专题19等腰三角形（测试）（教师版含解析）-2023年中考一轮复习讲练测（浙江专用）

2023耳中考照号总复（~检锦依例（新H专用J

专做19年映三龟形（制铁J

班级:波名，得个，

注意事项：

本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道.答卷前，考生务必用0.5毫米黑

色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.本试卷所选题目为浙江地区中考真题、模拟

试题、阶段性测试题.

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.（2022•浙江杭州•统考二模）如图，在A/BC中，AB=AC,点。为8c上一点，0414B.设/C4D=

38°,则()

A.60°B.62°C.64°D.66°

【答案】C

【分析】先根据等腰三角形的性质得到/庆NC,再由直角三角形两锐角互余得到N8+4JO8=90。，由三角

形外角的性质得到乙4O8NC+NCW,则N8+/C+ZC/lO=90°,据此求解即可.

【详解】解：,.N8MC,

.,.ZS=ZC,

...£U_L/8,

.../4）=90°,

；.NB+N4DB=90°,

;乙4DB=ZC+4cAD,

.,.Zfi+ZC+ZC4£)=90°,

...2N8+38°=90°,

，N8=26°,

.ZZ)8=64°,

故选C.

【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，熟知直角三角

形两锐角互余是解题的关键.

2.(2022•浙江杭州•统考一模)如图，在AABC中，AB>AC,以点4为圆心，NC的长为半径作弧交

于点连接。C;再以点。为圆心，Z)C的长为半径作弧交C8的延长线于点E.若BE=BD,KE=

15°,则()

A.AB=2ACB.BC=BD+DE

C.AD=2BED.CE—AB+AC

【答案】D

【分析】根据等腰三角形的性质逐步求解N4BC=30。,乙4CC=45。/847=90°,再证明BC=2AC,从而

可得结论.

【详解】解：；BE=BD,乙E=15°,

乙E=乙BDE=15°,

乙48c=15°+15°=30°,

由作图可得：DE=DC,

:.乙E=Z.DCE=15°,

乙4DC=300+15°=45°,

由作图可得：AD=AC,

・•・Z.ADC=JLACD=45°,

・•・ABAC=90。，

/.BC=2ACfBC>AB

：.AB<1AC,故选项A不正确;

根据勾股定理ABHBC2—心=WAC,DE^DC^y/AD2+AC2=y/2AC

：.BD=AB-AD=>/3AC-4C=(V3-1)AC,

：.BD+DE=(百一1)AC+V2AC=(V3+V2-1)AC>2AC=BC,

故选项B不正确；

•；BE=BD=(6T)AC,

..2BE=2(^3-1)4C>2(1.5-1)/1C=AC=AD

故选项C不正确：

•••CE=BC+BE=2AC+BD=AC+AD+BD=AC+AB.

故选项D正确：

故选D

【点睛】本题考查的是作一条线段等于已知线段，等腰三角形的性质，含30。的直角三角形的性质，掌握

“30。所对的直角边是斜边的一半”是解本题的关键.

3.(2022•浙江丽水•统考一模)如图，Rt/iABC中，NC=90。，NB=30。，要求用圆规和直尺作图，把它

分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形.其作法错误的是()

【答案】B

【分析】对各项的尺规作图进行分析，再根据等腰三角形的判定逐个分析即可.

【详解】A选项，由作法可知，AD=AC,即A4DC是等腰三角形，不满足题意;

B选项，在AADC中，•；4C=90。，ZF=30°

.'.AC=-AB

2

又由作法可知，CD=BD=^BC

在Rt/MBC中，AB>BC

.-.AOCD,即△4DC不是等腰三角形

：.AD>CD,即AD>BD,即△4QB不是等腰三角形，满足题意；

C选项，由作法可知，AD=BD,即AACB是等腰三角形，不满足题意；

D选项，由作法可知，ABAD=ADAC=^BAC=|•(90°-ZB)=30°,

：.Z.BAD=4B=30。，BPA408是等腰三角形，不满足题意；

故选：B.

【点睛】本题考查尺规作图和等腰三角形的判定.熟知尺规作图是本题解题的关键.

4.(2021•浙江宁波•校考三模)如图，NABC是一个锐角，以点4为圆心，适当长度为半径画弧，交射线

BC于点。，E,若44BC=35°,NB4D=30°,则/DAE的度数是()

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】B

【分析】先根据三角形的外角性质可得乙4CE=65。，再根据等腰三角形的性质可得乙4EC=^ADE=

65。，然后根据三角形的内角和定理即可得.

【详解】解：/-ABC=35°,/.BAD=30°,

•••/ADE=Z.ABC+/.BAD=65°,

由作图可知，AD=AE,

AAAED=Z.ADE=65°,

/.DAE=180°-Z.AED-AADE=50°,

故选:B.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题

关键.

5.（2022•浙江金华•校联考模拟预测）性质"等腰三角形的三线合一"，其中所指的"线"之一是（）

A.等腰三角形底角的平分线B.等腰三角形腰上的高

C.等腰三角形腰上的中线D.等腰三角形顶角的平分钱

【答案】D

【分析】根据在等腰三角形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合对各选项进

行判断即可.

【详解】解：等腰三角形中三线合一，即在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三

条线互相重合.

故选D.

【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质.解题的关键在于熟练掌握三线合一中的三线分别指顶角

的角平分线，底边的中线，底边的高线.

6.（2022•浙江金华•校考一模）如图，在等边三角形/8C中，48=8,点P是8c边上的动点，点P关于直

线48、ZC的对称点分别为M、N,作垂足为。，作NE1BC,垂足为E,则。E的长为（）

A.10B.8V3C.11D.12

【答案】D

【分析】连接用尸，NP,交AB,4c于点J,K,利用对称性可得MJ=PJ,PK=KN,MPLAB,PN1

AC,再根据等边三角形的性质得448。=乙4cB=60。，再由直角三角形的性质和勾股定理可得结论

【详解】连接MP，NP,交4B,4c于点J,K

A

•.•点P关于直线/8、4C的对称点分别为V、N,

：.MJ=PJ,PK=KN,MPLAB,PN1AC

•.A4BC是等边三角形

：.£ABC=乙ACB=60°

"MPD=乙NPE=30°

设BP=x,贝iJCP=8-x

在RtABP/中，"MPD=30°

叫=京

由勾股定理可得，JP=yjBP2-BJ2=小

：.MP=2JP=V3x

：.MD=­x

2

.'.DP=7Mp2-MD?=-X

2

同理可得，PE=|(8-x)

.'.DE=DP+PE=jx+j(8-x)=12

故选：D

【点睛】本题主要考查了对称的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三

角形是解答本题的关键.

7.(2022•二模)如图，已知心A48C,AC=BC=2,将△/8C绕点/沿逆时针方向旋转后得到△/£)£；直

线8。、CE相交于点尸，连接ZF,则下列结论中：@AB=2V2；②4ABD"ACE；③/BFC=45。；

④F为8。的中点，其中正确的有（）

A.①②③B.①②④C.①②③④D.②③④

【答案】C

【分析】①根据△4BC为等腰直角三角形，直接求出的长度即可；②由旋转性质证明MCE即

可判断：③由△力可得NO8/=NEC4NFGB=ZCG4,进而N8尸C=N8/C=45°即可判断:

④证明为等腰三角形即可判断.

【详解】①由旋转性质可知，AC=BC=AE=DE=2,

■：/-ACB=90°,

：.AB=AD=y/AC2+BC2=V22+22=2\f2,故①正确;

②...变=丝=延=鱼，R4E=4CAB=45°,

ACAF2

"DAE+NEAB=4CAB+4EAB,Z.DAB=/.EAC,

:4ABDiACE,故②正确；

③设48、CE交于点G,如图所示：

•:"BDs^ACE,

"DBA=iECA,

又.2FGB=tCGA,

：2BFC=NB4c=45°,故③正确;

④,"FC=N8/C=45。，

..A,C、B、尸四点共圆,

••・四边形/C8F为圆内接四边形，

用+/8。=180°,

：ABCA=90°,

.""=90。，

：.AFA.BD,

AB=ADi

.•.A/8D为等腰三角形，

.XF为80上中线，即尸为8。中点，故④正确；

综上分析可知，①②③④都正确，故C正确.

故选：C.

【点睛】本题考查了等腰三角形判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆的相关知识，证明△/瓦），△

4CE是解题的关键.

8.（2022•浙江舟山•校联考三模）如图，4ABC、△DBE和△FGC均为正三角形，以点D,E,F,G在4

ABC的各边上，DE和FG相交于点H,若S四边形即诋=SAHGE，BC=a,BD=b,CF=c,则a,b,c满足

的关系式为（）

A.a+c=2bB.b2+c2=a2C.\[b+Vc=y[aD.a=2y[bc

【答案】B

【分析】分别用含a,b,c的代数式表不5四边形ADHF与SAHGE，根据S四边形的诋=SAHGE得到关于a，b,c关

系式，化简整理关系式即可.

【详解】解：v乙EDB=44=60°,

•••DEWAF,

同理：FGWAB,

四边形ADHF为平行四边形，

•.•在△HGE中4HGE=乙HEG=60°,

△HGE为等边三角形，

GE=b+c—a,AD=a—b,AF=a—c,

-SBADHF=AF-AD-sin60°=y(a-c)(a-Z>)

聒

SAHGE=Rb+c-a)2

•••y(a-c)(a-h)=y(b+c-a)2,化简可得：b2+c2=a2,

故选：B.

【点睛】本题综合考查了平行四边形及等边三角形的判定与性质，关键是要会用含a，b,c的代数式分别

表示平行四边形和等边三角形的面积，找到关系式，化简整理得出结论.

9.(2021•浙江湖州•模拟预测)如图，已知在等腰中，44c8=90。，为8C边的中线，过点C

作CE_L/。于点£,交月8于点?若/C=2,则线段族的长为()

【答案】B

【分析】过点8作8//L8C,交5的延长线于〃，由勾股定理可求力。的长，由面积法可求CE,由“AAS"

可证△NCD^ACB，，可得CD=BH=1,AD=CH=®通过证明△NCF-可得处=空=工，可求

ACFC2

C户的长，即可求解.

【详解】解：如图，过点、B作BHLBC,交C尸的延长线于“，

,.工。为8c边的中线，4C=BC=2,

1.CD=BD=\,

：.AD=>JAC2+CD2=V4^Hl=V5,

x

•SUCD=IACxCD=gxADxCE,

.E_1X2_2隗

•d言一"T'

,ZDC+NBCH=90\NBCH+4H=90°,

.二乙4DC=NH,

在“CQ和△C8〃中，

(Z.ADC=乙H

l^ACD=乙CBH=90°,

(AC=BC

：QACD2CBH(AAS),

：.CD=BH=1,AD=CH=y[5,

'：AC±BC,BHLBC,

S.ACWBH,

.QACFsABHF,

,BH_FH_1

''AC~FC~2f

,2V5_2^54-75

故选：B.

【点睛】本题考查了相似三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性

质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.

10.（2022•浙江宁波•统考二模）如图，等边△/BC和等边△DEE的边长相等，点/、。分别在边EF,BC

上，4B与DF交于G,4c与DE交于H.要求出ZU8C的面积，只需己知（）

K--------4--------,E

GX”

A.△BOG与△CD”的面积之和B.ZiBOG与△NGF的面积之和

C.△8OG与△CDH的周长之和D.ABOG与A/G尸的周长之和

【答案】C

【分析】根据题意只要求出等边三角形的边长即可求解，设8G=a,BD=b,DG=c,CD=d,DH=e,CH=f,

等边三角形边长为x,证明同理可得△AHEsACHC,根据相似三角形三角形的性质即可

求解.

【详解】设3G=a,BD=b,DG=c,CD=d,DH=e,CH=f,等边三角形边长为x,

则FG=x-c,AG=x-a,

•••NF=/B=60°,/AGF=乙BGD

.MAFGs^DBG,

.'.ax—ar-ex-c

.*.(a—c)x=(Q+C)(Q—c),

..x=Q+c或Q=c,

同理△AHEDHC,可得％=e+f或e=f,

①当a=c时，△8Z）G是等边三角形，同理AZ）C〃为等边三角形,

此时和ADC”的周长之和为a+b+c+d+e+f=3x,

②当x=a+c时，

.'.FG=a=BG,AG=c=GD,

又一:Z.AGF=乙DGB,

:©BDG2E4G,

则"=b,AE=d,

m.^AHE^hDHC,

贝lja+b+c+d+e+f=x+x+b+d=x+x+x=3x.

综上所述，只需已知△8Z)G与的周长之和，即可求出A/BC的边长，也可求出等边三角形A/BC面

积.

故选：C.

BbDdC

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，证明△/FG，AZ»8G,AAHES&DHC

得出比例式是解题的关键.

二、填空题

11.（2019•浙江•校考一模）A4BC中，AB=AC,4B的垂直平分线与4c所在的直线相交所得的锐角为

50°,底角4B的度数为.

【答案】70。或20。

【分析】当△4BC为锐角三角形时，设的垂直平分线交线段ZC于点交4B于点E,先求得N4,再

由三角形内角和定理可求得ZB；同理，当△ABC为钝角三角形时，可求得的度数，再利用等腰三角

形和三角形外角的性质可知/B=^ZD4B,由此可解.

【详解】解：分两种情况：

当△ABC为锐角三角形时，

如图1,设48的垂直平分线交线段4c于点。，交AB于点E,

A

：Z.ADE=50°,DELABf

.,.ZJ1=90°-50°=40°,

：AB=AC,

"8=乙4cB=1（180°-乙4）=70。；

当△48C为钝角三角形时，

如图2,设4B的垂直平分线交线段AC于点。，交48于点E,

：^ADE=50°,DELAB,

：./LDAB=90。-50°=40。,

\'AB=AC,

.,.Z.B—zC,

,ZB4-ZC=Z.DAB,

：./.B=-Z.DAB=20°；

2

综上可知48的度数为70。或20。，

故答案为：70。或20。.

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理，以及三角形外角的性质，注意分类讨论是

解题的关键，否则就会漏解.

12.（2013•浙江宁波•统考一模）如图，等边△4BC的边长为3,点P为BC边上一点，且8P=1,点。为4c边

上一点.若乙4PC=60。，贝IJC。的长为.

【答案】|

【分析】根据等边三角形性质求出A8=BC=4C=3,ZB=ZC=6O°,推出484P=NOPC,证△84P~ACPD,

得出招=言，代入求出即可.

【详解】解：如图，

是等边二角形，

.t.AB=BC=AC=3fzF=zC=60°,

.*.z^P+Zy4P5=180°-60o=120°,

•・・ZJ4PD=6O。，

・••乙APB+4DPC=1800・60°=120。，

乙BAP=^DPC,

又上B=Z~C,

「ABAP~ACPD,

.ABBP

CPCD

・.・AB=BC=3,BP=1,

.\CP=BC-BP=3-1=2,

-3=J_

"'2CD"

解得：CD=l，

故答案为：

【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，解题关

键是推出A84P〜ACPD,主要考查了学生的推理能力和计算能力.

13.（2010•浙江•统考中考模拟）如图，等边A/BC的边长为1cm,D、E分别是/8、/C上的点，将A/OE

沿直线OE折叠，点4落在点尸处，且点尸在△NBC外部，则阴影部分图形的周长为cm.

【答案】3

【分析】由题意得AE=FE,故阴影部分的周长可以转化为A”C的周长.

【详解】将△/OE沿直线。E折叠，点Z落在点尸处，

：.AD=FD,AE=FE.

,等边A48C的边长为1cm,

.AB=BC-AC=lzm,

，则阴影部分图形的周长为：BC+BD+CE+FD+FE=BC+BD+CE+AD+AE=BC+AB+AC=3（cm）.

故答案为：3.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及折叠的问题，折叠问题的实质是"轴对称"，解题的关键是找出

经轴对称变换所得的等量关系.

14.（2022•浙江衢州•模拟预测）如图,在团4BCD中，Z.ABC=150°.利用尺规在BC、B4上分别截取BE、

BF,使BE=BF；分别以E、F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在/CB4内交于点G；作射线BG交

DC于点H.若AD=V3+1,则8H的长为

D㈤C

G

【答案】V2

【分析】如图所示，过点〃作4M_L8C于由作图方法可知，BH平分乙4BC,即可证明NC8〃=N

CHB,得到CH=BC=百+1,从而求出MW,CM的长，进而求出8M的长，即可利用勾股定理求出84

的长.

【详解】解：如图所示，过点〃作“M_L8C于

由作图方法可知，BH平分NABC,

；.ZABH=/CBH,

•.,四边形ABCD是平行四边形，

：.BC=AD=y[3+l,AB\\CD,

：ZCHB=ZABH,NC=18CTZ8C=30。，

"CBH=ZCHB,

.'.CH=BC=V3+1,

.\HM=-2C2H=—,

.'.CM=7cH2-CM2==,

2

：.BM=BC-CM=—,

2

：.BH=7HM2+BM?=V2,

【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾

股定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确求出S的长是解题的关键.

15.（2022•浙江丽水•统考一模）如图，在等腰三角形4BC中，AB=AC2,^BAC=120°,M为4B的中

点，P为BC上任意一点，则《=2时+。4的范围是.

【答案】V3<t<V7+2

【分析】分别求出PA/+RI的最大值和最小值即可.

作点M关于8C的对称点N,垂足为E,连接4N交BC于点P,则此时t=PM+P4最小，作4F_LMN于点F,

4D1BC于点。，可得出四边形NFEZ）为矩形，再根据等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三

角形，即可求得/N的值；

当点P与点C重合时，t=CM+CA最大，作MOLC4于点D,根据三角形外角的性质及勾股定理即可得出

的值，从而得出CM+CN的值，即为所求.

【详解】解：如图（1）,作点M关于BC的对称点N,垂足为E,连接4V交BC于点P,则此时t=PM+P4

最小，且t=4N,作4FJ.MN于点F,4。_LBC于点。

图⑴

四边形ZFEO为矩形

：AB=AC=2,/.BAC=120°,

：.AM=BM=1,4B=30°

.'.AD=1,ME=NE=BE=DE=—

22

：.EF=AD=1,AF=DE=—,

2

3

NF=EF+EN=-

.'.t=AN=yjNF2+AF2=V3

如图（2）当点P与点C重合时，t=CM+C4最大

作MD1。4于点。，

vZ.BAC=120°

•••/.AMD=Z.BAC-Z.MDA=30°

MD=9AD=j

.'.MC=V7,

.'.t=y/7+2,

<t<V7+2

故答案为：V3<t<V7+2.

【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用、等腰三角形的性质、三角形外角性质、，正确作出辅助线是解

答本题的关键.

16.（2022•浙江温州・温州市第三中学校考模拟预测）图1是一辆卸货车实物图，折线4BC是支架，BD为可

伸缩的液压支撑杆，测得BC=g,CD=V2,DE=3,/.ABC=^CDE=135°,^EFG=90°,图2是

卸货车不工作时的侧面示意图，此时4B与尸G在同一直线上，C0I4B,且NOEF=135。，则

BF=,图3是卸货车工作时的侧面示意图，折线CDE可绕点C上下旋转，且NCDE始终保持不

变，EF始终保持与地面垂直，当BDJ.DE时，FG与4B的距离为.

【分析】(1)过点E作EM,过点。作OMJLEM,垂足为M,并延长至4B的延长线，交于点P,过点C作

CN148延长线与点N,由尸8=FP+NP-NB即可求得结果：

(2)过点C作CH1BD于H,连接BE,GE,过点F作尸F'14B于点F',延长4B,过点C作CM14M于点

M,延长ED,过点C作C71E/于点/,过点C作CNJ.E9于点M计算出点E到AB的距离，在减去EF的长

度即可求解.

【详解】解：①如图所示，

过点E作EM,过点。作DM1EM,垂足为M,并延长至4B的延长线，交于点P,过点C作CNJ.48延长线

与点N,

VzFFG=90°,/.DEF=135°,

"DEM=135°-90°=45°,

"：DE=3,

...在RtADEM中，EM=DM=B|JFP=EM=—,

22

"：CN1PN,DPLNP,且CD=&,

：.FN=NP+FP=^2+—=­,

22

*：UBC=乙CDE=135°,

.".ACBN=180°-135°=45°,S.BC=V10,

:.CN=BN=衣,

,:FB=FP+NP—NB,

:.FB=亚-炳

22

故答案为：吟虫.

②由上述的计算可知，EF=CN-EM=遍-手=*产，

过点C作CHJ.BD于H,连接BE,GE,过点尸作产F'，48于点P,延长4B,过点C作CM1AM于点加，延

长ED,过点C作C/_LE/于点/,过点。作CNJLEF'于点N,如图所示：

'：/.ABC=UDE=135°,BD1DE,

J.Z.CDH=135°-90°=45°,ACDI=180°-135°=45°,

VCD=V2,BC=VlO,

...在RtACD",RtABC/7,RtACD/中，

DH=CH=DI=CI=1,

BH=y/BC2-CH2=J(VlO)2-1=3,

：.EI=DE+DI=3+1=4,BD=BH+HD=3+1=4,

在RtABDE中，DE=3,BD=4,

：.BE=y/BD2+DE2=V42+32=5,

在Rt△阳中，CE=V42+l2=V17,

,：/.ABC=135°,

:.乙CBM=45°,

VzCMB=90°,BC=710,

...在RtACBM中，CM=BM=V5,

VzCMfi=乙CNF'=乙NF'M=90°,

二四边形CMF，N为矩形，

ACM=NF'=V5,MF'=CN,

设BF'=y,EF'=x,则EN=x-V^,MF'=CN=y+V5,

•在RtABF'E和Rt^CNE中，

CE2=CN2+EN2,BE2=BF'2+EF'2,

（x2+y2=52

㈣2+G+佝2=（旧）2，

解得：%2=-雷（舍去），

:.FF'=EF'-EF=巫+空

5252

故答案为：第+券.

【点睛】本题主要考查的是直角三角形的勾股定理与实际的运用，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的

性质，作出辅助线，熟练掌握勾股定理，是解题的关键.

三、解答题（共0分）

17.（2019•浙江♦校考一模）如图，^ABC中，①AB=AC,②NBAD=NCAD,③BD=CD,④AD_L

BC.请你选择其中的两个作为条件，另两个作为结论，证明等腰三角形的“三线合一小性质定理.

【答案】见解析.

【分析】以AABC中，①AB=AC,②/BAD=NCAD做为条件，可求出③BD=CD,④AD_LBC做为结论，从

而证明了三线合一.

【详解】已知：①AB=AC,②NBAD=NCAD.

求证：③BD=CD,④AD_LBC.

证明：在4ABD与4ACD中，

（AB=AC

VZBAD=ZCAD

（AD=AD

.,.△ABD^AACD(SAS).

，BD=CD,AD1BC.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质等知识点，关键是求出全等，三线合一

的结论可证.

18.（2020•浙江嘉兴•统考二模）如图，点C,E,F,B在同一直线上，点4。在8C异侧，AB//CD,AE

=DF,ZA^ZD.

（1）求证：BE=CF.

（2）若4B=CF,ZB=40°,求的度数.

【答案】（1）证明见解析；（2）70。

【分析】（1）由平行线的性质得出NB=NC,结合已知条件，依据力ZS即可证明AABE三△OCF；

（2）由（1）得：4C=NB=40。，△ABE三△DCF,由全等三角形的性质得出力B=CD,证出CD=CP,由等

腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果.

【详解】（1）证明：

：.ZB=ZC,

:在△48E和AOCF中，

Z.A=乙D

Z.B=乙C

VAE=DF

•••△ABEgADCF(44S),

:・BE=CF；

(2)解：由(1)得：ZC=Z5=40°,AABE之/\DCF,

：.AB=CD,

又•：AB=CF,

:・CD=CF,

:.ND=4CFD==(180°-40°)=70。.

2

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的等边对等角的性质以及三角

形内角和定理；利用全等的性质求证线段相等是一种常见思路，利用三角形内角和求角度也是常见思路,

关键是将已知条件转化到目标三角形中.

19.（2022•浙江丽水•一模）如图，在5x5的正方形网格中，线段4B的端点落在格点上，请按要求作图

（所作图形顶点为格点，每小题作出一个即可）.

图1：以AB为腰的等腰三角形图2：以48为边的平行四边形图3：以为对角线的平行四边形

【答案】见解析

【分析】根据等腰三角形和平行四边形的判定结合网格特点作图即可.

【详解】解：如图1,AABC是以4B为腰的等腰三角形；如图2,四边形488是以48为边的平行四边

形；如图3,四边形4C8O是以4B为对角线的平行四边形.

【点睛】本题考查了作等腰三角形，作平行四边形，熟练掌握网格特点是解题的关键.

20.（2022•浙江杭州•统考一模）在①4D=4E,②NB4E=NC4。这两个条件中选择其中一个，补充在下

面的问题中，请完成问题的解答.

问题：如图，△ABC中，点。，E在边8c上（不与点3,C重合）连结月。，AE.若,

求证：BD=CE.

【答案】①或②

【分析】选择条件①，可得到乙4CE=41ED,根据等角的补角相等可推出乙4DB=41EC,再利用力8=

AC得到4B=乙C,则可根据“Z4sM可判断△ABDSAACE,从而得到BZ）=CE；

选择条件②，可得至lj48Ao=4C71E,利用48=AC得至1此8=NC,贝丁可根据7ST可判断△4BD三4

ACE,从而得到BD=CE.

【详解】证明：选择条件①的证明为：

"：AD=AE,

Z.ADE=Z-AED,

：.2LADB=Z.AEC,

又TAB=4C,

:,乙B=zC»

在△ABD和△ACE中，

乙B=CC

Z.ADB=Z.AECt

,AB=AC

LABD三(A4S),

：.BD=CE；

选择条件②的证明为：

■:乙BAE=4CAD,

"BAD=Z.CAE,

又・・・/8=4C,

:•乙B=乙C,

在△4BD和△4CE中，

48=Z.C

AB=AC,

Z-BAD=Z-CAE

AABD三CASA)

：.BD=CE.

故答案为：①或②

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角

相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.本题也考查了等腰三角形的性质、

等角的补角相等的知识.

21.(2022•浙江杭州•统考二模)如图1所示的晾衣架，支架的基本图形是菱形.如图2,晾衣架伸缩时，

点E在射线OP上滑动，菱形的形状也随之发生变化.已知每个菱形的边长均等于20cm,且DF=FE=

AN=20cm.

⑴求证：相邻两根晾衣架之间的水平距离(4B、BC)相等;

(2)当晾衣架沿着DC方向平移时，4CFG的度数逐渐减小.若4CFG从120。逐渐减小到60。时，求点E在射线

OP上移动的距离.

【答案】(1)见解析

(2)(2073-20)cm

【分析】(1)如图所示，连接4C,NH,只需要证明四边形是平行四边形，得到.4B=NH,

同理可证四边形8C77N是平行四边形，得至UBC=NH,即可证明结论；

(2)分别求出当NCFG=120。时，当NCFG=60。时的长，即可得到答案.

(1)解：如图所示，连接/C,NH,•.•四边形8MW7是菱形，二ANII8H,又；AN=BH,：.四边形ANHB

是平行四边形，：.AB=NH,同理可证四边形BC7W是平行四边形，:.BC=NH,：.AB=BC；

(2)解：如图1所示，当/CFG=120。时，过点尸作尸t于。，AZ£>FE=120°,,:DF=EF,:.DE=

图1

2QE,NEFQ=60°,：.QE=EF-sin^EFQ=10V3cm；：.DE=20V3cm；

如图2所示，当NC尸G=60。时，同理可求得OE=20cm,.•.点E在射线0P上移动的距离为

（20V3-20）cm.

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质与判定，解宜角三角形，等腰三角形的性质，正

确作出辅助线是解题的关键.

22.（2020・浙江•模拟预测）如图1,△4BC和△COE均为等腰三角形，AC=BC,CD=CE,AC>CD,

AACB=Z.DCE=a,且点N、D、E在同一直线上，连结BE

cC

巾;CN

ABAB

图1图2图3

⑴求证：AD=BE.

（2）如图2,若a=90。，CM_L4E于M.若CM=7,BE=IC1,试求4B的长.

（3）如图3,若a=120。，。用149于闻，BNA.AE于N,EN=a,CM=b,直接写出力E的值（用a,b的代

数式表示）.

【答案】（1）见解析

（2）AB=26

（3ME=2a+2例

【分析】（1）根据"SAS"证明AACD三ABCE,即可得出AD=BE；

（2）设4E交BC于点”，由全等三角形的性质得出NC4C=“BE,AD=BE=10,证出乙4E8=

乙4cH=90。，ACDE是等腰直角三角形，得出CM=DM=04E=7,得出DE=2CM=14,求出AE=

24,由勾股定理即可得出答案；

（3）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出“DM="EM=30。，4cMz）=90。，DM=EM.由

全等三角形的性质得/BEC=4ADC=150。，AD=BE,然后由30。角的性质和勾股定理求出DE和BE,即

可得出答案.

【详解】（1）证明：・・,乙4c8=4DCE,

"AC