考场仿真卷03-2021年高考数学（理）模拟考场仿真演练卷(新课标Ⅰ卷)（解析版）

绝密★启用前

2021年高考数学（理）模拟考场仿真演练卷

第三模拟

本试卷共23题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净

后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.满足{0,l}UT={0,L2}的集合T的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】依题意得2eT,.•.7={2}或7={0,2}或7={1,2}或7={0,1,2},二丁的个数有4个，

故选D

4z

2.已知复数2=——,则|z+止

1+Z

A.V13B.2GC.V15D.V26

【答案】A

4z4z（l-z）4+4z〜r-rr-

L22

【解析】Z=--=—\—-=——=2+2I,|z+z|=3+2z=73+2=713,故选A.

1+z（l+z）（l-z）211

3.随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分.下图

是2012-2020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这9年的统计信息，下列说法正确的是（）

2012-2020年我国快递业务量变化情况

口快递业务量（亿件）。同比增速

A.这9年我国快递业务量有增有减

B.这9年我国快递业务量同比增速的中位数为51.4%

C.这9年我国快递业务量同比增速的极差未超过36%

D.这9年我国快递业务量的平均数超过210亿件

【答案】D

【解析】由条形图可知，这9年我国快递业务量逐年增加，故A错误；将各年我国快递业务量同比增速按

从小到大排列得：25.3%,26.6%,28.0%,30.5%,48.0%,51.4%,51.9%,54.8%,61.6%,

故中位数为第5个数48.0%,故3错误；这9年我国快递业务量同比增速的极差为

61.6%-25.3%=36.3%>36%,故C错误；由条形图可知，自2016年起，各年的快递业务量远超过210

亿件，故快递业务量的平均数超过210亿件，。正确.故选D.

x+y-3<0

4.若实数X,y满足约束条件｛x-y+120,则z=x—2y的最大值为（）

y>0

A.-1B.-3C.3D.5

【答案】C

x+y-3<0

【解析】由约束条件｛x-y+120得如图所示的三角形区域，

y>0

x+y-3=0\x=3

1z1z

由r可得彳，将2=九一2y变形为y=—X——,平移直线丁二—九一一，由图可知当直

y=0y=0~~

1z

y=—5经过点（3,0）时，直线在y轴上的截距最小，z=x-2y最大，最大值为z=3—2x0=3

故选C.

5.如图所示，流程图所给的程序运行结果为S=840,那么判断框中所填入的关于左的条件是（）

A.左＜5?B.左＜4?

C.k＜3?D.左＜2?

【答案】B

【解析】由程序流程的输出结果，知：1、S=l,左=7：执行循环,S=7,左=6；

2、S=7,k=6：执行循环，S=42,k=5-

3、S=42,左=5：执行循环，S=210,左=4；

4、5=210,左=4：执行循环，S=840,k=3-

由题设输出结果为S=840,故第5步输出结果，此时左=3<4.故选B.

6.一个长方体的平面展开图如图所示，其中A3=4,AD=2,=点"为A5的中点，则将

该长方体还原后，AH与CM所成角的余弦值为（)

H

X—Z.-------------D.—

32

【答案】B

【解析】将该长方体还原后的直观图如图所示,

取CD的中点N,则易证得4W/Q0,所以N”4N（或补角）即为异面直线与CM所成的角,

易求得AN=CM=2形，AH=HN=s/6，由余弦定理得cos/HAN=殁3里匕二生=走

2AH-AN3

故选B.

7.在DABC中，AB=4,AC=6,AC=3AM,CN=NB，丽•丽=—3,则通•飞=（）

3

A.-B.3C.6D.15

2

因为恁=3画7,所以丽=磁—通=g就一通.又因为西=而，所以前=g（ze+砺），

所以M丽出衣+g可｛：衣_呵=_3,即:恁2而2T超恁=_3,

------<2I------q2----->2I-----q2uuuuum

又AC=卜。|=36,AB=|AB|=16,所以AB・AC=3•故选B.

c

8.若、］=log2a,Q^|=b\^=2-,则”,仇c的大小关系是（）

A.c<a<bB.c<b<a

C.a<c<bD.b<c<a

【答案】B

_11

【解析】分别画出函数y=（e）*,y=log2%,y=%2的图象，如图所不，由图象，可得cvb<〃.

故选B.

2

y

9.已知双曲线C：==1（a>0,b>0）的左焦点为尸，过点尸且与y轴平行的直线与双曲线交

ab2

于A,3两点，若DAOB为等腰直角三角形（。为坐标原点），则双曲线C的离心率为（）

A.6B.J百C.gD.1+石

222

【答案】D

22（r2、

【解析】设点尸的坐标为（―GO）,则可得直线x=-c,与A―4=1联立，可得A—c,一,

abIaJ

（b2}b1

22

B—c,一—,又因为0405为等腰直角三角形，所以幺=。，即从=ac，c-ac-a=Q^整理得

<a）a

2—e—1=0,解得e=¥史或6=上=5（舍），故选D.

22

10.已知数列｛。"｝满足q=2,+a“=3a“T-1(〃之2,"wN*),若7；…a"，当<>1。时,

n的最小值为()

A.3B.5C.6D.7

【答案】C

1—13%-1।2al—22(an_y-1)

【解析】由Q〃/T+4=3/T—1得：4二--1----------1—---------------------

an-l+1an-\+1an-\+1an-\+1

.1=%-i+1=%T+2=1111111

-----7=-,「•数歹l"》是以

2即

a“T(a„_i-1)2(*一1)an_x-12，一1%T2

1.11.1/.\7?+1〃+3

—7=1为首项，；为公差的等差数列，，--=l+-(/2-l)=—,则%,=—

2an-l22〃+1

,456n+2n+3(n+2)(n+3)inzB(几+2)(〃+3)

/.Tn=-x—x—x…义-----x----=----------人,由北〉1。得：---------->10,

234nn+166

又“cN*，，〃之6且“eN*，；•〃的最小值为6.故选C.

11.已知函数/(1)=痂皿。*+0)(4>0,0>0,|0|<%)的部分图象如图所示，将/(龙)的图象向右平移

a(a>0)个单位长度，得到函数g(x),若g(x)满足g(2万—x)=g(x),则。的最小值为()

71715兀

A.—C.一D.—

12412

【答案】D

71二工工工—•"=丝口〉0,

【解析】法一：由图可知，A=l,图象过点1,f,。

12J4312㈤

:.0=2.•••/(%)的图象过点

.C71'兀71G

:,sin2x——+0=ln2x----\-(p=2左"+擀(左Z)n°=2左"+?左GZ),

I12J12”

：.(p=—

3

n、n._。7冗1

.•./(%)=sin2》+三，g(x)=sin2x—a)H—=sin2x——

3(33f

由g(2万一x)=g(x),得g(x)的图象关于直线％=万对称,

nn

所以g(7T)=sin|27r—2ci+—|——sin|2a——|—±1,

33

7C7C7/7\57rk/c/j\

2a----=—1~K7T(左£Z),;.a=--------1-------(左wZ),又a>0,

32'7122v7

577"

所以册加=五，故选。・

rTi

nkK

法二：—===故/(九)图象对称轴可表示为x-------1-------,

122

g(2万一x)=g(x)ng(x)的图象的一条对称轴为x=7i,

'rr'TrI■rr

当左=1时，可知X=〃的左侧/(x)图象离x=万最近的对称轴为x=^+,=E

77r57r

故。的最小值为乃——=——，故选D.

1212

12.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴

鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.如图所示，已知某“鞠”的表面上有四个点A,

B,C,。满足4?=5。=8=刀凶=。5=100111,AC=15cm,则该“鞠”的表面积为()

350万700万

A.cm2B.cm2

33

D.邳。怎cn?

C.350^cm2

27

【答案】B

【解析】由已知得^ABD,△CBD均为等边三角形.如图所示,

设球心为。，△5CD的中心为。'，取瓦)的中点p，连接AF,CF,OO',OB,O'B,A0,

则AFLBD,CF±BD,得3D_L平面AbC,且可求得AE=CP=5gcm，而AC=15cm,所以

NANC=120°.在平面AFC中过点A作CV的垂线，与C尸的延长线交于点E，由3DJ_平面AFC,得

BDLAE，故平面5CD,过点。作OG,AE于点G,则四边形O'EGO是矩形.

则O'B=BCsin60°x|=^yl(cm)，O'F=^O'B=^(cm).

AE=AFsin600=y(cm),EF=AFsin30°=^(cm).

23

f222

设球的半径为E，OO=xcm,则由OO'2+O：B2=O52,OA=AG+GO,

解得x=5cm,R=，与cm.故三棱锥A—BCD外接球的表面积5=4^7?2=^^（cm2

二、填空题：本题共4小题,每小题5分，共20分.

,（用数字作答）

【答案】4860

【解析】二项式展开式中的第厂项加=禺Ox。'2r-36-r-C；-x6-2r，则6—2r=2nr=2,此

时n=22.34.屐.公=4680尤2

14.设｛4｝是首项为2的等比数列，S“是其前”项和.若。3%+%=。，贝1J$6=

21

【答案】—

16

【解析】设等比数列｛4｝的公比为4,则=o,将卬=2代入得24+1=0,得4=一g，

01a/)_2(l—启)_21

所以£=

"q-116

15.若函数/（x）=lnx+x与g（x）=&二?的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线y=2x+l平行,

X—1

则实数m=

17

【答案】—

8

【解析】设函数/（x）=lnx+x图象上切点为（毛,％）），因为/'（%）=工+1,所以/'（%）=上+1=2,得

%=1，所以%=/(/)=/⑴=1,所以切线方程为y-l=2(x-l),即y=2x—1,设函数g(x)=2w

m—2

的图象上的切点为（占,%）（占二1）,因为g'（X）=，所以

(x-1)2(X—1)2

IYI—22^x—m

g'（Xi）=7----7v=2,即根=2x；-4%+4,又％=2xi—l=g（xJ=—!——,即瓶=—2x；+5七一1,

（X]-1）%—1

所以2x；—4xj+4=—2x；+5%j—1,即4x；—9%j+5=0,解得斗=^或苞=1（舍），

C/5丫5/17

所以m=2x|—|-4x—+4=一.

⑷48

16.如图，两条距离为4的直线都与y轴平行，它们与抛物线/=—2/（0<0<14）和圆（工―4『+丁=9

分别交于A3和C。，且抛物线的准线与圆相切，则当|/由卜|8|取得最大值时，直线A5的方程为

【解析】由（X—4丫+>2=9可得圆心（4,0）,半径厂=3,由抛物线丁=-2px（0<p<14）可得准线方程

为：X=旦，因为抛物线V=-2px（O<p<14）的准线与圆（x—4）?+y2=9相切，所以4—§=3,

解得p=2或p=14,因为0vpvl4,所以p=2,所以抛物线方程为/=—4%,设直线A8方程为

x=-t,则直线CD方程为X=4v,对于（x—4）2+y2=9,令y=0可得X=1或X=7,

因为直线CD与圆相交，所以1<4—/<7,可得—3</<3,又因为直线AB与抛物线相交，所以T<0,

即t>0,所以0</<3,由｛2_可得力=24，%=—2jF，所以|AB|=4〃，圆心（4,0）到直

线CD：x=4—/的距离为d=|4—4|=九所以弦长2J产-/=219-『，

所以恒创.|CD|=4〃x2,9-产=8“9_产）（0</<3）,令/⑴=?（9-r）（0<Z<3）,

则/'«）=—3/+9,由/'（。>0可得0</<6,由/'（。<0可得也</<3,所以/（。=耳9—/）在

（0,6）单调递增，在（君,3）单调递减，所以当/=/时・，/（1）最大，此时

\AB\-\CD\=8/（9"）=8J?。也最大.此时直线AB方程为x=-^3

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必

须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.

（-）必考题：共60分.

17.（12分）如图，在四边形A8CD中，ABUCD,ZADC=90°,DABC为锐角三角形，且AB=3,

AC=近，ZABC=60°.

（1）求sinNB4c的值；

（2）求△BCD的面积.

【解析】。）在锐角□ABC中，AB=3,AC=J7，ZABC=60°,

由正弦定理得sinZACB="人由乙钻。=之叵，（3分）

AC14

又因为□ABC为锐角三角形

cosZACB=--（4分）

14

,/sinABAC=sin7i-+NACB]]=sin]?+NACs],

sinABAC=sinZACB-cos—+cosZACB-sin—=—+x.（6分）

3314X21427

（2）QAB//CD,

:.ZACD^ZBAC,

/2J

.・.sinZACD=sinABAC=-X-.（8分）

7

历

在MADC中，AD=ACxsinZACD=V7x--=石，

7

:.CD=ylAC2-AD2=2-（10分）

..v=Q

,%BCD~0DACZ）'

又S「ACD=LADXCD=6,

LJ

SQBCD=超・（12分）

18.（12分）如图，在四棱锥尸—ABCD中，底面A5CD为直角梯形，AD//BC,NADC=90°，平面八山，

底面ABC。，NPBC=90°，PA=AD=2BC=2,CD=6

（1）求证：PA=PD；

（2）求直线PC与平面E43所成的角的正弦值.

【解析】（1）取AD的中点Q,连接BQ.

.AD//BC,。为AZ）的中点，AD=2BC=2,

BC//QD,BC=QD,

四边形BCDQ为平行四边形，，BQ//CD.

-.■ZADC=9Q°,

.-.AD±BQ.O分）

•.•ZPBC=90°,ADIIBC,

:.AD±PB

又PBCBQ=B,

:.ADL平面PBQ.

•••PQu平面PBQ,

PQLAD.

由。为AO的中点，得B4=?D.（6分）

（2）•.•平面平面ABCD,平面PA。。平面ABCD=AT>,

PQ^AD,PQu平面PAD，

PQ_L平面ABCD,

PQ,AD,QB两两垂直.（7分）

以。为原点，分别以QA,QB,QP所在直线为X轴，y轴，Z轴，建立空间直角坐标系,

则Q(0,0,0),4(1,0,0),网0,0,⑹,B(0,A/3,0),C(-1,AO),

:衣=(-1市,一句,AP=(-l,0,V3),AB=(-1,73,0),(8分)

设平面E43的一个法向量为“=（x,y,z）,

APn=0—x+-y/s'z=0,

则《即《「

ABn=0—x+y]3y—0.

令z=l，得W=(10分)

设直线PC与平面R钻所成的角为0，

,八\PC-n\|-V3+A/3-73|^05

则可f6百=文・

即直线PC与平面R钻所成的角的正弦值为更叵.（12分）

35

19.（12分）国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个

城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上.截至2019年底，这46个重点城

市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%.武汉市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左

右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到

如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区垃圾数量超过28吨/天的确定为“超标”社区：

[12.5,[15.5,[18.5,[21.5,[24.5,[27.5,[30.5,

垃圾量X

15.5)18.5)21.5)24.5)27.5)30.5)33.5]

频数56912864

（1）通过频数分布表估算出这50个社区这一天垃圾量的平均值1（精确到0.1）；

（2）若该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布N（n，W）,其中H近似为（1）

中的样本平均值》,©2近似为样本方差52,经计算得s=5.2.请利用正态分布知识估计这320个社区中“超标”

社区的个数.

(3)通过研究样本原始数据发现，抽取的50个社区中这一天共有8个“超标”社区，市政府决定对这8个“超

标”社区的垃圾来源进行跟踪调查.现计划在这8个“超标”社区中任取5个先进行跟踪调查，设丫为抽到的这

一天的垃圾量至少为30.5吨的社区个数，求¥的分布列与数学期望.

(参考数据：P(H-o<X<n+o)-0.6827；P(g-2o<X<n+2o)-0.9545；P(g-3o<X<n+3a)»0.9974)

【解析】(1)由频数分布表得：

-14x5+17x6+20x9+23x12+26x8+29x6+32x4、…«

x=----------------------------------------------------------------------=22.76«22.8,

50

所以这50个社区这一天垃圾量的平均值为22.8吨；(3分)

(2)由(1)知〃=22.8,­,-5=5.2,<7=5=5.2,

1_n6827

P(X>28)=P(X>〃+b)=——-——=0.15865,

•.•320x0.15865=50.768«51,

所以这320个社区中“超标”社区的个数为51；(7分)

(3)由频数分布表知：8个“超标”社区中这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区有4个，所以F的可能取值

厂厂1c2c33r3r23

为1，2,3,4,且网丫=1)=言=森，p(y=2)=-^A=-,p(y=3)=-^=?)

888

p（y=4）=-^=—

I714

所以F的分布列为:

Y1234

13_3_1

P

147714

1331S

.•.E（y）=lx—+2x-+3x-+4x—=-.（12分）

V,1477142

22

20.(12分)已知椭圆E：二+与=1(。〉6〉0)的左、右焦点分别为F[,F],M为椭圆上一动点，当AM4心

ab

b

的面积最大时，其内切圆半径为椭圆E的左、右顶点分别为A,B,且|AB|=4.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)过村的直线与椭圆相交于点C,。(不与顶点重合)，过右顶点6分别作直线与直线x=T

相交于N,M两点，以MN为直径的圆是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.

【解析】（1）由题意及三角形内切圆的性质可得

▲•2cm=L(2a+2c)S,化简得工=!①

223a2

又|AB|=2〃=4,

所以〃=2，c=lfb=J/—02_^3,

22

所以椭圆E的标准方程为三+乙=1.(4分)

43

(2)由⑴知耳(—1,0),3(2,0),

由题意，直线CD的斜率不为0,

设直线CD的方程为x=my-l,

22

代入椭圆E的方程上+上=1,

43

整理得(3相2+4)/一6加丁—9=0.

设C(xQi),£)(9,%),

9

则%+%=2“'%%=—22,4,②(6分)

3m+43m+4

直线3C:y=」^(x-2).

myx-3

(-6y)

令x=T,得N-4,—工，

Imy1-3)

(-6K)

同理可得M-4,一,(8分)

Imy2-3)

所以以MN为直径的圆的方程为

即X?+8%+16+y2+(—2^1—।----——[y+

0,③

(—3my,-3j(加%-3)0%-3)

由②得：9…

my{-3my2-3(m%-3)(my2-3)

36yly2=_______36%%_________=_9

2

{myx-3)(my2-3)myly2-3m(y}+y2)+9

代入③得圆的方程为%2+8x+7+j2-6my=0.(10分)

y=0

若圆过定点，贝吗

X2+8X+7=0

x=-lx=-7

解得《或<

J=0一y=0

所以以MN为直径的圆恒过两定点（—7,0）,（—1,0）.（12分）

21.(12分)已知函数/(%)=e，-以，h(x)=af(x)+2/(-x)+(2a-4)ex(aeH且。工0,«是自然对数

的底数）.

（i）讨论函数y=/（以）的单调性;

（2）当xNO时，力。）之（。+2）8$工+（0—1）（。-2）工恒成立，求。的取值范围.

【解析】（1）由/（ax）=eG—aex,得/'（依）=。卜”—e）

①若a>0,则当ax>L龙〉工时,/(ax)>0.当依<l,x<:时，/(ax)<0,

a

②若avO,则当时，/(ax)<0,当以尤时，/(ax)>0,

a

所以/（x）在D）上单调递减，在5+°°上单调递增（5分）

7171

——冗TC

(2)当x=1时,=ae2+2e2+(a—2)e-一20+(e—l)(a—2)—

22

TCTC

BPae—2+2e----2-+(a-2)'JL|>0，

(冗、c

—Ji2

即ea>7r-->0,所以a〉0(7分)

令g(x)=/z(x)—(a+2)cosx—(e—I)(a—2)x

=aex+2e~x+(a-2)x-(a+2)cos%,

则g(x)=aex-2e-x+(a-2)+(a+2)sinx,

ae~x-2

=-------l-(«-2)+(tz+2)sinx，(9分)

(i)若a»2,则当xe[0,1]时，g\x)>0,

所以g(E)在。兀]上单调递增；

当xe(1,+8)时，

g(x)=aex-2e~x+(〃-2)+(a+2)sinx

>ci£x—2e*+(a-2)-(a+2)

_2

>ae"-2e4>4a----4>0

4

所以当xe[0,+s)时，g(x)单调递增，

所以g(x)2g(0)=0.(10分)

(ii)若0<a<2,贝iJg'(0)=2(a—2)<0,

g(x)=aex-2e~x+(tz-2)+(a+2)sinx

之ct£x—2e*+(a—2)—(a+2)

=ae'—2e'—4,

由aex—2eTx-4=0得x=In、+"+”>0，

a

▽2+，4+2a)

所以g'In-------->0,

aJ

_„,2+J4+2a

所以e0,ln----------，使得g'(Xo)=°，

a

且当兀€(0,/)时，g'(x)<0,

所以g(x)在XG(0,无0)上单调递减，

所以当xe(O,%o)时