B.QUOTE C.QUOTE D.4【解析】选A.在△ABC中,因为bsinA-QUOTEacosB=0,且b2=ac,由正弦定理得sinBsinA-QUOTEsinAcosB=0,因为A∈(0,π),则sinA>0,所以sinB-QUOTEcosB=0,即tanB=QUOTE,解得B=QUOTE,由余弦定理得b2=a2+c2-2acosB=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=(a+c)2-3b2,即4b2=(a+c)2,解得QUOTE=2.二、填空题(每小题5分,共15分)6.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c.若c=QUOTEb,cosB=QUOTEcosC,a=QUOTE,则S△ABC=.

【解析】因为cosB=QUOTEcosC,所以QUOTE=QUOTE,结合c=QUOTEb,化简得a=QUOTEb,从而有b2+c2=a2,即△ABC为直角三角形,将c=QUOTEb,a=QUOTE代入b2+c2=a2,得b=1,于是c=QUOTE,所以S△ABC=QUOTEbc=QUOTE.答案:QUOTE【补偿训练】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a2=b2+QUOTEc2,则QUOTE的值为.

【解析】因为a2=b2+QUOTEc2,所以b2=a2-QUOTEc2.所以cosB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.所以QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,b=4,c=6,则bccosA+accosB+abcosC的值是.

【解析】因为cosA=QUOTE,所以bccosA=QUOTE(b2+c2-a2).同理accosB=QUOTE(a2+c2-b2),abcosC=QUOTE(a2+b2-c2),所以bccosA+accosB+abcosC=QUOTE(a2+b2+c2)=QUOTE.答案:QUOTE8.若△ABC为钝角三角形,三边长分别为2,3,x,则x的取值范围是.

【解析】①若x>3,则x所对角的余弦值QUOTE<0且2+3>x,解得QUOTE<x<5.②若x<3,则3所对角的余弦值QUOTE<0且x+2>3,解得1<x<QUOTE.故x的取值范围是(1,QUOTE)∪(QUOTE,5).答案:(1,QUOTE)∪(QUOTE,5)三、解答题(每小题10分,共20分)9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(a+b)(a-b)=c(c-b).(1)求角A的大小;(2)若a=bcosC,c=2,求△ABC的面积S.【解析】(1)由a2-b2=c2-bc,可得cosA=QUOTE=QUOTE,又A∈(0,π),所以A=QUOTE.(2)由正弦定理得sinA=sin(B+C)=sinBcosC,即cosBsinC=0.因为sinC≠0,故cosB=0,所以B=QUOTE,又c=2,所以a=2QUOTE,所以S=QUOTE=2QUOTE.10.(2024·全国Ⅱ卷)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.(1)求A;(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值.【解析】(1)因为sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC,所以由正弦定理得:BC2-AC2-AB2=AC·AB,所以cosA=QUOTE=-QUOTE,因为A∈(0,π),所以A=QUOTE.(2)由(1)知A=QUOTE,又BC=3,所以由余弦定理得:BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA=AC2+AB2+AC·AB=9,即(AC+AB)2-AC·AB=9.因为AC·AB≤QUOTE(当且仅当AC=AB时取等号),所以9=(AC+AB)2-AC·AB≥(AC+AB)2-QUOTE=QUOTE(AC+AB)2,解得:AC+AB≤2QUOTE(当且仅当AC=AB时取等号),所以△ABC的周长=AC+AB+BC≤3+2QUOTE,所以△ABC周长的最大值为3+2QUOTE.1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S为△ABC的面积,sin(A+C)=QUOTE,且A,B,C成等差数列,则C的大小为.

【解析】在△ABC中,由A,B,C成等差数列,可得2B=A+C=π-B,即B=QUOTE,sin(A+C)=QUOTE,即为sinB=QUOTE,即有b2=c2+ac,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac,即有a=2c,b=QUOTEc,cosC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又因为C为三角形的内角,所以C=QUOTE.答案:QUOTE2.如图,△ABC的顶点坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,0).(1)若c=5,求sinA的值;(2)若A为钝角,求c的取值范围.【解析】(1)因为A(3,4),B(0,0),所以AB=5,当c=