苏教版学高中数学必修五不等式不等关系讲义

学习目标核心素养

1.了解现实世界和日常生活中的一些不等关

系，了解不等式(组)的实际背景.通过实际问题抽象出不等式

2.会用不等式(组)表示不等关系.(重点)(组)，培养数学建模素养.

3.会比较数(或式)的大小.(难点)

自主预习。擢新Ml

NINHUYUXITAZXIZNHI

—新知初探

1.不等关系

在现实生活中，不等关系主要有以下几种类型：

(1)用不等式表示常量与常量之间的不等关系，

如"神舟"十一号飞船的质量大于"嫦娥四号"卫星的质量；

(2)用不等式表示变量与常量之间的不等关系，

如儿童的身高小于或等于1.4m;

(3)用不等式表示函数与函数之间的不等关系，

如当时，销售收入以x)大于成本g(x);

(4)用不等式表示一组变量之间的不等关系，

如购置课桌的费用60x与购置椅子的费用3Oy的和不超过2000元.

2.不等式

(1)不等式的定义

用数学符号"="">""<"">""4"连接两个数或代数式以表示它们之间的丕篓天系，含有这

些不等号的式子叫做不等式.

(2)关于*5和awb的含义

a.不等式*6应读作："a大于或等于“，其含义是>6或a=6,等价于“a不小于"，即若

a>b或a=5中有一^P正确,则*6正确.

b.不等式能。应读作："a小于或等于“，其含义是或a=b,等价于"a不大于b1,即若

a<b或a=b中有一个正确，贝!］84。正确.

(3)不等式中常用符号语言

大于小于大于或等于小于或等于至多至少不少于不多于

><><<>><

3.比较大小

(1)比较实数a,6大小的文字叙述

1如果升6是正数，那么a>b;

2如果等于0,那么a=6;

3如果是负数，那么a<b,反之也成立.

(2)比较实数a,。大小的符号表示

1a—b>O=a>b;

2a—b=gajb;

3a—b〈b=a£b.

思考：试用不等式表示下列关系：

(1)a大于6ab

(2)a小于6ab

(3)a不超过6ab

(4)a不小于6ab

［提示］(1)>(2)<(3)<(4)>

f初试

1.人类能听到的声音频率x不低于80Hz且不高于2000Hz,用不等式表示为.

80Hz<%<2000Hz[”不低于80Hz"即"280Hz";"不高于2000Hz"即"42000

Hz".］

2.某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量/应不高于2.5%,蛋白质的含量「应不少于

2.3%,用不等式组表示上述关系为.

［答案］错误!

合作探究。提素养

HEZUOTANJIUTISUYANG

1/用不等式表示不等关系

【例1】某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，若单价每提高0.1

元，销售量就可能相应减少2000本.若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收

入仍不低于20万元呢？

思路探究：总收入=单价x销售量，总收入一成本=利润.

［解］设提价后杂志社的定价为x元，则销售的总收入为8一错误!x0.2x万元，那么不等关系"销

售的总收入仍不低于20万元"可以表示为不等式8一错误!x0.2x>20.

规律方法

用不等式表示不等关系的注意事项

1利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用，没

有可比性的两个量之间不能用不等式来表示.

2在用不等式表示实际问题时一定要注意单位统一.

提醒：利用不等式表示不等关系时的注意点：

1必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用不等式来表示，没有可比性的两个量之间

不能用不等式来表示.

2在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一.

颂瞩尉1嗾・

1.一个两位数，个位数字为a，十位数字为b，且这个两位数大于50，可用不等关系表示为

10b+a>50[该两位数为10ZJ+a,由题意可知106+a>50.]

\类型2_用_不_等__式_组__表_示_不__等_关__系____

【例2】某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡车和7辆载重为6t的乙型卡车，且有9名驾驶

员，此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天

可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式.

思路探究：

「I卡车数量与驾驶员人数的关系

车队每天运矿石的数基

--►---

变量II关系I一|甲型卡车的数量

-I乙型卡车的薮亶

［解］设每天派出甲型卡车X辆，乙型卡车y辆，

则错误!即错误！

规律方法

用不等式组表示实际问题中的不等关系时，要做到：

1阅读要用心，读懂题意，寻找不等关系的根源，这是解决实际问题的基本的一步.

2对题中关键字、关键句要留心，多加注意.

3要将所有不等关系都表示为不等式.

颔跟编训编■

2.如图所示，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地.仓库的长L大

于宽〃的4倍，写出L与小的关系.

［解］由题意，得错误！

必型实数大小的比较

［探究问题］

1.如果a,6之间的大小关系分别为a>b,a=b,a<b,那么a-b分别与0的关系？反之呢？

住是示］若a>6,则a—b>G,反之也成立；

若a=6,则a—b=0,反之也成立；

若,则a—b<G,反之也成立.

2.若a>b,则错误！〉1吗？反之呢？

［提示］若a>6,当6<0时，错误！<1,即错误！>1;

若错误！>1，则错误!一1>0,即错误！>0,

..a—Z?>0,6>0或a—b<0,b<0,

即错误！>1>/a>6,反之也不成立.

【例3】已知x<1,比较x3—1与2x2—2x的大小.

思路探究：错误!一错误!错误!错误!—错误！

［解］x3—1—(2x2—2x)

=x3-2%2+21

=(x3—x2)—(x2—2x+1)

=>2(—1)—(—1)2

=(x—1)(X2-X+1)

={x—1)错误！，

■.-%<1―1<0,又.错误！2+错误！>0,

二(-1)错误！<0,

“3—1<2/—2x

［母题探究］

1.(变条件)本例条件"x<1"变为"相1",比较短一1与2%2-2x的大小.

［解］X3—1—(2x2—2x)=(汁1)(x2—X+1)={x—1)错误！，

••%>1，二一120,又(一错误！)2+错误！>0,

二(-1)错误！20,

:.x^—l>2x2—2x.

2.(变条件)本例条件"x<1"变为"%>2",比较/与2x的大小.

［解］•.错误！=错误”，又%>2,二错误！>1,

错误！。错误!0=1，二*>28.

规律方法

1.作差法比较两个数大小的步骤及变形方法

(1)作差法比较的步骤：作差一变形一定号一结论.

(2)变形的方法：1因式分解；2配方；3通分；4对数与指数的运算性质；5分母或分子有理化;

⑥分类讨论.

2.作商法比较大小的步骤及适用范围

(1)作商法比较大小的三个步骤：

1作商变形；

2与1比较大小；

3得出结论.

(2)作商法比较大小的适用范围：

1要比较的两个数同号；

2比较"幕、指数、对数、含绝对值"的两个数的大小时，常用作商法.

二课堂小结二

1.比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了.

a—b>Q=a>b;a—b=G=a=b;a—b<b=a<b.

2.作差法比较大小的一般步骤

第一步：作差；

第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将"差"化成"和"或"积"

第三步：定号，就是确定是大于0,等于0,还是小于0(不确定的要分情况讨论)；

最后得结论.

概括为"三步一结论"，这里的"定号"是目的，"变形”是关键.

当堂达标“同双基

DANGTANGDABIAQGUSHUAN

1.判断正误

(1)不等式X>2的含义是指x不小于2.()

(2)某高速公路对行驶的各种车辆的速度，的最大限速为120km/h,行驶过程中，同一车道上

的车间距d不得小于100m.用不等式表示为错误！()

［答案］(1)V(2)V

2.下面列出的不等式中，正确的是（）

A.a不是负数，可表示成a>0

B.x不大于3,