2024-2025学年高中数学第一章数列2.1第2课时等差数列的性质跟踪训练含解析北师大版必修5_第1页
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PAGE第一章数列§2等差数列2.1等差数列第2课时等差数列的性质[A组学业达标]1.(2024·舒兰市模拟)假如在等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a7等于()A.4 B.6C.8 D.12解析:在等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,可得a1+a7=a3+a5=2a4,即3a4=12,可得a4=4,所以a1+a7=8.故选C.答案:C2.设数列{an}、{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则a37+b37等于()A.0 B.37C.100 D.-37解析:∵{an}与{bn}为等差数列,∴{an+bn}为等差数列.又a1+b1=100,a2+b2=100,∴{an+bn}的首项为a1+b1,公差为100-100=0,∴a37+b37=(a1+b1)+(37-1)d=100.故选C.答案:C3.等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-aA.20 B.22C.24 D.-8解析:∵a1+3a8+a15=5a8=120,∴a8=24,而2a9-a10=a10+a8-a10=a8=24.故选C.答案:C4.(2024·皇姑区模拟)数列{an}中,a1=1,a2=2,且数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an+1)))是等差数列,则a3等于()A.eq\f(1,3) B.3C.5 D.2007解析:因为a1=1,a2=2,且数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an+1)))是等差数列,所以eq\f(2,a2+1)=eq\f(1,a1+1)+eq\f(1,a3+1),即eq\f(2,3)=eq\f(1,2)+eq\f(1,a3+1),解得a3=5,故选C.答案:C5.(2024·大理州模拟)《莱因德纸草书》(RhindPapyrus)是世界上最古老的数学著作之一,书中有这样一道题:把120个面包分成5份,使每份的面包数成等差数列,且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍,则最少的那份有()个面包.()A.4 B.3C.2 D.1解析:设五个人所分得的面包为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,(其中d>0),则有(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=120,∴a=24.由a+a+d+a+2d=7(a-2d+a-d),得3a+3d=7(2a-3d),∴24d=11a,∴d=11.∴最少的一份为a-2d=24-22=2.故选C.答案:C6.已知等差数列{an}中,a3,a10是方程x2-3x-5=0的两根,则a5+a6+a7+a8=________.解析:由条件知,a3+a10=3,又因为在等差数列中,a3+a10=a5+a8=a6+a7,所以a5+a6+a7+a8=2(a3+a10)=6.答案:67.在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7解析:法一:a3+a8=2a1+9d=10,3a5+a7=4a1+18d=2(2a1+9d)=2×10=20.法二:a3+a8=2a3+5d=10,3a5+a7=4a3+10d=2(2a3+5d)=2×10=20.答案:208.若x≠y,两个数列x,a1,a2,a3,y和x,b1,b2,b3,b4,y都是等差数列,则eq\f(a2-a1,b4-b3)=________.解析:设两个等差数列的公差分别为d1,d2.则y-x=4d1=5d2,又a2-a1=d1,b4-b3=d2,所以eq\f(a2-a1,b4-b3)=eq\f(d1,d2)=eq\f(\f(1,4)(y-x),\f(1,5)(y-x))=eq\f(5,4).答案:eq\f(5,4)9.已知f(x)=x2-2x-3,等差数列{an}中,a1=f(x-1),a2=-eq\f(3,2),a3=f(x).求:(1)x的值;(2)通项公式an.解析:(1)由f(x)=x2-2x-3,得a1=f(x-1)=(x-1)2-2(x-1)-3=x2-4x,a3=x2-2x-3,又因为a1,a2,a3成等差数列,所以2a2=a1+a3,即-3=x2-4x+x2-2x-3,解得x=0,或x=3.(2)当x=0时,a1=0,d=a2-a1=-eq\f(3,2),此时an=a1+(n-1)d=-eq\f(3,2)(n-1);当x=3时,a1=-3,d=a2-a1=eq\f(3,2),此时an=a1+(n-1)d=eq\f(3,2)(n-3).10.三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为后一项的6倍,求这三个数.解析:设三个数分别为a,a+d,a+2d,由题意得:a+a+d+a+2d=9,a(a+d)=6(a+2d),解得:a=4,d=-1,则这三个数分别为4,3,2.[B组实力提升]11.(2024·商丘市模拟)若数列{an}为等差数列,且a1+a7+a13=4π,则sin(a2+a12)的值()A.-eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),2)C.10 D.5解析:数列{an}为等差数列,且a1+a7+a13=4π,可得a7=eq\f(4π,3);a2+a12=eq\f(8π,3),sin(a2+a12)=sin·eq\f(8π,3)=eq\f(\r(3),2),故选B.答案:B12.已知正项数列{an}中,a1=1,a2=2,2aeq\o\al(2,n)=aeq\o\al(2,n+1)+aeq\o\al(2,n-1),则a6的值是()A.8 B.4C.16 D.2eq\r(2)解析:∵2aeq\o\al(2,n)=aeq\o\al(2,n+1)+aeq\o\al(2,n-1),a1=1,a2=2,∴aeq\o\al(2,1)=1,aeq\o\al(2,2)=4,aeq\o\al(2,2)-aeq\o\al(2,1)=3,∴数列{aeq\o\al(2,n)}是以1为首项,以3为公差的等差数列,由等差数列的通项公式可得aeq\o\al(2,n)=1+3(n-1)=3n-2,∴aeq\o\al(2,6)=16.∵an>0,∴a6=4,故选B.答案:B13.若三个数成等差数列,它们的和为9,平方和为59,则这三个数的积为________.解析:设这三个数为a-d,a,a+d,则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a-d+a+a+d=9,,(a-d)2+a2+(a+d)2=59,))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=3,,d=4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=3,,d=-4.))∴这三个数为-1,3,7或7,3,-1.∴这三个数的积为-21.答案:-2114.在等差数列{an}中,a5+a6=4,则log2(2a1·2a2…2解析:在等差数列{an}中,a5+a6=4,所以a1+a10=a2+a9=a3+a8=a4+a7=a5+a6=4,所以a1+a2+…+a10=(a1+a10)+(a2+a9)+(a3+a8)+(a4+a7)+(a5+a6)=5(a5+a6)=20,则log2(2a1·2a2…2a10)=log22a1+a2+…+a10=a1+a2+…+a10=20.答案:2015.首项为a1,公差d为正整数的等差数列{an}满意下列两个条件:(1)a3+a5+a7=93;(2)满意an>100的n的最小值是15,试求公差d和首项a1的值.解析:因为a3+a5+a7=93,所以3a5=93,所以a5=31,所以an=a5+(n-5)d>100,所以n>eq\f(69,d)+5.因为n的最小值是15,所以14≤eq\f(69,d)+5<15,所以6eq\f(9,10)<d≤7eq\f(2,3),又d为正整数,所以d=7,a1=a5-4d=3.16.已知数列{an}是等差数列,且a1+a2+a3=12,a8=16.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若从数列{an}中,依次取出第2项,第4项,第6项,…,第2n项,按原来依次组成一个新数列{bn},试求出数列{bn}的通项公式.解析:(1)设等差数列的公差为d.因为a1+a2+a3=12.所以a2=4,因为a8=a2+(8

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