高等数学（第三版）课件：导数的应用

导数的应用第一节微分中值定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理定理1

设函数f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,(3)f(a)=f(b),注意：罗尔中值定理的条件有三个，如果缺少其中任何一个条件，定理将不成立.一、罗尔中值定理罗尔中值定理几何意义：

若曲线弧在[a,b]上为连续弧段，在(a,b)内曲线弧上每点都有不平行于y轴的切线，且曲线弧段在两个端点处的纵坐标相同，那么曲线弧段上至少有一点，过该点的切线必定平行于x轴.定理2

设函数f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；则至少存在一点

分析与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数使在[a,b]上满足罗尔定理条件，且由能导出则问题可解决.二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理的几何意义：

如果在[a,b]上的连续曲线，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，那么在曲线弧上至少有一点使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线.弦线的方程为作辅助函数即可.的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线弧两端点连线对应的纵坐标之差.推论1

若在(a,b)内恒等于零，则f(x)在(a,b)内必为某常数.事实上，对于(a,b)内的任意两点，由拉格朗日中值定理可得由拉格朗日中值定理可以得出积分学中有用的推论：

位于x1，x2之间，故有f(x1)=f(x2).由x1，x2的任意性可知f(x)在(a,b)内恒为某常数.推论2

若在(a,b)内恒有，则有其中C为某常数.由推论1可知f(x)－g(x)=C，即f(x)=g(x)+C.f(x)=g(x)+C,事实上，由已知条件及导数运算性质可得例１试证对于所给不等式，可以认定为函数的增量与自变量的增量之间的关系.因此可以设f(x)=arctanx.证设f(x)=arctanx,不妨设a<b.由于arctanx在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.可知必定存在一点,使得由于因此arctanx在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件.由于，因此从而有例２当x>0时,试证不等式分析取f(t)=ln(1+t)，a=0，b=x.则f(t)=ln(1+t)在区间[0,x]上满足拉格朗日中值定理，因此必有一点使得.说明本例中，若令y=lnt，a=1，b=1+x，亦可利用拉格朗日中值定理证明所给不等式.这表明证明不等式时，f(x)与[a,b]的选取不是惟一的.即进而知第二节洛必达法则

如果函数，其分子、分母都趋于零或都趋于无穷大.

那么，极限可能存在，也可能不存在.通常称这种极限为未定型.

并分别简记为.这节将介绍一种计算未定型极限的有效方法——洛必达法则.

一、定理１如果f(x)和g(x)满足下列条件：那么

定理２如果f(x)和g(x)满足下列条件：那么例1为型，由洛必达法则有解例2为型，由洛必达法则有解例3为型，由洛必达法则有解例4为型，由洛必达法则有解

二、定理３如果函数f(x)，g(x)满足下列条件：那么定理4

如果函数f(x)，g(x)满足下列条件：那么例5为型，由洛必达法则有解例6为型，由洛必达法则有解

三、可化为型或型极限

1.如果，则称对于型，先将函数变型化为型或.再由洛必达法则求之.如或2.如果例7解例8解应该单独求极限，不要参与洛必达法则运算，可以简化运算.例9为型，可以由洛必达法则求之.如果注意到解说明如果型或型极限中含有非零因子，如果引入等价无穷小代换，则例10解所给极限为型，可以由洛必达法则求之.注意极限过程为但是注意到所求极限的函数中含有因子，且，因此极限不为零的因子不必参加洛必达法则运算.例11又当时，，故所给极限为型，可以考虑使用洛必达法则.解第三节函数的单调性，极值和最值一、函数的单调性二、函数的极值三、函数的最大值和最小值如果函数f(x)在某区间上单调增加，则它的图形是随x的增大而上升的曲线.如果所给曲线上每点处都存在非铅直的切线，则曲线上各点处的切线斜率非负，即.

如果函数f(x)在某区间上单调减少，则它的图形是随x的增大而下降的曲线.如果所给曲线上每点处都存在非铅直的切线，则曲线上各点处的切线斜率非正，即.一、函数的单调性定理１设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.则有(1)如果在(a,b)内，那么，函数f(x)在[a,b]上单调增加.(2)如果在(a,b)内，那么，函数f(x)在[a,b]上单调减少.例1解在(－2,1)内所给的函数严格单调减少.由此可知，在及内，所给函数严格单调增加，例2解例3解为了研究函数的单调性，我们只关心在上述四个子区间内的符号，这三个点x=－1，0，1将y的定义域分为四个子区间.表中第一栏由小至大标出函数的定义域被三个特殊点划分的四个区间.第二栏标出在各子区间内的符号.第三栏为函数的增减性.如本例可列表：x－１01－0+不存在－0+y可知所给函数严格单调增加区间为.严格单调减少区间为.如果F(x)满足下面的条件：F(x)=f(x)－g(x)往往可以利用单调性证明不等式.其基本方法是：例4解在实际问题中经常遇到需要解决在一定条件下的最大、最小、最远、最近、最好、最优等问题，这类问题在数学上常可以归结为求函数在给定区间上的最大值或最小值问题，这里统称为最值问题.本节将介绍函数的极值问题与最值问题.

二、函数的极值定义１设函数f(x)在x0的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于x0的x都有

(1)成立，则称为f(x)的极大值，称为f(x)的极大值点；(2)成立，则称为f(x)的极小值，称为f(x)的极小值点.极大值、极小值统称为极值.极大值点、极小值点统称为极值点.定理２(极值的必要条件)

设函数f(x)在点x0处可导，且x0为f(x)的极值点，则注意：可导函数的极值点必定是它的驻点.但是需要注意，函数的驻点并不一定是函数的极值点.

例如为其驻点，但是x=0不是的极值点.还要指出，有些函数的不可导的点也可能是其极值点.由上述可知，欲求函数的极值点，先要求出其驻点和导数不存在的点，然后再用下面的充分条件判别:定理３(判定极值的第一充分条件)

设函数y=f(x)在点x0连续，且在x0的某邻域内可导(点x0可除外).如果在该邻域内

如果f(x)在x0的两侧保持相同符号，则x0不是f(x)的极值点.因此可知x0为f(x)的极大值点.对于情形(2)也可以进行类似分析.分析对于情形(1)，由函数单调性的判别定理可知，当时，f(x)单调增加；当时，f(x)单调减少，(3)判定每个驻点和导数不存在的点两侧(在xi较小的邻域内)的符号，依定理３判定xi是否为f(x)的极值点.由定理判定函数极值一般步骤为：令，得函数的两个驻点：x1=–1，x2=2.

内存在，函数的两个驻点x1=–1，x2=2把分成三个子区间.例1所给函数的定义域为.解x–1(–1,2)2+0–0+y极大值极小值–10可知x=0为y的极小值点，极小值为0.例2所给的函数定义域为.解非极值极小0y+0+0–1(0,1)0x例3所给的函数定义域为.解x–1(–1,0)0(0,1)1–0+不存在–0+y极小值极大值０极小值定理4

(判定极值的第二充分条件)

设函数f(x)在点x0处具有二阶导数，且则当二阶导数易求，且驻点x0处的二阶导数时，利用判定极值的第二充分条件判定驻点是否为极值点比较方便.例4所给的函数定义域为.解上述求函数极值与极值点的方法可总结为:欲求连续函数f(x)的极值点，需(1)求出f(x)的定义域.(4)如果函数在驻点处的函数的二阶导数易求，可以利用判定极值第二充分条件判定其是否为极值点.(2)求出.在f(x)的定义域内求出f(x)的全部驻点及导数不存在的点.(3)判定在上述点两侧的符号，利用判定极值第一充分条件判定其是否为极值点.由闭区间上连续函数的最大值最小值定理可知，如果f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必定能取得最大值与最小值.如何求出连续函数在闭区间上的最大值、最小值是本段的基本问题.三、函数的最大值和最小值求[a,b]上连续函数的最大值、最小值的步骤：(1)求出f(x)的所有位于(a,b)内的驻点(2)求出f(x)在(a,b)内导数不存在的点(3)比较导数为零的点和导数不存在的点的y值及f(a)和f(b).其中最大的值即为最大值，最小的值即为最小值，相应的点为最大值点和最小值点.由上述分析可以看出，最大值与最小值是函数f(x)在区间[a,b]上的整体性质，而极大值与极小值是函数f(x)在某点邻域内的局部性质.例5由于所给函数为[–1,2]上的连续函数.解可知f(x)在[0,3]上的最大值点为x=2，最大值为f(2)=1.例6所给函数为[0,3]上的连续函数.解最小值点为x=0，最小值为由隐函数求导法则可以得出过M点的切线斜率例7任取上的点M(x,y)，且x>0，y>0.解因而过M(x,y)的切线方程为可知切线与两个坐标轴所围成的三角形面积为但是S最小当且仅当其分母最大.令X=0，得切线在y轴上的截距.令Y=0，得切线在x轴上的截距.而且所求的驻点唯一，因此点为所求最小值点，最小面积为ab.由问题实际意义知，所围三角形面积存在最小值，

如果目标函数可导，其驻点唯一，且实际意义表明函数的最大(小)值存在(且不在定义区间的端点上达到)，那么所求驻点就是函数的最大(小)值点.

有必要指出，对于在实际的问题中求其最大(小)值，首先应该建立目标函数.然后求出目标函数在定义区间内的驻点.

如果驻点有多个，且函数既存在最大值也存在最小值，只需比较这几个驻点处的函数值，其中最大值即为所求最大值，其中最小值即为所求最小值.例8欲围一个面积为150平方米的矩形场地，所用材料的造价其正面是每平方米6元，其余三面是每平方米3元.问场地的长、宽为多少米时，才能使所用材料费最少？设所围矩形场地正面长为xm，另一边长为ym，则矩形场地面积为xy=150，.解设四面围墙的高相同，都为h，则四面围墙所使用材料的费用f(x)为由于驻点唯一，由实际意义可知，问题的最小值存在，因此当正面长为10米，侧面长为15米时，所用材料费最少.第四节曲线的凹凸性与拐点一、曲线的凹凸性二、曲线的拐点对于任意的，曲线弧y=f(x)过点的切线总位于曲线弧y=f(x)的下方，则称曲线弧y=f(x)在[a,b]上为凹的.定义１设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.(2)若对于任意的，曲线弧y=f(x)过点的切线总位于曲线弧y=f(x)的上方，则称曲线弧y=f(x)在[a,b]上为凸的.一、曲线的凹凸性

如果y=f(x)在(a,b)内二阶可导，则可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性.定理(曲线凹凸的判定法)

设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导.(1)若在(a,b)内，则曲线弧y=f(x)在[a,b]上为凹的.(2)若在(a,b)内，则曲线弧y=f(x)在[a,b]上为凸的.判定曲线弧y=xarctanx的凹凸性.故y=xarctanx在内为凹的.例1所给曲线在内为连续曲线弧.由于解判定曲线弧的凹凸性.因此当x<0时，，可知曲线弧为凸的.当x>0时，，可知曲线弧为凹的.例2所给曲线在内为连续曲线弧.由于解定义连续曲线弧上的凹弧与凸弧的分界点，称为该曲线弧的拐点.二、曲线的拐点试判定点M(0,0)是否为下列曲线弧的拐点.例3分析从而知点(0,0)为曲线弧的拐点.(1)在f(x)所定义的区间内，求出二阶导数等于零的点.(2)求出二阶导数不存在的点.判断连续曲线弧拐点的步骤：(3)判定上述点两侧，是否异号.如果在的两侧异号，则为曲线弧的y=f(x)的拐点.如果在的两侧同号，则不为曲线弧y=f(x)的拐点.讨论曲线弧的凹凸性，并求其拐点.x1(1,2)2+0－0+y凹拐点(1,－3)凸拐点(2,6)凹例4所给函数内连续.解可知所给曲线弧在内为凹的.在(1,2)为凸的.拐点为点(1,－3)与点(2,6).讨论曲线的凹凸性，并求其拐点.例5所给函数内为连续函数.解－0+不存在+y凸拐点凹非拐点凹可知所给曲线在为凸的.在内为凹的.第五节函数图形的描绘一、渐近线二、函数的作图定义点M沿曲线y=f(x)无限远离坐标原点时，若点M与某定直线L之间的距离趋于零，则称直线L为曲线y=f(x)的一条渐近线.

一、渐近线1.水平渐近线当且仅当下列三各情形之一成立时，直线y=c为曲线y=f(x)的水平渐近线：2.铅直渐近线当且仅当下列三各情形之一成立时，直线为曲线y=f(x)的铅直渐近线：可知y=0所给曲线的水平渐近线.例1解可知x=–1为所给曲线的铅直渐近线(在x=–1的两侧f(x)的趋向不同！)可知x=3为所给曲线的铅直渐近线(在x=3的两侧f(x)的趋向不同！)例2所给的函数的定义域为解

二、函数的作图

利用导数描绘图形的一般步骤如下：(1)确定函数的定义域及函数所具有的某些特性(如奇偶性、周期性等)，并求出函数的一阶导数和二阶导数；(2)求出一阶导数和二阶导数在函数定义域内的全部零点，并求出函数的间断点及和不存在的点，用这些点把函数的定义域划分成几个部分区间;(4)

确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势；(3)确定在这些部分区间内和的符号，并由此确定函数图形的升降和凹凸、极值点和拐点；(5)算出和的零点以及不存在的点所对应的函数值，定出图形上相应的点.为了把图形描绘得准确些，有时还需要补充一些点，然后结合(3)、(4)中得到的结果，联结这些点画出函数的图形.是连续的非奇非偶函数，非周期函数.例3解所给函数的定义域为，x1(1,2)2(2,3)3+0––0+––0++y凸极大2凸

拐点

(2,0)凹极小–2凹所给函数图形无渐近线.再补充点(0,–2).函数为奇函数，只需研究内函数的情形可知y=0为该曲线的水平渐近线.该曲线没有铅直渐近线.例4所给函数的定义域为.解由于x(0,1)1+0–––––0+y凸极大凸

拐点

凹列表分析：故在x<0的邻域内，曲线是凹的.所以点(0,0)为拐点.因为函数为连续的奇函数，在x>0的邻域内，曲线是凸的，可知y=0为该曲线的水平渐近线.函数为偶函数，因此其图形关于y轴对称.该曲线没有铅直渐近线.例5所给函数的定义域为.解x0++0–––+0––++y凹

拐点

凹极大值1

凸拐