中考数学高频考点突破-反比例函数与几何综合 (一)

中考数学高频考点突破一一反比例函数与几何综合

4

1.如图，直线经过点所A(-3,0),在X轴正半轴上有一点D,且tanNB。。

4Ak

=-»过点。作co垂直于X轴，交直线广§.r+6于c点，反比例函数y=、(x>0)经

过点C

(1)求b和反比例函数的解析式；

(2)将点B向右平移机个单位长度得到点P,当四边形8CPD为菱形时，求出m的值；

(3)点E是x轴上一点，且是等腰三角形，求所有点E的坐标.

2.如图，在平面直角坐标系中，已知“BC中，A5=AC,NBAC=90。已知点A(0,-6)

、C(-3,-7),点8在第三象限内.

(2)将一ABC以每秒2个单位的速度沿y轴向上平移，秒，若存在某一时刻3使在第

二象限内点反C两点的对应点£,C'正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时，

的值以及这个反比例函数的解析式；

(3)在(2)的情况下，问：是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q,使得

以P、。、B：C'四个点为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出符合题意的点

。的坐标；若不存在，请说明理由.

3.(1)下列关于反比例函数y=9的性质，描述正确的有.(填所有描述正确

x

的选项)

A.丁随工的增大而减小

B.图像关于原点中心对称

c.图像关于直线y=x成轴对称

D.把双曲线y=9绕原点逆时针旋转90。可以得到双曲线)，=-2

XX

(2)如图，直线4B、8经过原点且与双曲线y=2分别交于点4、B、C、D.点4、

x

。的横坐标分别为孙〃(m连接AC、CB、BD、DA.

①判断四边形AC8D的形状，弃说明理由；

②若点A的横坐标，〃=3,四边形AC6O的面积为5,求5与〃之间的函数表达式；

③当机、〃满足怎样的数量关系时，四边形AC8O是矩形？并说明理由.

4.定义：与坐标轴不重合的直线交坐标轴于A、B两点(A、B不重合)，若抛物线L

过点A,点B,则称此抛物线为直线的“友谊线”

(1)若抛物线L为直线y=-x+3的“友谊线”，且过点(-1,0),求此抛物线的解析

式；

112

(2)已知直线y=kx+b的“友谊线”为y=--x2+尸+1，且直线与双曲线V=一交于M,

N,求线段的长；

(3)若有直线y=，加+〃，且加+〃=1,对任意的实数m一定存在其“友谊线”为抛物线

L：y=ax2+bx+c,求人的取值范围.

5.如图，将边长为5的菱形ABCP放置于直角坐标系内，顶点B,C在K轴上，反比

例函数y=-：*<0)的图象经过点4-1，。)，并与线段A8交于点ES，g),反比例函数

"勺x>0)的图象经过点。，AO交y轴于点G.点P是y轴正半轴上的一个动点，过点

尸作y轴的垂线，分别交反比例函数图象于点M，N,

试卷第2页，共9页

（1）b=k=

（2）当CM=CN时，求尸点坐标；

（3）在点P运动过程中，直线4。上是否存在点Q,使以4,E,N,。为顶点的四边

形是平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标：若不存在，说明理由.

6.如图所示，正方形AO8C的顶点。在坐标原点处，点A、8分别在¥轴、x轴的正

半轴上，点E是。8边上的动点（不与0、9重合），连接AE,过E作石尸交BC于

点、D,反比例函数），=与的图象过正方形的顶点。（2,2）.

X

（1）求反比例函数y=七的解析式

X

（2）当E点在。8上运动时，设=试求梯形A0BD面积的最小值：

（3）设点G为双曲线y上任意一点，则点G到点M（-2&,-26），N（2&,2a）的

距离的差的绝对值等于一个常数，请直接写出这个常数.

7.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=如与反比例函数丫=工，的图象交于

X

A、P（.・6,2万）两点，点B（右，375）与点。关于直线AP对称，连接AB,作

co〃y轴交直线AP于点C.

（3）连接4。、BC,求四边形ABC。的面积.

8.如图，在平面直角坐标系中，菱形A8CO的顶点。与原点。重合，点B在＞轴的正

半轴上，点A在反比例函数广：仅＞0.x＞0）的图象上，点Z）的坐标为（4.3）.

（1）求反比例函数的关系式；

（2）若将菱形边。。沿x轴正方向平移，当点。落在函数＞=々无＞0/＞0）的图象上时，

X

求线段0。扫过图形的面积.

（3）在x轴上是否存在一点尸使R4+总有最小值，若存在，请求出点P坐标；若不存

9.已知：如图，双曲线y=々2工0）与直线丁=，处（加工0）交于A（后,3）、3两点，将直

x

线A8向下平移〃个单位，平移后的直线与双曲线在第一象限的分支交于点C,点。是x

轴上一动点.

（1）求双曲线和直线的函数表达式；

（2）连接AO,当点C是线段,4。中点时，求〃的值：

（3）若点E是双曲线上任意一点，当VAOE是以4E为斜边的直角三角形，且

NZME=30。时，求点E的坐标.

试卷第4页，共9页

10.如图，在平面直角坐标系中，矩形Q4BC的顶点8的坐标为（4,2）,04、OC分别

落在落在X轴和y轴上，。8是矩形的对角线.将AQAA绕点。逆时针旋转，使点B落

在y轴上,得到Aa把,。。与C8相交于点F,反比例函数y=*>0）的图像经过点F,

交A3于点G.

（1）填空：女的值等于二

（2）连接AG,图中是否存在与ABFG相似的三角形？若存在，请找一个，并进行证明；

若不存在，请说明理由；

（3）在线段04上是否存在这样的点P,使得尸G是等腰三角形.请直接写出0P的

长.

11.如图，一次函数乂=奴+"与反比例函数必=W(用工°)在第一象限的图象交于40，4)，

3(4,〃)两点.

(2)根据图像直接写出为时x的取值范围；

(3)在)，轴上找一点P,使P4+P8的值最小，求出Q4+P8的最小值和点尸的坐标.

12.我们知道求函数图像的交点坐标，可以联立两个函数解析式组成方程组，方程组的

解就是交点的坐标.如：求直线y=2x+3与y=-x+6的交点坐标，我们可以联立两个

解析式得至方程组P'=2"+：,解得所以直线y=2x+3与y=—x+6的交点坐

[y=-x+6[y=5

标为(L5).请利用上述知识解决下列问题：

试卷第6页，共9页

(1)已知直线y=Ax-2和双曲线y=9,

x

①当％=4时，求直线与双曲线y=9的交点坐标；

X

②当攵为何值时，直线与双曲线y=g只有一个交点？

X

(2)已知点4&0)是x轴上的动点，以0,4啦)，以4B为边在右侧作正方形ARCD,

当正方形A8CO的边与反比例函数)，=里的图像有4个交点时，试求〃的取值范围.

X

13.如图，正六边形48coM的对称中心P在反比例函数y=±(k>0,x>0)的图象

x

上，边C。在x轴上，点8在)，轴上，已知CD=4

(1)点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由.

(2)若该反比例函数图象与。E交于点。，求点Q的横坐标；

(3)平移正六边形ABCDEF,使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，

试描述平移过程.

14.如图，直线丁=一工+1与X,丫轴分别交于A、B两点,2(“力)为双曲线y=](x>0)

上的一动点，尸知_14轴与加，交线段AB于尸，PN_Ly轴于N,交线段48于E.

(1)求E、/两点的坐标(用。，匕的式子表示)；

3

(2)当。=:时，求正0F的面积.

4

(3)当户运动且线段PM、PN均与线段48有交点时，探究：BE、EF、母这三条

线段是否能组成一个直角三角形？说明理由.

15.如图1,在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC,ZABC=90°,顶点A在第一象

限，B,C在x轴的正半轴上（C在B的右侧），BC=2,AB=2V3,△ADC与△ABC关

于AC所在的直线对称.

（1）当OB=2时，求NACB度数及点D的坐标；

（2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求0B的长；

（3）如图2,将第（2）题中的四边形ABCD向右平移，记平移后的四边形为AIBCIDI,

过点Di的反比例函数y="（k/））的图象与BA的延长线交于点P.问：

x

①连接PA-AA.,则NAA1P=.。；

②在平移过程中，是否存在这样的匕使得以点P,Ai,D为顶点的三角形是直角三角

形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由.

16.如图，在平面直角坐标系中，一次函数丁=以+人（。工0）的图象与反比例函数y="

X

（女工0）的图象交于A、3两点，与“轴交于点C,过点A作轴于点〃，点0

是线段的中点，AC=4>5，8$/4€7/=亭，点8的坐标为（4,〃）.

（1）求该反比例函数和•次函数的解析式;

试卷第8页，共9页

(2)求“8”的面积；

(3)观察图象，直接写出or+b>'的x取值范围..

X

A

17.若一个圆的圆心P(x,y)落在反比例函数y=一在第一象限的图象上，则称这个

x

圆为“比心圆”.

(1)当比心圆同时与X轴和y轴相切时，求圆心P的坐标和。P半径；

(2)若比心圆以0P为半径，交x轴和y轴分别为点A和点B,判断AOAB的面积是

否为定值？如果是定值请求出，如果不是请说明理由；

(3)若比心圆的半径为1,请直接写出当比心圆与“轴或y轴相交时的圆心P的横坐标

18.(I)已知直线)，="一2和抛物线y=f-2X+3,

①当％=4时，求直线与抛物线的交点坐标；

②当2为何值时，直线与抛物线只有一个交点？

(2)己知点440)是x轴上的动点，以0,4&),以AB为边在A8右侧作正方形A8CO,

当正方形月以力的边与反比例函数)，=里的图像有4个交点时，试求〃的取值范围.

参考答案：

1.(1)力=4,y=—；(2)6；(3)点E坐标为(6，0)或(-折，0)或(6,0)或

X

(?,0).

6

【分析】(1)利用待定系数法求出》=4,进而求出点。的坐标，即可求出点C坐标，最后

用待定系数法求出反比例函数解析式；

(2)利用菱形的性质判断出点P的坐标，即可得出结论；

(3)设E(〃，0),结合C(3,8),O(0,0),得到△COE三条边的长度，利用等腰三角

形的性质列出方程并解答.由于没有指出等腰三角形的底边或腰长，所以需要进行分类讨论.

4

【解析】解：(1)•・•直线经过A(-3,0),

.•・-4+力=0,

4

・••直线的解析式为+

：.B(0,4).

：,OB=4.

•：tanZBDO=—=~,

OD3

VOD=3,

：.D(3,0),

4

把x=3代入产针+4=8,

AC(3,8),

•.•反比例函数y="经过点C,

x

.••2=3x8=24,

24

，反比例函数解析式为)，=一；

x

•・•将点B向右平移m个单位长度得到点P,

答案第10页，共36页

••P（/n,4）.

•・•当四边形BCPD是菱形时，C（3,8）,D（3,0）,

・・・CO_Lx轴，

，点尸和点B关于CO对称，

二点尸的坐标为（6,4）,

=6,4x6=24=2,

••・点P在反比例函数图象上，

・•・反比例函数图象上存在点P,使四边形BCPO为菱形，此时点P的坐标为（6,4）；

（3）设E（〃,0）.

VC（3,8）,

:・OC=M+G=g。七=后=同'CE=7（«-3）2+82r

△COE是等腰三角形，分三种情况：

①OC=OE,则@=|川，

，尸旧或〃=-6.

・•・符合条件的点E坐标为（）万，0）或（・J万，0）;

②OC=CE,则\J13=-3）~+82.

此时〃=6或〃=0（舍去）.

符合条件的点E坐标为（6,0）；

®OE=CE,则同=J（〃_3『+82.

73

此时".

6

符合条件的点E坐标是（片73，0）.

6

73

综上所述，符合条件的点E坐标为（J万，0）或（-J万，0）或（6,0）或（2，0）.

【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质以及对称的性质，

求出点P的坐标是解出本题的关键.

2.（1）（-1,-3）；（2）/=-,y=-一；（3）（-1,4）或（:，-4）或（一?，8）

2x224

【分析】（1）过点8作3E_L），轴于点E,过点C作CF_L），轴于点凡证明AAC尸g/XBAE

得出BE与。上的长度便可求得5点坐标；

（2）先用/表示£和C点的坐标，再根据“8、。正好落在某反比例函数的图象上“得方和C

点的横、纵坐标的积相等，列出，的方程求得，，进而求得反比例函数的解析式；

（3）分两种情况：4'C为平行四边形的边，qC为平行四边形的对角线.分别解答问题.

答案第11页，共36页

【解析】解：(1)如图，过点8作轴于点£,过点。作轴于点尸,

则N4尸。=NAE8=90。，

•・•点A(0,-6)、C(-3,-7),

:・CF=3,AF=\,

:△ABC中，AB=AC,ZSAC=90°,

/.NCAF+NBAE=NCAF+NACF=90。,

:.ZACF=ZBAEt

•・•△AC修△84E(A45),

：.CF=AE=3fAF=BE=\,

OE=OA-AE=6-3=3,

A^=-lx(-3+2力=-3(-7+2/),

g

解得，r=p

：.k=-\x(-3+20=3-9=-6,

，反比例函数的解析式为：y=--；

X

(3)设P5,0),

由(2)知⑶(-1,6),C(-3,2),

①当8c为平行四边形的边时，KJB'C//QP,BC=QP,

:.Q(〃+2,4)或(〃-2,-4),

把。(〃+2,4)代入丁=一9中，得，4(〃+2)=-6,

X

答案第12页，共36页

,7

解得，n=-

:，Q(-I，4)，

把。(止2,-4),代入)，=一2中，得，4(〃-2)=-6,

X

解得，

3

•»Q(-»-4)»

②当8c为对角线时，则8C的中点坐标为(-2,4),

・・・P。的中点坐标为(-2,4),

:.Q(4〃，8),

把。点坐标代入y=-9中，得，B(-〃-4)=-6,

x

13

解得，〃二,

4

3

:.Q8),

4

综上，存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q,使得以P、。、8、C四个点为顶点

333

的四边形是平行四边形.。点坐标为(-9,4)或(・，4)或(-=,8).

224

【点评】本题是反比例函数与几何结合的综合题，主要考查了反比例函数的图象与性质，待

定系数法，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，关键是证明全等三角形和分情况

讨论.

3.(1)BCD-(2)①平行四边形，理由见解析；②S=}-4〃：③加〃=6

【分析】(1)利用反比例函数的性质，找出结论；

(2)①由正、反比例函数的对称性可得出。4=OC=OD,进而可证出四边形ACBO

为平行四边形；

②由小的值可得出点A的坐标，过点A作轴于点E,过点轴于点尸，过

AOACMCFAFE

点C作CMJLx轴于点M,由^=S矩)即+S梯形-S0C-S1sj0A可求出AOAC的面积，再

利用平行四边形的性质，即可求出S与〃之间的函数表达式；

③利用矩形的判定定理可得出：当。4=0C时，四边形AC8。是矩形，由点A,C的坐标结

合04=0。，即可得出川+与=)+当，再结合机>〃>0即可找出当四边形AC8O是矩形时

mn

利，〃之间的关系.

【解析】解：(1)6>0,

答案第13页，共36页

二在同一象限内，y随x的增大而减小，A不符合题意；

.y=9为反比例函数.

x

••・函数的图象关于原点中心对称，函数)，=2的图象关于直线丁=工成轴对称，B,。符

XX

合题意；

设点(。,3为反比例函数y=2上任意一点，

ax

.将该点绕原点逆时针旋转90。得到的点的坐标为("，。)，--x«=-6,

aa

•••把双曲线y=-绕原点逆时针旋转90。可以得到双曲线_y=--,D符合题意.

xx

故答案为：BCD.

(2)①四边形AC8。为平行四边形，理由如下：

・直线A3,8经过原点且与双曲线y=2分别交于点A,B,C,D,双曲线y=2的图

xx

象关于原点中心对称，

•••点A,8关于原点对称，点、C、。关于原点对称，

:.OA=OB,OC=OD,

二•四边形AC8O为平行四边形.

②当加=3时，点A的坐标为(3,2).

过点A作AE_Lx轴于点E,过点C作。7轴于点尸，过点。作CM_Lx轴于点M,如图

所示.

点C的坐标为,

n

OM=n,ME=3-n,CM=—,

n

SMMC=S拒形0MCF+S梯形c-SMJCF-S"ME，

答案第14页，共36页

=6+—x(―+2)x(3-n)—x6—x6,

2n22

四边形AC8D为平行四边形，

/.5=4SA<MC=^-4n.

③当。4=OC时，四边形AC8O是矩形.

丁点A,C的横坐标分别为加，n(m>n>O)t

•・•点A的坐标为(肛色)，点C的坐标为(九3,

mn

又Q>〃>0,

2

/.nrn=36f

：.fnn=6,

・•・当m〃=6时，四边形AC8D是矩形.

【点评】本题考查了反比例函数的性质、正比例函数的性质、平行四边形的判定与性质、矩

形的判定、勾股定理、反比例函数系数2的几何意义以及三角形的面积，解题的关键是：(1)

利用反比例函数的性质，找出结论；(2)①利用正、反比例函数的对称性，找出04=08,

OC=OD；②利用分割图形求面积法，用含〃的代数式表示出AOAC的面积；③利用两点间

的距离公式，找出相，〃之间的关系.

4.(1)y="+2x十3；(2)30；(3)b>l

【分析】(1)求出直线y=-x+3与坐标轴的两个交点，再将所求两个交点(3,0),(0,3)

与已知点(T,0)代入抛物线解析求解即可；

(2)求出y=+gX+]与坐标轴的交点，再由直线与双曲线),=*交于M,N,可知直

线经过第一、三象限，从而确定直线经过(0,1)、(-1,0),求出直线的解析式y=x+L

再联立方程1°,求出M与N点的坐标即可求MN的长；

y=2x

1_m

(3)求出直线y=〃a+(1-w)与坐标轴的两个交点，将两点代入产加+儿+小得到——

nr

[a(1-用)+/w?-〃[2]=o,当帆=i时，y=x与坐标的两个交点重合，不合题意；则可知a

(1-w)+加L//=0,由〃z的存在性可知△=(a+6)2-46»>0,得到

答案第15页，共36页

再由对任意的实数。，直线产的“友谊线”一定存在，则有△=（264）2-4代0,即

可求出b>\.

【解析】解：（1）直线y=r+3与x轴交点为（3,0）,与y轴交点为（0,3）,

•・•抛物线L为直线y=r+3的“友谊线”，

・•・抛物线L经过点（3,0）,（0,3）,

又•・•抛物线又过点（T,0）,

9a+3b+c=0a=-\

，,c=3,解得：<b=2,

a-b+c=01c=3

工抛物线解析式为：丁=-《+2¥+3；

（2）•・•令x=0,则y=l,

y=-g/+；x+[与），轴的交点为（0,1）,

令y=0,则一:Y+4x+l=0,解得：3=2或x=T,

22

・'•y=-g%2+；x+l与x轴的交点为（2,0）、（-1,0）»

2

•・•直线与双曲线丁二一交于M,N,

x

,直线丁=履+6经过第一、三象限，

・•・直线y=kx+b的“友谊线”为y=~x2+gx+1,

・•・直线y="+b经过点（0,1）、（-1,0）,

（b=\[k=\

・•・/八八，解得：工

|-2+匕=0[b=\

，y=x+1,

…P=X+1fx=lfx=-2

联立方程：2,解得：。或「

y=-1y=2（y=-i

x

:,M(1,2),N(-2,-1),

(3)..,直线y=〃Li+〃，且〃?+〃=l,

，y=/nr+(1-w),

令x=0,y=\-m令y=0,x=1一--,

tm

，直线y=，〃x+(l-/n)与x轴的交点为(1,0),与y轴的交点为(0,l-/n),

m

答案第16页，共36页

2

•・•直线丁=松+(IF)的“友谊线''为抛物线L：y=ax+bx+ct

，抛物线经过点(1-，,0).(0.1-m).

m

••a(1-----)2+Z?(I——)+(1-m)=0,

mm

1—m

整理得：一厂[a(1-m)+bin-n^]=0,

m-

..m=1«£a(1-w)+bm~m2=0-

当/n=l时，y=xf此时y=x与坐标轴的两个交点重合，不合题意；

••a(1-m)-{-bm-m2=0BPnv~(。+。)机+a=0,

A>0,即(a+b)2-4a>0,

.•・a2+2aA4a+力川2,

:对任意的实数〃，直线y=mx+〃的“友谊线''一定存在，

・•・△=(264)2-*0,

：.b>\.

【点评】本题考查二次函数与一次函数的综合应用；理解定义，能够将一次函数、二次函数、

反比例函数的图象及性质综合应用是解题的关键.

12204

5.(1)-3,4,16；(2)P(0,6)；(3)存在，N(g,1或(12?)

44

【分析】(1)把点A的坐标代入)，=-上*<0)计算小把点E的坐标代入1y=计

XX

算从利用菱形的性质，得AO=5,AD/7BC,计算点。的坐标，继而确定左值；

(2)设点尸(0,〃?)，分别表示出M,N的坐标，根据CM=CM利月两点间的距离公式列

式计算即可；

(3)存在，利用AE=QV,AE//QN,利用两点间距离公式，直线平行的性质，列式计算即

可.

44

【解析】解：(1)•・•反比例函数)、=一一*<0)的图象经过点点ES,;),

x3

.444

・・a=-----=4,—,

-13b

••a=4,b=-3；

・"(-1,4),

•・•菱形ABC。的边长为5,

：.AD=5,AD〃BC,

：.D(j,4),

々>-(-1)=5,

答案第17页，共36页

••X/）=4,

r.D（4,4）,

AF=4X4=16,

故答案为：b=-3,a=4,Z:=16；

（2）过点。作轴，垂足为点尸，

由（1）可得点。的坐标为（4,4）,且8=5,

:.DF=4,根据勾股定理可得C/=3,

•••点。的坐标是（1,0）

设点P的坐标为（0,m）,

〈MN公轴,

yin),N(L,M，

mm

W3-1

mm

解得：m=6

J点P坐标为（0,6）

（3）存在.理由如下:

4

VA(-1,4),E(-3,-),

:，AE=J(-1-(-3)>+(4-=—

设直线AE的解析式为y=px+q,

_p+q=4

根据题意，得.4»

-3p+q=§

4

p=­

解得3,

q=4

4

・•・直线AE的解析式为y=§x+4,

•・•四边形AEQV是平行四边形,

答案第18页，共36页

：.AE=QN,AE/7QN,

设Q(〃，4).N(n,—),

n

・,八2/62/。、2100

+(__4)=(-)=丁

设直线QN的解析式为y=n+r,

dr+t=4

根据题意，得16，

nr+t=一

16)

-----4

n___

n-d

解得

16d

4A〃----

_____n

n-d

16.16d

••直线QN的解析式为y=7x+吁工,

n-dn-d

：AE//QN,

3-44

E

,.(3-4)2*

n9

・.94/或回4」

n3n3

12

经检验〃=j或"=12都是原方程的根,

,・阳£,,)或(129.

【点评】本题考查了反比例函数的解析式，平行四边形的判定，直线平行的条件，两点间的

距离公式，菱形的性质，分式方程，算术平方根，灵活运用两点间的距离公式，平行线的条

件，算术平方根的定义是解题的关键.

441

6.⑴尸二⑵豆⑶4a

【分析】（D待定系数法求函数解析式;

（2）梯形的下底和高是定值，所以当梯形的上底8。最小时，梯形面积最小，BD=y,结

合正方形的性质证得然后利用相似三角形的性质求得y与x的函数关系式,

答案第19页，共36页

利用二次函数的性质求最值：

（3）设反比例函数上的点然后根据勾股定理计算两点间距离进行计算即可.

【解析】.解：（1）•・•反比例函数y=£的图象过点C（2,2）

，左=2x2=4

k4

・••反比例函数y=2的解析式为y=-

xx

（2）由（1）知，正方形4O8C的边长为2,

贝ij8E=2—x.设8。=），

,：EFA.AE

/.Z4EF=90°

/.ZAEO+ZFEB=90°

YAOBC是正方形，ZAOB=ZOBC=90°

:.NAEO+NOAE=90°

NOAE=/FEB

：.△AOESAEBD

I.旦丝，即久J

BEBD2-xy

此抛物线的顶点是H）,且-g<o,抛物线的开口向下

所以，当时，y随人的增大而增大，当时，y随x的增大而减小

13

当时,X+—

28

答案第20页，共36页

当时,"白

J10

•・2<之

188

・,•当OE=w时，8£）有最小值为三

3lo

,此时梯形面积的最小值为S网s=；x偿+2卜2=巳

，\lo）lo

【点评】本题考查反比例函数和二次函数的性质以及相似三角形的判定和性质，掌握相关性

所定理正确推理计算是解题关键.

7.（1）加=-2,〃=-3,4（75,-26）；（2）乎：（3）60

【分析】（1）把P点的坐标分别代入y=松与丁=巴3即可求得；

X

（2）根据反比例函数和正比例函数的对称性求得4的坐标，即可得出A8〃y轴,"=56,

然后通过证得△C£>PgZ\A8P,得到AB=CO=5G，CP=AP,即可证得四边形A8CO是菱

形，根据勾股定理求得AP,即可求得P&解直角三角形即可求得结论；

（3）由菱形的性质可知S*"BCD=4SACP8,求得aCPB的面积，即可求得四边形ABCZ）

的面积.

【解析】解：⑴•・♦正比例函数尸〃比与反比例函数尸巴0的图象交于4、P（・73,273）

x

答案第21页，共36页

两点，

___n-3

’26=-/加，2y/3=­j^t

解得，m=-2,n=-3；

由题意可知A与P关于原点对称，且P（-G，273）,

・"（G，・26）；

（2）（石，3百）且A（6,-273）,

：.AB//y^h,

・"8=5>/5,

•・・C£）〃y轴，

：.AB//CDt

：・4CDP=4ABP,

•1点B（73,3>/3）与点。关于直线AP对称，

.*.AC±BDfPD=PB,

在4COP和△A8P中，

"CDP=NABP

<PD=PB,

ZCPD=ZAPB

:.△CDP92ABP（ASA）,

:,AB=CD=5g,CP=AP,

又・・・ACJ_8£）,PD=PB,

，四边形ABC。是菱形,

VP（・G，275）,A（73,・2G）,

•••PC=PA=J（6百）2i（2百i2百）2=2715，

PC2715_275

，sinNCOB

~CD56~

⑶•:P（-G，26）,B（75,36），

•*-PB=7（-73->/3）2+（2^-3>/3）2=V15，

【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求函数的解析式,

轴对称的性质，反比例函数与正比例函数的对称性，菱形的判定和性质，三角形面积以及解

直角三角形等，证得四边形是菱形是解题的关键.

答案第22页，共36页

8.(1)y=—(x>0)；(2)20；(3)存在，P点坐标(二,0)

x13

【分析】(1)过过点。作x轴的垂线，垂足为尸，先根据勾股定理求出0。的长，利用菱形

性质得到4。长，得到A点坐标，进而得到反比例函数解析式；

32

(2)将。。沿x轴正方向平移，使得点。落在函数y=—(x>0)的图象。点处，

x

过点D做x轴的垂线，垂足为尸.先根据平移及反比例函数性质求出ZX的坐标，进而根据

平行四边形性质求得面积；

(3)找B(0,5)则关于x轴对称点〃(0,-5),Q4+P8有最小值时，点尸在直线A汗与工轴交

点处，先计算出直线A厅的解析式，再求出P点即可.

【解析】(1)过点。作x轴的垂线，垂足为F,

•・•点。的坐标为(4,3),

OF=4,DF=3OD=5

丁四边形ABC。为菱形，AAD=5

，点A坐标为(4,8),

，攵=母=4x8=32，k=32：

32

/.y=—(x>0)

(2)将。。沿k轴正方向平移，使得点。落在函数y=J(x>0)的图象D点处,

过点D做x轴的垂线，垂足为尸.

,:DF=3,户'=3,

，点Z7的纵坐标为3,

・•・点〃在尸；的图象上

解得：x=—・・・。(§,3)

又；0。扫过图形为平行四边形,

・•・平行四边形面积为20.

答案第23页，共36页

（3）存在.

•・•0B=0D=5tA8（0,5）则关于X轴对称点810,—5）

则点尸在直线A夕与x轴交点处.

设直线A夕的表达式：），=履+力

将点A的坐标（4,8）,点用的坐标（。,-5）代入：

得直线关系式为：y==13x-5.

当y=o时解得”=得

工。点坐标（520,0）

【点评】本题主要考查反比例函数与几何综合，解题关键在于能够求出反例函数解析式.

9.（1）双曲线的表达式为），="，直线A8的解析式为丁=氐；（2）〃=£；（3）点E的

x2

坐标为七（3石,1）或E（-x/3,-3）.

【分析】（1）利用待定系数法将4行,3）分别代入求解即可；

（2）点。在x轴上，设点。（如0）,过点A作4MJ_x轴交X轴于点M,过。作CNJ_x

轴交x轴于点N,借助△AMDsACM）,可表示C点坐标，代入反比例函数解析式求解，

再利用待定系数法即可求得困数解析式；

（3）分点七再第一•象限和第三象限的函数图象上两种情况讨论，借助相似表示点上坐标,

代入反比例函数解析式求解即可.

【解析】解：（1）双曲线＞=々2工0）与直线¥=侬加工。）交于40,3）、8两点，

x

工3=专，解得&=3石，

3=Mm,解得〃?=6,

，双曲线的表达式为），=迈，宜线AB的解析式为），=屈；

x

（2）将直线A8向下平移〃个单位，得直线y=J§x-%

答案第24页，共36页

直线y=与双曲线y=2亘交于点C,

x

过点A作AMLr轴交x轴于点M.过C作CMLx轴交x轴于点N,

•••AM//CN,

:.XAMDsXCND,

•・・。为A。的中点，

.CNDNDC\

即N为MO的中点，CN=；AM,

.+6八、厂,，〃十百3、

・・N（——,0），C（^—,-），

厂33后

将c（噌r5代入），=斗得，5二近五，

X2

解得加=30,

经检验：m=3百是原方程的根，且符合题意，

即。（2得），

将。合石卷）代入y=y/3x一〃得"I=百x2石-〃，

解得〃=不9

答案第25页，共36页

（3）当点£在第一象限时，如下图，

过点4作A”_Lr轴交x轴于点H,过点E作EP_Lx轴交x轴于点P,

・,A（石,3）,

•・OH=6,AH=3,

••VADE是以4E为斜边的直角三角形，且/m£=30°,

•・AD=y/3DE，NADH+ZEDP=90°,

轴，

*.ZADH+ZHAD=90°tNAHD=/EPD=9。。,

\ZEDP=ZHADt

*.AAHDs4DPE,

.AHHDR

*~DP~~PE~~DE~

设点0（〃?，0）,则HD=OD-OH=m—6,

•・E（m+区曲合）

.百加-3_38

解得加=2、与或m=-2>/5（舍去）,

3"?+百

•・七（3衣1）,

当点石在第三象限时，如下图,

同理可证4AHDs2DPE,

.AHHDADh

9~DP~~PE~~DE~'

答案第26页，共36页

**•------=-----广，解得加=2、与(舍去)或〃?=—2百，

3m+，3

:.七(-6,-3),

综上所述，点E的坐标为E(36,1)或E(-逐，-3).

【点评】本题考查反比例函数综合，反比例函数与一次函数综合.涉及的知识点有相似三角

形的性质和判定，含30。角的直角三角形，待定系数法求函数解析式，一次函数的平移等.能

正确构造相似三角形，借助相似表示点的坐标是解题关犍.

10.(1)k=2；(2)存在，AAOBsgFG；(3)4.而或3或竺叵

82

【分析】(1)证明ACO尸SZXAOB,则二二乌与，求得：点尸的坐标为(1,2),即可求解；

ABOA

(2)ACOFS^BFG；&AOBSDBFG\AODESABFG；△CBO^^BFG.证

4824

404--——=-

△OAB^/\BFG：—=BG33,即可求解；

BF3-

(3)分GF=