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琴生不等式的应用综述1三角应用【例12】在∆ABC中，求证：8cosA+cosB+cosC≤9+cos≤csc212证：令f(x)=cscx,则f(x)是3=（ 从上式，有csc≥9+cosA−B+cosB−C（利用余弦函数的绝对值小于1）下面证明前一个不等式cos=2cos=2cos=4利用上式，有9+=8利用不等式(14),有8cosA+cosB+cosC=要证明前一个不等式成立，只需证明8sin不等式两端同时乘以正实数,即等价证明sinAsinBsinC≤cos而cos1=1==完全类似的，有coscos将上述三个不等式相乘，可得sinAsinBsinC≤所以，原不等式成立。2信息论应用设f(x)是∪型凸函数，随机矢量x的数学期望EE在信息论中，利用琴生不等式证明了离散源的最大离散熵定理、连续源的最大差分熵定理、平均互信息的凸性等几个重要定理。最大离散熵定理是一个非常重要的结论。它告诉我们，在离散信源中，当信源符号具有等概率分布时，信源的熵最大。差分熵在连续源中也有一个最大值。在这两种情况下，一种是源的输出值有限，另一种是源的输出平均功率有限，并利用琴生不等式证明了相应的最大差分熵定理[17]。下面我们来证明最大离散熵定理【例13】证明最大离散熵定理：H证：设概率矢量p=(p1,p2,…，pq),并且有已知logY在正实数集上是∩型函数，所以根据琴生不等式，有E即又yi所以得H只有当pi3热力学应用Tykodi导出琴生不等式的例子，用的是物理方法，这种处理方法的先驱者是Landsberg,他在热力学的基础上给出了不等式的推导，在一个由不同初温的N个物体构成的系统进行热接触达到温度相等的过程中可以使Landsberg结果更普遍化[18]。Tykodi还可以从其他物理现象，如液体高度相等、浓度相等和球形微滴在一组相互关联的关系中聚集的过程，推导出琴生不等式。虽然这些研究没有建立通常的数学证据，但这种推导建立了数学和物理现象之间的简单关系。下面给出琴生不等式的一个简单的物理推导。考虑由N个组成完全相同但质量不相等、初温不同的物体构成的系统。设S=f(u)是单位质量的熵，u是单位质量的内能，对于这样一个拥有固定质量m的热力学系统，热容量CC其中T是系统的热力学温度，从定义很容易证明∂因为T2和Cv都为正量，所以f''<0，因此系统的总内能和总熵分别为其中,即为系统的总质量，且p在t0假设n个物体的热接触达到相同温度的过程发生在定容的情况下，且系统是绝热的。系统在t0时刻达到热平衡，设新的单位质量的热能是u然而，我们可以把时间的系统看作一个质量为M的单一均匀物

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