专题06 全等三角形的五种模型（讲+练）（解析版）-2022年中考数学几何模型专项复习与训练

专题06全等三角形的五种模型

全等三角形的模型种类多，其中有关中点的模型与垂直模型在前面的专题己经很详细的讲解，这里就不在

重复。

模型一、截长补短模型

①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。

如图所示，在BF上截取BM=DF,易证△BMC丝△DFC(SAS),则MC=FC=FG,NBCM=/DCF,

可得△MCF为等腰直角三角形，又可证NCFE=45。，NCFG=90。，

ZCFG=ZMCF,FG〃CM,可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF,于是BF=BM+MF=DF+CG.

②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。

如图所示，延长GC至N,使CN=DF,易证ACDFgZ\BCN(SAS),

可得CF=FG=BN,ZDFC=ZBNC=135°,

又知/FGC=45。，可证BN〃FG,于是四边形BFGN为平行四边形，得BF=NG,

所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.

例1.如图，MBC中，回B=20A,EMCB的平分线CD交AB于点D,已知AC=16,BC=9,则B。的长为()

A.6B.7C.8D.9

【答案】B.

【详解】解：如图，在C4上截取CN=CB,连接DN,

•••CZ）平分ZACB,/BCD=ZNCD,

•;CD=CD,:.4CBD^ACND(SAS),:.BD=ND,4B=4CND,CB=CN,

BC=9,AC=16,：.CN=9,AN=AC-CN=7,

ZCND=ZNDA+NA,r.NB=ANDA+ZA,

,:乙B=24A,：.4A=4NDA,：.ND=NA,：.BD=AN=1.故选：B.

【变式训练1】如图，在M8C中，AB=BC,a4BC=60°,线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与

直线AP的交点.

(1)若回DAE=15。，求证：MB。是等腰直角三角形；

(2)连CE,求证：BE=AE+CE.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【详解】证明：（1）团在附8c中，AB=BC,EMBC=60°,EEABC是等边三角形，

QAC=AB=BC,^BAC=^\ABC=^ACB=60",

囱线段AC与AD关于直线AP对称，函C4£=®CWE=15°,AD=AC,

瓯84£=团84：+回6£=乃°,EBBAD=90。，M8=4C=AD,0348。是等腰直角三角形;

（2）在BE上取点F,使8F=CE,连接AF,

P

团线段AC与AD关于直线AP对称，^EACE=BADE,AD=AC,

^AD=AC=AB,WADB=SABD=SACE,

AC=AB

在EW8F与MCE中，ZACE=ZABF,^BABF^RACE(SAS'),SAF=AE,

CE=BF

MD=4B,0SD=EMBD,又EICAE=EIDAE,

0ZAEB=ZD+Z.DAE=1(ZD+NABD+ZDAC)=^(180°-ZBAC)=60°,

El在EWFE中，AF=AE,MEF=60。，EEMFE是等边三角形，SAF=FE,

0BE=8F+FE=CE+AE.

【变式训练2】如图，在12ABe中，0ACB=0ABC=4O°,BD是EIABC的角平分线，延长BD至点E,使得DE=DA,

则回ECA=.

【答案】40。

【详解】解：在BC上截取BF=AB,连接DF,

V0ACB=0ABC=4O",BD是回ABC的角平分线，回A=100。，I3ABD=0DBC=2OO,

A0ADB=6OO,0BDC=12O",

•••BD=BD,/.0ABD00FBD,

DE=DA,；.DF=AD=DE,0BDF=0FDC=0EDC=6O°,0A=(3DFB=1OO°,

VDC=DC,.'.0DECE0DFC,

ZDCB=NDCE=NDFC-NFDC=100°-60°=40°；

故答案为40。.

【变式训练3】已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板

绕A点旋转时，两功分别交直线BC,CD于M,N.

⑴如图1,当M,N分别在边BC,CD上时，求证：BM+DN^MN

⑵如图2,当M,N分别在边BC,CD的延长线上时，请直接写出线段BM,DN,MN之间的数量关系

（3）如图3,直线AN与BC交于P点，MN=10,CN=6,MC=S,求CP的长.

【答案】（1）见解析；（2）BM-DN=MN-.（3）3

【详解】（1）证明：如图，延长到G使BG=£W,连接AG,

团四边形A8CD是正方形，12AB=A£>,ZABG=ZADN=NBAD=9CP,

AB=AD

在AABG与/XADN中，ZABG=ZADN,:.AAGB^AAND(SAS),AG=AN,NGAB=ZDAN,

BG=DN

AMAN=45°,ABAD=90°,SZDAN+ZBAM=NBAD-ZMAN=45°,

/.NGAM=NGAB+ZBAM=ZDAN+ZBAM=45°,/.ZGAM=ZNAM,

.AM=AM

在AAWN与AAMG中，■ZGAM=ZNAM,:4MN/Z^AMG(SAS),.-.MN=GM,

AN=AG

)l^BM+GB=GM,BG=DN,：.BM+DN=MN■.

(2)BM—DN=MN,理由如下:

如图，在8M上取一点G,使得BG=DN,连接AG,

团四边形A8CD是正方形，^AB=AD,ZABG=ZACW=ZBAD=90。，

AB=AD

在AABG与△A£＞N中，＜NABG=ZADN,AAGB^/^AND(SAS),

GB=DN

：.AG^AN,ZGAB=ZDAN,^ZCAB+ZGAD=ZDAN+ZGAD.0ZG4N=ZBAD=9O°,

又AMAN=45°,ZG4M=NGAN-ZM47V=45°=ZMAN,

AM=AM

在AAMN与AAA/G中，＜NGAM=NNAM,:./\AMN^/\AMG(SAS),-,MN=GM,

AN=AG

又®BM-BG=GM,BG=DN,0BM-DN=MN.

故答案为：BM-DN=MN-.

(3)如图，在£W上取一点G,使得QG=8M,连接4G,

回四边形A8CD是正方形，

S1AB=AD=BC=CD,ZABM=ZADG=ZBAD=90P,ABIICD,

'AB=AD

在AA8用与AAOG中，＜NABM=NAZ)G,^ABM^^ADG(SAS),.-.AM=AG,ZMAB=ZGAD,

BM=DG

^ZMAB+ZBAG=ZGAD+ZBAG,回ZM4G=ZBAD=90°,

又ZMAN=45°,乙GAN=NM4G-AMAN=45°=AMAN,

AM=AG

在△4MN与中，\ZMAN=ZGAN,.•.△AAW•AAGN(SAS),.•.MV=GN=10,

AN=AN

设DG=BM=x,mCN=6,MC=8,

⑦DC=DG+GN—CN=x+10—6=x+4,BC=MC—BM=8—x,

田DC=BC,团x+4=8—x,解得：x=2,⑦AB=BC=CD=CN=6,

SABHCD,^ABAP=^CNP,

/APB=/NPC

在AABP与ANCP中，，NBAP=NCNP,:.△ABP^ANCP(AAS),:.CP=BP=-BC=3,

AB=CN

E1CP的长为3.

模型二、平移全等模型

例.如图，在幽8c和回OEF中，8,E,C,F在同一条直线上,A8//DE,AB=。£,财=I3D.(1)求证：^ABC^DEF;

(2)若BF=11,EC=5,求BE的长.

【答案】(1)见解析；(2)BE=3.

【详解】(1)证明：0ABI3DE,00ABC=0DEF,

"ZA=ND

在OABC和回DEF中，AB=DE00ABC00DEF(ASA)；

/ABC=ZDEF

(2)解：函ABCEBDEF,0BC=EF,0BC-EC=EF-EC,即BE=CF,

0BF=11,EC=5,0BF-EC=6.0BE+CF=6.0BE=3.

【变式训练1】如图,AB//CD,AB=CD点E、F在BC上，且BF=CE.

(1)求证：回ABE03DCF(2)求证:AE〃DF.

【答案】(1)见详解；(2)见详解

【详解】证明：(1)04BECD,(3NB=NC，

(38F=C£,0CF+EF=BE+EF,0BE=CF,

酎B=CD,^/\ABE^/\DCF(SAS),

(2)由(1)可得：XABE@XDCF、®ZDFC=ZAEB,

0ZDFC+ZEFD=180°,ZAEF+NAEB=180°,0/F,FD=ZAEF，0AE//DF.

【变式训练2】如图，已知点C是AB的中点，CD^BE,且CD=BE.

(1)求证：0ACD0I3CBE.(2)若NA=87°,NO=32°,求期的度数.

【答案】(1)见解析；(2)61°

【分析】(1)根据SAS证明国ACDEBCBE；

(2)根据三角形内角和定理求得团ACD,再根据三角形全等的性质得到I3B=EIACD.

【详解】(1)配是AB的中点，0AC=CB,0CD//BE,^ZACD=ZCBE,

'AC=CB

在EIACD和EICBE中，<ZACD=ZCBE,®AACZ)=ACBE；

CD=BE

(2)0ZA=87°,ZD=32°，

团ZAC£>=180°-ZA—ZD=180°-87°—32°=61°，

又EIAACDMACBE，0ZB=ZACZ)=6f.

模型三、对称全等模型

*4)

*4)

(1)求证：RtiHABCHRtiaDEF；(2)若EIA=5：L°,求EIBOF的度数.

【答案】(1)见解析；(2)78。

【详解】(1)证明：0AE=DB,0AE+EB=DB+EB,即AB=DE.

又EBC=EIF=90°,AC=DF,回RtSABCElRtEIDEF.

(2)EEC=90°,0A=51",a3ABC=E)C-E]A=90°-51°=39°.

由(1)知RtElABC回RtElDEF,00ABC=0DEF.a3DEF=39°.

a3BOF=0ABC+®BEF=39°+39°=78°.

【变式训练1】如图，EB交AC于M,交FC于D,AB交FC于N,ZE=ZF=90%ZB=ZC,AE=AF,

给出下列结论：①/l=/2；②BE=CF；③△ACNgZXABM；©CD=DN.其中正确的结论有()

【解答】B

【解析】VZE=ZF=909,ZB=ZC,AE=AF,/.AABE^AACF,；.BE=CF,

VZBAE=ZCAF,ZBAE-ZBAC=ZCAF-ZBAC,：.A\=Z2,

.,.△ABE^AACF,/.ZB=ZC,AB=AC,XVZBAC=ZCAB,.,.△ACN^AABM,

④CD=DN不能证明成立，，共有3个结论正确.

【变式训练2】如图，AB=AC,BE_LAC于E,CF_LAB于F,BE,CF交于D,则以下结论：①4ABE丝

△ACF；©ABDF^ACDE；③点D在/BAC的平分线上.正确的是（）

A.①B.②C.①②D.①②③

【解答】D

【解析】：BEJ_AC于E,CFJ_AB于F,/AEB=/AFC=90°,

VAB=AC,ZA=ZA,/.AABE^AACF（第一个正确），，AE=AF,，BF=CE,

TBE_LAC于E,CFJ_AB于F,ZBDF=ZCDE,.,.△BDF0Z\CDE（第二个正确），；.DF=DE,

连接AD,：AE=AF,DE=DF,AD=AD,AAAED^AAFD,

；.NFAD=NEAD,即点D在NBAC的平分线上（第三个正确）.

模型四'旋转全等模型

例.如图,EWBC和MOE中,AB=AC,AD=AE,I2BAC=E]OAE,且点8,D,E在同一条直线上,若13cAE+EMCE+MDE=130。,

则MDE的度数为（）

A.50°B.65°C.70°D.75°

【答案】B

【详解】ABAC=/DAE..ABAC-ADAC=Z.DAE-ADACABAD=ZCAE

AB=AC

AB=AC,AD=AE：.在^BAD和VC4E中，NBA。=ZCAE

AD^AE

•.ABAD名VCAE(SAS)ZABD=ZACE

ZCAE+ZACE+ZADE=130°，ZABD+ZBAD+ZADE=130°

ZADE=ZABD+ABAD：.2ZADE=130°/.ZADE=65°故选：B.

【变式训练1】如图，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转60。得到正方形ABCD，，线段CD,BY交于点E,

若DE=1,则正方形的边长等于.

【答案】2+73

【详解】解：连接47、AE,延长U8咬4C于点F,过点F作GF0DC于G,

由题意得，AD=AB',QD=^AB'E,SB'AB=60°^CAB=^GCB'=45°,02加8'=30°,回CAB'=15°

[AD=AB'

在R7H4DE与RTBAB'E中4广一厂，回R71MDEI3R7TMB£(灰)，

[AE=AE

^DAE=SB/AE=y^DAB'=15°,DE=EB'=1,酿B'AE=E1CA8'

ZB'AE=ZCAB'

在M8'E和ELAB'F中,,EEW8'E0EW8'F(ASA),回EB'=8F=1

/EB'A=NFB，A

回回。£8'=360°-回。-团EB'A-^DAB'=150°,EBGEF=30°

在RT^EGF中，EG=EFxcos0GfF=2x也=Q,DF=EFxsin^GEF=2xg=1

22

在团CGF中，0GCF=45°,SCG=GF=1,WC=DE+EG+GC=2+^

所以正方形的边长为2+6，故答案为2+港

【变式训练1】如图，AC±BC,DC±EC,AC=BC,DC=EC,

求证：（1）AACEMABC。；（2）AE±BD.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【详解】证明：（1）QACJ.BC,DCLEC,:.ZACB=NDCE=90。,

ZACB+ZACD=ADCE+ZACD■ZDCB=ZECA,

AC=BC

在ADCB和AECA中，＜NDCB=NECA,ADCB勺AEC4（5AS）:

CD=CE

（2）如图，设AC交8。于N,AE交BD于O,

\\DCB^\ECA,..NA=N8，-：ZAND=ZBNC,ZB+ZBNC=90°,

ZA+ZAND=90°，:.ZAON=90°,:.AE±BD.

【变式训练2】如图，AB^AC,AE=AD，NC4B=NEW=a.

（1）求证：△AECMAADB；（2）若a=90°,试判断30与CE的数量及位置关系并证明;

（3）若NC4B=NE4O=a,求NCE4的度数.

E

（y

【答案】（1）见详解；（2）BD=CE,BD0CE；（3）900-y

【,详解】（1）03CAB=EIEADa21CAB+l3BAE=GIEAD+!3BAE,00CAE=0BAD,

AB^AC

0AB=AC,AE=AD在EIAEC和E1ADB中＜NC4E=N3AD|3E]AECEEADB(SAS)

AE=AD

(2)CE=BD且CEE1BD,证明如下：将直线CE与AB的交点记为点0,

由(1)可知0AEO33ADB,0CE=BD,回ACE/ABD,

00BOF=0AOC,E)a=90°,00BFO=SCAB=0a=90°,0CE0BD.

(3)过A分另lj做AM回CE,ANI3BD由(1)知回AECEBADB,

团两个三角形面积相等故AM-CE=AN-BD@AM=AN@AF平分I3DFC

1a

由(2)可知团BFC=团BAC=a丽DFC=1800-a团团CFA=一团DFC=90。一一

22

【变式训练3】如图①，在M8C中，购=90°,AB=AC=^2+1,BC=2+五，点、D、E分别在边AB、AC

上，且AD=AE=1,DE=0.现将MDE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为a(0°<«<180°).如图②，

连接CE、BD、CD.

(1)如图②，求证：CE=BD；

(2)利用备用图进行探究，在旋转的过程中CE所在的直线能否垂直平分8D?如果能，请猜想a的度数，

画出图形，并将你的猜想作为条件，给出证明；如果不能，请说明理由；

(3)在旋转的过程中，当她CD的面积最大时，a=(直接写出答案即可)

图①图②备用图

【答案】(1)证明见解析；(2)能，a=90。：(3)“=135。.

【详解】(1)证明：如图2中，根据题意：AB=AC,AD^AE,^CAB=AEAD=90°,

•/ZCAE+ZBAE=ZBAD+ZBAE=90°,/.ZCAE^ZBAD,

AC=AB

在AACE和AABD中，■ZCAE=NBA。，MC£=AABD(SAS),;.CE=BD-.

AE=AD

(2)能，若CE所在直线垂宜平分BD,则CD=8C,

凶8="=应+1,8c=2+0,AD=AE=1,DE=&,

^AC+AD=yf2+\+]=2+yf2,CD=BC=2+-/2,^\AC+AD=CD,即A、C、D在同一条直线上，止匕时a=90。,

如下图，CE的延长线与8D交于F,

与(1)同理可得A4CEWA/1B5S4S),.•.ZACE=NAJ5£),

vZAC£+ZAEC=90°,HZAEC=ZFEB,：.ZABD+^FEB=90°,:.ZEFB=9G°,CF1BD,

•.•BC=C£>,.1CP是线段8。的垂直平分线；

(3)解：AZJCD中，边BC的长是定值，则3C边上的高取最大值时MCD的面积有最大值，

，当点O在线段BC的垂直平分线上时，AB8的面积取得最大值，如图中：

•/AB=AC=>/2+l，AD=AE=\,NC4B=NE4r)=90°,£>GJ_BC于G,

...AG=-BC=^^,ZG4B=45°,

22

DG=AG+AD=^^+\=^^,NZMB=180°—45°=135°,

22

.•.MCD的面积的最大值为：LBCZ)G」(0+2)(叵^)=3圆§,旋转角。二⑶。.

2222

模型五、手拉手全等模型

例.如图，B,C,E三点在一条直线上，AA3C和ADCE均为等边三角形，3。与AC交于点M，AE

与CO交于点N,

（1）求证：AE=BD；（2）若把AQCE绕点。任意旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.

【答案】（1）见解析（2）成立，理由见解析.

【详解】解：（1）证明：如图1中,•.•AABC与ADCE都是等边三角形,

AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE="°,

•/ZACB+ZACD+ZDCE=180,/.ZACD=60°,ZACB+ZACD=ZACD+ZDCE,

BC=AC

即NBCD=ZACE.在ABC。和AACE中，JNBC。=NACE,

CD=CE

:.ABCDvAACE(SAS).：.BD=AE.即AE=BD,

(2)成立AE=BD：理由如下：如图2中，•••△ABC、AOCE均为等边三角形，

BC=AC,CD=CE,NBCA=NDCE=60。,

ZBCA+ZACD=NDCE+ZACD，即ZBCD=ZACE,

AC=BC

•/在MCE和ABCD中，＜/BCD=NACE,/.MCE=ABCD(SAS),;.AE=BD.

CD=CE

【变式训练1】如图，I3OAB和回OCD中，OA=OB,OC=OD,0AOB=0COD=9O°,AC、BD交于点M.⑴如

图1,求证：AC=BD,判断AC与BD的位置关系并说明理由；

(2)如图2,0AOB=EICOD=60。时，团AMD的度数为.

【答案】⑴答案见解析;(2)120；

【详解】(1)NAOB=NCOD=90,ZAOB+ZAOD=ZCOD+ZAOD.

即：ZBOD=ZAOC.

••1OA=OB,OC=OD,易证ABOD^AAOC.

:"OBD=/OAC.AC=BD

0ZAMD=ZABM+ZBAM,ZBAM=ZBAO+ZOAC.

0ZAMD=ZABM+ZBAO+ZOBD=/OBA+ZBAO.

SZAOB=90,.SZOBA+ZBAO=90*.,ZAMD=90\由AC团BD

(2)同理可得.ZAMD=ZOBA+ZBAO.ZAOB=60.NOBA+ZBAO=120°.

.•.NAM£)=120°.故答案为：120°.

【变式训练2】如图，将两块含45。角的大小不同的直角三角板回COD和回AOB如图①摆放，连结AC,BD.（1）

如图①，猜想线段AC与BD存在怎样的数量关系和位置关系，请写出结论并证明；（2）将图①中的回COD

绕点。顺时针旋转一定的角度（如图②），连结AC,BD,其他条件不变，线段AC与BD存在（1）中的关

系吗？请写出结论并说明理由.（3）将图①中的回COD绕点。逆时针旋转一定的角度（如图③），连结AC,

BD,其他条件不变，线段AC与BD存在怎样的关系？请直接写出结论.

【答案】（1）AC=BD,AC0BD,证明见解析；（2）存在，AC=BD,AC0BD,证明见解析；（3）AC=BD,AC0BD

【详解】（1）AC=BD,ACI3BD,证明：延长BD交AC于点E.

03COD和®AOB均为等腰直角三角形，0OC-OD,OA=OB,0COA=I3BOD=9O5,

EBAOCEBBOD(SAS),0AC=BD,00OAC=0OBD,

B0ADE=0BDO,00AED=(3BOD=9O。，0AC0BD；

(2)存在，证明：延长BD交AC于点F,交AO于点G.

aaCOD和mAOB均为等腰直角三角形，0OC=OD,OA=OB,0DOC=BOA=9O?,

00AOC=fflDOC-0DOA,E1BOD=0BOA-EIDOA,

00AOC=0BOD,EI3AOC00BOD(SAS),回AC=BD,0OAC=0OBD,

BI3AGF=0BGO,EEAFG=EIBOG=90。，I3AC[?IBD；

(3)AC=BD,AC0BD.证明：BD交AC于点H,AO于M,

I3EIC0D和EIAOB均为等腰直角三角形，0OC=OD,OA=OB,EIDOC=BOA=90。，

E0AOC=I3DOC+EIDOA,回BOD=I2BOA+EIDOA,

00AOC=I3BOD,00AOC00BOD(SAS),E1AC=BD,0OAC=0OBD,

B0AMH=(aBMO,00AHM=0BOH=9O5,0ACEIBD.

【变式训练3】已知：如图1,在AA8C和AADE中，ZC=ZE,ZCAE=ZDAB,BC=DE.(1)

证明A4BC^AAZ)E.(2)如图2,连接CE和8力，OE，AO与BC分别交于点M和N,NDMB=56。,

求NACE的度数.(3)在(2)的条件下，若CN=EM,请直接写出NCBA的度数.

【答案】(1)证明见解析；(2)MCE=62°；(3)I3C8A=6°.

【详解】解：(1)aaCAE=0DAB,EBCAE+EICAD=0DAB+0CAD,即团CAB=®EAD,

NC=NE

在EIABC和回ADE中，｛ACAB=ZEADEBABC00ADE(AAS),

BC=DE

(2)00ABC00ADE,00CBA=0EDA,AC=AE,

在ISMND和鼬NB中，00EDA+0MND+EIDMB=180",I3CBA+(3ANB+0DAB=180".

X0(3MND=I?IANB,回EIDAB=(3DMB=56°，EBCAE=(3DAB=56°，

0AC=AE,EEACE=0AEC=-(18O°-56°)=62°,E0ACE=62°，

如图所示，连接AM,•••4C4=4ffi4,CN=EM,CA=EA,，VNC4MVME4(SAS),

AM二AN,NE4M=ZCAN,，ZEAM-ZCAM=/CAN-ZCAM即ZEAC=AMAN,

山(2)可得：ZEAC=ZMAN=56°,--ZAW=1(180°-56°)=62°,

2

0CAE=0DAB=56°NCBA=ZANM-ZDAB=62°-56°=6°.

课后训练

1.如图，已知AB=AD，BC=DE,且NC4£>=10。，ZB=ZD=25°,NE45=120°,则NEGF的度

数为()

A.120°B.135°C.115°D.125°

【答案】C

AB^AD

【详解】在aABC和MDE中，ZB=ZD团aABCSMDE(54S)^EBAC=SDAE

BC=DE

WEAB=SBAC+SDAE^CAD=120°^\BAC=^DAE=x(120°-10°)=55°

EB8AF=I38AC+{33D=65°回在附FB中，EWFS=18O0-0B-0B4F=9OO00GFD=9O°

在EIFGD中，®EGF=E)D+E]GFD=：L15°故选：C

4

2.如图，EIABC中，E在BC上，D在BA匕过E作EFI3AB于F,08=01+02,AB=CD,BF=-,则AD的长

3

为.

【详解】在网上取一点兀使得F7=BF,连接ET,在CB上取一点K,使得CK=ET,连接OK.

SEB=ET,^BB=^ETB,^BETB^l+SAET,回8=131+02,SEAE7=回2,

^AE=CD,ET=CK,^BAETWDCK(SAS),

WK=AT,SATE=^DKC,SSETB^DKB,EB8=EIDKB,回。8=DK,^BD=AT,SAD=BT,

888

WT=2BF=-,豳。=一，故答案为：一.

333

3.如图，？A2?C,BD平分/ABC,BC=10,A8=6,则AD=

【答案】4

【详解】解：(1)在8c上截取8E=8A,如图，

08D平分幽8C,SEL4BD=13EBD,

BE=BA

在0A8D和团BED中，＜ZABD=Z.EBD,0a48DEBE8D(SA5),

BD=BD

SiDE=AD,SBED=SA,又皿=2I3C,00e£D=0C+(3EDC=20C,

EEEDC=EIC,回ED=EC,SEC=AD,^\BC^BE+EC=AB+AD,

0BC=10,AB=6,0AD=1O-6=4；故答案为：4.

4.如图，正方形ABCD,将边C。绕点D顺逆时针旋转a((T<a<90。)，得到线段。£,连接AE,CE,过点A

作AfiHCE交线段CE的延长线于点F,连接BF.

(1)当AE=AB时，求a的度数;

(2)求证：MEF=45°；

(3)求证：AE^FB.

【答案】(1)a=30。；(2)证明见解析；(3)证明见解析.

【详解】解：⑴在正方形4BCD中，AB=AD=DC,

由旋转可知，DC=DE,SAE=ABQAE=AD=DE

©MED是等边三角形，WADE=60",00ADC=90°,

圈a=MDC-aADE=90°-60°=30°.

(2)证明：在ISCOE中，DC=DE,a2DCF=0DfC=—~-=90

22

189g

在幽DE中，AD=ED,EL4DE=90°-a,^DAE=WEA=°Z(°Z)=45+«

22

0EMEC=(?IDFC+(?IDEZl=9O--+45+;=135°.EEMEF=45°,

22

(3)证明：过点8作8G〃CF与AF的延长线交于点G,过点B作BH〃GF与CF交于点H,

则四边形8GM是平行四边形，

MFEICE,团平行四边形BGFH是矩形，

E)EWFP=M8C=90°,EMPF=0BPC,EEGAB=BCP,

ZGAB=NHCB

在EW8G和回C8”中，《NBGA=Z.BHC,^EABG^iCBH(AAS),

AB=CB

0BG=BH,团矩形BGFH是正方形，EBHFB=45°,

由(2)可知：SAEF=45°,WFB=SAEF=45°,04E0FB.

5.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,AB=AC,点E是BD上一点，且AE=AD,ZEAD

=ZBAC.

(1)求证：ZABD=ZACD；

(2)若ZACB=65。，求/BDC的度数.

A

D

/\

B"------------C

【答案】（D见解析；（2）50°

【解析】（1）证明：VZBAC=ZEAD,；.NBAC—NEAC=NEAD—NEAC,即NBAE=NCAD,

AB=AC

ZBAE=Z.CAD,AAABE^AACD,.\ZABD=ZACD:

{AE=AD

（2）...NBOC是AABO和△DCO的外角，Z.ZBOC=ZABD+ZBAC,ZBOC=ZACD+ZBDC,

/.ZABD+ZBAC=ZACD+ZBDC,

VZABD=ZACD,；.NBAC=NBDC,

VZACB=659,AB=AC,/.ZABC=ZACB=652,

ZBAC=180s-ZABC-ZACB=1809-659-659=509,NBDC=NBAC=50A

6.如图①，在如18c中，I38AC=9O。，A8=AC,点E在AC上（且不与点A、C重合），在EMBC的外部作自CED,

使I3CED=9O°,DE=CE,连接AD,分别以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD,连接AF.

（1）求证：EF=AE；

（2）将回CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE,请判断线段AF、AE的数量关

系，并证明你的结论.

【答案】（1）见解析；（2）AF=-J2AE.见解析.

【详解】解:（1）如图，•••四边形48FD是平行四边形，••.A8=DF,

AB=AC,.-.AC=DF,

DE=EC，AE=EF；

(2)AF=y/2AE,证明：连接EF,设DF交8C『K,

,四边形A8FD是平行四边形，

•••0D/C£=a4BC=45°,SiEKF=180°-SDKE=135°

,.•!?MD£=1800-l?]fDC=180o-45o=135°,二^EKF=SADE,

•­•&DKC=SC,DK=DC,vDF=AB=AC,；-KF=AD

EK=DK

在回EKF和回EDA中，-ZEKF=ZADE,/.SEKFSSEDA（SAS）

KF=AD

■■EF=EA,^KEF=^\AED,，QFEA=SBED^O°,

•,•财斤是等腰宜角三角形，AF=y/2AE.

7.如图，在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF,交BE

于点D且NACF=NCBE,CG平分NACB交BD于点G,

(1)求证：CF=BG；

(2)延长CG交AB于H,连接AG,过点C作CP〃AG交BE的延长线于点P,求证：PB=CP+CF；

(3)在(2)问的条件下，当NGAC=2NFCH时、若SAAEG=3次，BG=6,求AC的长.

【解答】（1）见解析；（2）见解析；（3）=3—+3

【解析】（D证明，VZACB=90",AC=BC,AZA=45",

♦；CG平分NACB,.,.ZACG=ZBCG=45°,.,.ZA=ZBCG,

在4BCG和ACAF中，

ZA=ZACG

AC=BC

4ACF=/CBE

.,.△BCG^ACAF(ASA),；.CF=BG：

(2)；PC〃AG,；./PCA=/CAG,

VAC=BC,ZACG=ZBCG,CG=CG,

AAACG^ABCG,...NCAG=NCBE,

,.'/PCG=NPCA+ZACG=/CAG+45°=/CBE+45°,ZPGC=ZGCB+ZCBE=ZCBE+450,

/.ZPCG=ZPGC,APC=PG,

VPB=BG+PG,BG=CF,，PB=CF+CP；

(3)如图，过E作EM_LAG,交AG于M,

]

VSAAEG=5AG・EM=3，^,

由(2)得△ACG^^BCG,；.BG=AG=6,

-X6XEM=3A/3,EM=V^,

设NFCH=x°,则NGAC=2x°,/ACF=NEBC=NGAC=2x°,

VZACH=45°,；.2x+