广东省深圳实验学校高中部2024-2025学年高二上学期10月份第二次培优数学试卷

广东省深圳实验学校高中部2024-2025学年高二上学期10月份第二次培优数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2.已知直线与垂直，则实数的值是（）A.0或3 B.3 C.0或-3 D.-33.已知，则以AB为直径的圆的一般方程为（）A. B.C. D.4.如图所示，直线与的图象可能是（）A. B. C. D.5.直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）A.[2，6] B.[4，8] C. D.6.M，N分别为直线与上任意一点，则|MN|最小值为（）A. B. C. D.7.直线与直线相交于点，对任意实数，直线分别恒过定点A，B，则的最大值为（）A.4 B.8 C. D.8.在长方体中，是AC的中点，点在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下面四个结论正确的是（）A.已知向量，若，则为钝角B.已知，则向量在向量上的投影向量是C.若直线经过第三象限，则D.已知A，B，C三点不共线，对于空间任意一点，若，则P，A，B，C四点共面10.下述四个结论，正确的是（）A.过点在轴，轴上截距都相等的直线方程为B.直线与圆相交的充分不必要条件是C.直线表示过点的所有直线D.过点与圆相切的直线方程为11.已知点和是直线上的动点，则（）A.存在，使最小 B.存在，使最小C.存在，使最大 D.存在，使最小三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知x、y满足，则的最大值为_____________.13.已知从点发出的光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆:的圆周，则反射光线所在的直线方程为____________.14.阅读下面材料:在空间直角坐标系Oxyz中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为.根据上述材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的余弦值为____________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）已知圆的圆心在轴上，并且过原点和.（1）求圆的方程;（2）若线段AB的端点，端点在圆上运动，求线段AB的中点的轨迹方程.16.（本小题15分）已知直线过定点（1）若到直线的距离为3，求直线的方程;（2）若直线分别与轴，轴的负半轴交于A，B两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程.17.（本小题15分）已知的顶点，边AC上的高BH所在直线的方程为，边AB上的中线CM所在直线的方程为.（1）求直线AC的方程;（2）求的面积.18.（本小题17分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱底面是PC的中点，作交PB于点.（1）求证:平面EDB;（2）求证:平面EFD;（3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.19.（本小题17分）已知点P（1，3），圆.直线与圆相交于A、B两点，.（1）若直线过点，求直线的方程;（2）①若线段AB的中点为，求点的轨迹方程;②过点作直线与曲线交于两点M、N，设的斜率分别为，求证:为定值.

答案和解析1.【答案】【解析】解：因为该直线的斜率为，所以它的倾斜角为.故选:.根据直线倾斜角与斜率之间的关系即可得倾斜角.本题主要考查直线倾斜角的求解，考查计算能力，属于基础题.2.【答案】D【解析】解:直线与直线互相垂直，所以，即，解得或（不满足直线，舍去）.故选:.利用两条直线垂直的性质，即可求出的值.本题考查两条直线垂直的充要条件的应用，属于基础题.3.【答案】B【解析】解：已知，则AB中点坐标为，即.则以AB为直径的圆的圆心为，又，则以AB为直径的圆的半径为.所以圆的标准方程为，化为一般方程为.故选:.求出AB的中点和|AB|可得以AB为直径的圆的圆心坐标和半径，进而得所求圆的标准方程，再将其转化为一般方程即可得解.本题考查圆的方程，考查运算求解能力，属于基础题.4.【答案】C【解析】解：直线方程可化为，斜率为，在轴上的截距为，直线方程可化为，斜率为，在轴上的截距为，对于选项，由直线的图象可得，即，由直线的图象可得不满足条件;对于选项，由直线的图象可得，由直线的图象可得，即，B不满足条件；对于选项，由直线的图象可得，即，由直线的图象可得满足条件;对于选项，由直线的图象可得，由直线的图象可得，即，不满足条件.故选:.分析两直线的斜率以及在轴上的截距，可得出a，b的符号，即可得出合适的选项.本题主要考查直线方程的应用，考查直线的图象特征，属于基础题.5.【答案】A【解析】【分析】本题考查与圆有关的最值问题，考查直线与圆的位置关系及点到直线距离公式，属于中档题.由题意，|AB|为的底边长，点到直线的距离为的高，利用圆上点到直线距离的最大值与最小值即可求出.【解答】解:直线分别与轴，轴交于A，B两点，令，得，令，得，，点到直线的距离为的高，圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为:，所以点到直线的距离的最大值为，最小值为，则面积为，最大值为，最小值为，所以面积的取值范围为[2，6].故选.6.【答案】A【解析】解：直线与，满足，可得两条直线相互平行，所以|MN|最小值为平行线之间的距离，可化为，所以，.故选:.利用两平行线间的距离公式可求出|MN|的最小值.本题考查平行线之间距离的求法，是基础题.7.【答案】【解析】解:直线，当，得，即点，直线，当，得，即点，且两条直线满足，所以，即，，，当时，等号成立，所以的最大值为4.故选:.首先求点A，B的坐标，并判断两条直线的位置关系，结合基本不等式，即可求解.本题考查了直线过定点问题，涉及到基本不等式的应用，属于基础题.8.【答案】B【解析】解：以点为坐标原点，以所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为是AC的中点，则，因为点在线段上，则设，设点，则，则，所以，则，，设平面的法向量为，则，令，则，所以，所以，，因为，则，则，则，所以，则.故选:.建立空间直角坐标系，设点，其中，利用空间向量法求出的取值范围.本题考查了利用空间向量求解直线与平面所成角，考查了数形结合思想及转化思想，属于中档题.9.【答案】BD【解析】解：对于，当时，，此时为，故错误；对于，向量在向量上的投影向量为，故B正确；对于，令，则直线为，且经过第三象限，但此时，故错误;对于，因为，所以由向量共面定理的推论可得P，A，B，C四点共面，故正确.故选:BD.取可得，进而得到错误；由投影向量的计算可得正确；令可得错误；由空间向量共面定理可得正确.本题主要考查了空间向量的坐标运算，考查了投影向量的定义，属于中档题.10.【答案】BD【解析】解：对于，没有考虑截距均为0的情况，排除;对于，若直线与圆相交，则，解得是直线与圆相交的充分不必要条件，故B正确；对于，点在轴上，但无论取何值，不能表示轴，故不正确;对于，设过的直线方程为，即，，即，解得，过的直线方程为，故正确.故选:BD.对于，没有考虑截距均为0的情况，排除；对于，根据圆心到直线的距离与半径的大小比较进行求解即可;对于，利用反例即可排除;对于，设出过直线方程，再根据圆心到直线的距离等于半径即可求出结果.本题主要考查直线与圆的位置关系，直线的截距式方程，充分必要条件的判断，圆的切线方程，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.11.【答案】ACD【解析】解：对于，在平面直角坐标系中作出点A、B和直线:，如图所示:由图知，点和在直线同侧，设点关于直线的对称点为，则，解得，所以，因为，当且仅当为直线与直线的交点时，有最小值，直线的斜率为，方程为，即，由，解得，所以存在，使最小，选项正确;对于的最小值为0，当且仅当，即为线段AB的垂直平分线与直线的交点，AB的中点坐标为，直线AB的斜率为，则线段AB的垂直平分线方程为，化为一般式方程，由，解得，存在，使最小，选项错误;对于，当且仅当为直线AB与直线的交点时，有最大值|AB|，直线AB的方程为，即，由，解得，存在，使最大，选项正确;对于，设，，当时取得最小值，此时，所以存在，使得最小，选项正确.故选：ACD.选项，先求点关于直线的对称点为，根据直线与直线的交点坐标即可判断；选项B，P为线段AB的垂直平分线与直线的交点;选项，根据绝对值的特点得出为直线AB与直线的交点；选项，设出点的坐标，根据二次函数的性质求出取最小值时点的坐标.本题考查了点与直线的位置关系应用问题，也考查了数形结合思想，是中档题.12.【答案】【解析】解:，即，表示以为圆心、半径等于1的圆.而表示圆上的点到原点的距离的平方，由于，故的最大值是.故答案为:.方程表示以为圆心、半径等于1的圆，表示圆上的点到原点的距离平方，求出CO的值，进而求解结论.本题主要考查圆的一般方程，两点间的距离公式，属于基础题.13.【答案】【解析】解：由圆的方程得：圆心为，反射光线恰好平分圆的圆周，反射光线经过点，关于轴对称的点为反射光线所在直线经过点，反射光线所在直线方程为，即.故答案为:.由圆的方程可得圆心坐标，根据反射光线经过圆心和关于轴对称的点，可利用两点式整理得到所求直线方程.本题主要考查了直线的一般方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，属于基础题.14.【答案】【解析】解：因为平面的方程为，所以平面的法向量为，同理可得，平面的法向量为，平面的法向量为，设直线的方向向量为，则，取，则，所以，设直线与平面所成角为，则，所以，即直线与平面所成角的余弦值为.故答案为:.先根据题意写出三个平面的法向量，再求得直线的方向向量，然后利用向量法求线面角即可.本题考查空间中线面角的求法，理解新定义，熟练掌握利用向量法求线面角是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.15.【答案】解:（1）先设圆方程:，根据题干已知，解得，所以圆方程为.（2）设点，因为，所以.解得，又因为点在圆上，因此，所以点M的轨迹方程为.【解析】（1）利用待定系数法计算即可求解;（2）设，，由中点坐标公式可得，代入圆C方程，整理即可求解.本题考查圆的轨迹方程问题，属于中档题.16.【答案】解:（1）当直线斜率存在时，设直线方程为即，点到直线的距离为，解得.此时直线的方程为即.当直线斜率不存在时，由过得:，满足到的距离为3.综上所述，所求的直线方程为或.（2）若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A，B两点，则设直线为，则，当且仅当时取等号，故面积的最小值为12，此时直线l的方程为.【解析】（1）就斜率是否存在分类讨论后结合点到直线的距离公式可求直线方程;（2）设直线为，则可用斜率表示面积，结合基本不等式可求面积的最小值，从而可求直线方程.本题考查直线方程的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题.17.【答案】解：（1）由题意可得，因为BH所在直线的方程为，设直线AC的方程为:，将点A（1，1）代入直线AC的方程:，可得，所以直线AC的方程为;（2）设，则AB的中点，联立，解得，即，联立，解得，即，所以，到直线AC的距离，所以.【解析】（1）由直线的垂直设直线AC的方程，将点A的坐标代入，可得参数的值，即求出直线AC的方程;（2）设点B的坐标，可得AB的中点M的坐标，将点B，M分别代入直线BH，CM的方程，可得点B的坐标，联立CM，AC的方程，可得点的坐标，求出|AC|及点到直线AC的距离的值，代入三角形的面积的大小.本题考查与已知直线垂直的直线的设法及两条直线的交点坐标的求法，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，属于基础题.18.【答案】解:（1）证明:如图所示，连接AC，AC交BD于点，连接EO.底面ABCD是正方形，点是AC的中点.在中，EO是中位线，.而平面EDB且平面EDB，平面EDB;（2）证明：∵底面ABCD，且平面.是等腰直角三角形.又DE是斜边PC的中线，.①由底面ABCD，得.底面ABCD是正方形，.又平面PDC.又平面.②由①和②推得平面PBC.而平面.又，且平面EFD;（3）由（2）知，，故是二面角的平面角.由（2）知，.设正方形ABCD的边长为，则，在Rt中，.在R.中，.故平面CPB与平面PBD的夹角的大小为.【解析】（1）由题意连接AC，AC交BD于，连接EO，则EO是中位线，证出，由线面平行的判定定理知平面EDB;（2）由底面ABCD，得，由证出平面PDC，即得，再由ABCD是正方形证出平面PBC，则有，进一步得到平面EFD;（3）由条件，可知∠EFD是二面角的平面角，然后求二面角的大小，即可得到平面CPB与平面PBD的夹角的大小.本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定，考查空间角的求法，考查空间想象能力与考查运算求解能力，是中档题.19.【答案】解:（1）圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离，若直线的斜率不存在，即直线，满足题意;若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离，解