《分类思想在中学数学中的应用探究》5900字（论文）

分类思想在中学数学中的应用研究摘要数学分类思想是一种思想也是一种逻辑，同时又是一种重要的解题策略。通过正确的分类标准和分类步骤，可以化繁杂为简单，使复杂的问题得到简单、清晰、完整、严密的解答。本文介绍分类思想在中学数学中五个方面的应用：（1）涉及数学概念是分类定义；（2）运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；（3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能的；（4）参变量的取值不同会造成不同结果的；（5）较复杂的或非常规的数学问题需要用分类讨论的解题策略来解决。关键词：分类思想；应用；中学数学；分类步骤目录TOC\o"1-2"\h\u1前言 51.1数学分类思想的意义 51.2国内外对数学分类思想的研究 52数学分类思想的基本概念 52.1数学分类思想的概念 52.2数学分类思想的要求 63简述几种分类讨论的原因 63.1数学概念是分类定义的 63.2数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的 63.3结论有多种情况或可能的 73.4参变量的取值不同会造成不同结果的 83.5较复杂或非常规的问题过程需要用分类讨论 84分类步骤 95总结 9参考文献 101前言1.1数学分类思想的意义分类思想是中学数学中的重要解决策略，它被运用到各个不同的领域之中，对于培养学生思维的严谨性、严密性和灵活性以及提高学生分析问题和解决问题的能力有着重要作用，是中学生学习数学必需掌握的思想[]。人在初中时期，思维的转变训练变得尤为重要。许多重要的数学概念、原则、法则的组成并不是没有规律可循，而在一定的逻辑系统之下，我们能够得以将这些展示[]。因此，在数学学习中，要求学生具有一定的逻辑推理能力，让他们建立起一个完善的数学思维体系。其中，掌握分类思想是非常重要的。在解决数学问题时，对于题目中因存在无法确定的因素而影响解题时或者得出结论不能统一表达时，我们往往将他们按照一定标准划分为若干个小问题来解决。通过正确的分类，便能轻易的将思维全面发展，可以化繁杂为简单，使复杂的问题得到简单、清晰、完整、严密的解答[]。1.2国内外对数学分类思想的研究进入21世纪以后，对于数学思想方法的研究也越来越受到各国研究者的重视，先后有着许多关于数学思想的专著出版，并被翻译成中文，在我国数学界和数学教育界广为流传并有着广泛的影响。其中前苏联数学家亚历山大洛夫著的《数学一一它的内容、方法和意义》用通俗易懂的语言介绍了现代数学思想方法的历史演进，内容由浅入深，文字简洁明快，将寓意深刻的数学思想方法于浅显的数学知识中，这本书曾经对中学数学教学影响很大[]。除此之外，美国的数学家M•克莱因的著作《古今数学思想》也是一本影响深刻的书。该书以分成四卷的形式呈现给读者，其内容主要是从数学思想的角度研究了数学的发展历程，数学语言凝炼简洁，数学逻辑清晰严密，数学知识深刻却浅显易懂，数学思想方法蕴寓其中，充满理性的魅力，读来引人入胜，耐人寻味，发人深省。这两部著作影响最为广泛，成为数学专业人士、广大的中学一线教师和师范类大学生非常喜爱的数学用书之二。在我国现今的中学数学教育中，越来越重视学生的逻辑思维能力、综合运用能力和探索研究能力，传统的教育模式已经远去，新的教育模式亟待建立。而分类思想一直承担着引导学生进行涵盖多知识点、面、逻辑性、综合性与探索性研究的教学任务。因此，除外国研究者外，我国也有着许多针对研究数学分类思想而出版的文章。在杨曼的《分类思想在中学数学解题中的运用》、马书的《分类思想在中学数学中的应用》、顾亚琴的《分类讨论思想在中学数学中的运用》、邓夥《关于数学思想方法及教学策略的研究》、高兴霞的《浅谈中学数学教材中的分类思想》、刘芳芳《浅析中学数学分类思想方法》、李伟振的《试论中学数学分类讨论思想及应用》、宋阳的《数学分类思想在初中数学教学中的应用研究》、王瑞的《通过分类思想进行初中数学课程的高效教学》这些文章中，作者们从他们理解的角度出发，将他们的想法以简单明了的文字，配合些许例题对数学分类思想做出了详细的介绍，并且写出了数学分类思想在中学数学中的体现，和数学分类方法在中学数学中的应用。2数学分类思想的基本概念2.1数学分类思想的概念数学分类思想是高中数学中重要的解题思想。其意思是在研究一个问题但是并不能一概而论时，将这个问题按照一定的标准分成若干个小问题，然后根据题意一一讨论，最终得以逐一解决，这就是分类思想[]。数学分类思想，是一种思想也是一种逻辑，同时又是一种重要的解题策略。分类思想具有较高的逻辑性和综合性，有利于学生应对中学数学的数学任务，提升他们的学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性和科学性[]。因此，在数学解题中分类思想有着重要的作用。我们会遇到含有未知参数的函数形如y=ax2+bx+c之类的题，此时首先要判断是它一次函数还是二次函数，由此可得它的最基础的分类讨论标准就是a=0或a≠0。其分类思路就是根据二次项系数与零的关系来分类。在这一类型的题里里，还可以分为a<0，a=0和a>0这三类，这三类的分类标准就是按照的正负与其函数的图象的开口方向是上或下的关系，但是其中最容易忘记的就是有2.2数学分类思想的要求正确的应用分类思想，是完整解题的基础。想要应用分类思想的解决问题，则要保证分类方法的正确性和科学性，以及掌握它的分类原则。其中分类思想的分类原则有最基础的两条：一是分类的标准必须一致，分类讨论不是随意的分类，需要遵循一定的原则，标准也需要一致，从开始直结束需要遵循同一个分类标准，否则容易弄错题意，混淆思维；二是在分类时不能遗漏且不能重复，遗漏分类可能会导致结论出现遗漏，同样重复分类可能会导致结论重复或者错误[]。例如，在将数轴上的数进行分正负数时，要牢记0也在数轴上但却不属于正数也不属于负数。3简述几种分类讨论的原因3.1概念是分类定义的有些数学概念本就是分类定义而成的。比如绝对值、实数、平方根、直线与平面所成的角等等。我们在对这些数学概念进行研究时，为了使我们更加方便、清晰且深刻地理解，在讨论期间就会加上分类方法讨论。例1：若|a−b|=b−a,且|a|=4,|b|=3,则(a+b)2解：由|a|=4,|b|=3,；则a=±4,b=±3；由于|a−b|=b−a，所以b−a≥0，即b>a；故当b=3,a=−4时当b=−3,a=−4时综上得(a+b)23.2定理、公式或运算性质、法则是分类给出的研究涉及的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的[]。我们使用一元二次方程的判别式时、两圆间的位置关系、直线与圆的位置关系、等比数列的前n项和公式等都用到了分类思想。在进行某些限制运算时，如，除法、开偶次方根、含有绝对值符号的运算也是有分类思想在内的。例2：化简(3m−n)分析：由于算术平方根的运算法则，它开出的结果都是正数，但是不知道3m和n的大小，所以要对3m和解：原式=|3m−n|（1）当3m>n时，即

m>n3（2）当3m<n时，即

m<n3

例3：已知角α的终边经过点P(12m,−5m)(m≠0)，求sinα解析：根据三角函数的概念和平方根的运算法则可以求得结果。解答：r=(12m)

m>0,costanα=

m<0,costan点评：绝对值和算术平方根的概念在进行计算时都是需要分类讨论的概念，通过分类讨论可以将题目简单化，在计算时能得到正确的、完整的的结果。3.3问题的结论有多种情况或可能的在求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能的，我们可以用分类讨论的方法来解答[]。在初、高中时期，学生们将接触到更为复杂的数学研究，其中有一类是在求解过程中数学问题的结论有多种情况或多种可能的。例4：已知x1>0，x1≠1，且xn+1=xn(xn解：作差

x=由题意知xn>0(n∈N+)故要分0<x1<1和（1）若0<x1<1时，可用数学归纳法证明1−xn>0.当n=1时，显然成立.假设n=k时，有1−x1−所以对∀n∈N+,1−xn>0若x1>1时，同(1)类似可证xn+1<xn。点评：这题因为这题比较大小，要先作差之后明显得知要比较xn和1的大小关系，所以使用数学归纳法时要分0<x1<13.4参变量的取值不同会造成不同结果的对于一些含有参数的不等式或等式，结果会因参数取值的改变而改变，所以我们在对这类的题目进行研究时，通常会到分类讨论的思想。例5：关于x的含参数方程ax2+2(a−3)x+(a−2)=0至少有一个整数解，且a解析：方程中的二次项系数a的取值可为任意数，但是当a=0和a≠0时，对原方程的解可造成有不同的结果和不同的解法，故本题分为a=0和a≠0两种不同的情况。解答：（1）当a=0时，原方程为一元一次方程：−6x−2=0此方程解x=−1（2）当a≠0时,原方程是一元二次方程，因为它至少有一个整数根，表明了判别式为∆=4(a−3)2−4a(a−2)=4(9−4a)，所以是令k2=9−4a，则因为a≠0，所以k≠3，a=k由求根公式可得:

x所以x1=−1+3+k要让x1为整数，k可取1、5、7，即a=2、−4、−10要让x2为整数，而k为正奇数，所以只能k=1即a=2综上所述，a的值为2、-4、-10.3.5较复杂或非常规的问题是需要用分类讨论的遇到较复杂的或非常规的数学问题，在推理过程中需要用分类讨论的的解题策略来解决。例5：若x∈(0,1)，a>0且a≠1，比较|loga(1+x)|分析：因在实数集中，|k|2=k2。故要比较|loga(1+x)|解：作差

|==由0<x<1,(1lga)2>0，故0<x2又由于−1<−x<0即0<1−x<11<1+x<2即12故[lg(1−x)2][lg(所以有|故|log4分类步骤一般的,我们对一道数学题进行分类讨论时，可以简化为以下四步：确定分类讨论的对象以及讨论对象的全域；合理分类，统一标准，不重不漏；逐段逐类讨论，分级进行；归纳总结，得出整个题目的结论[]。例6：设集合A={x|x+1≤0，或x−4≥0}，分析：因为A∩B=B，所以集合B是集合A的子集。又因为集合B中含有参数，所以要分B=∅和B≠∅两种情况来进行讨论，由此求得实数a的取值范围。解：由题意可知A={x|x≤−1，或因为A∩B=B，所以A⊆B；当B=∅时，满足A⊆B，此时2a>a+当B≠∅时，则2a≤a+2，a+2≤−1，或2a≤a+2综上所述，实数a的取值范围为a≤−3或例7：解关于x的不等式x2分析：原不等式是关于x的一元二次不等式，可化为(x−a)(x−a2)>0。由于a与a2的取值无法确定，此不等式无法解答，因此要对解：（1）当0<a<1时，（2）当a=0时，a=a2，不等式的解集为当a=1时，a=a2，不等式的解集为当a>1或a总结：例题很明显要用分类讨论的方法来解题，所以做这题时，要按照分类讨论的基本步骤来解答，先确定所要讨论的对象，再确定分类标准的正负，然后逐步进行分类讨论得出结果，然后归纳总结得出最终结果。5总结本文通过对分类思想的意义的叙述开始，讲述了分类思想的概念和原则，更主要的是针对分类思想在中学数学中的应用做出了探讨。文章详细介绍了分类思想的步骤和方法，由此我们可以归纳出数学分类思想应用的具体步骤为：首先针对探讨对象全域做出确认，其次根据全域和题目所求，依照统一的分类标准，不重不漏地进行分类，然后根据分类，逐类讨论，最终归纳总结，得出最终结果。我们在遇见问题需要分类时，可按照上述的步骤将问题逐渐简单化，把原来困难、复杂的问题转化各个简单的小问题，最终将问题解决。所谓分类思想，其意思是在研究一个问题但是并不能一概而论时，将这个问题按照一定的标准分成若干个小问题，然后根据题意一一讨论，最终得以逐一解决，这就是分类思想。它是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性的小问题，通过对基础性小问题的解答来实现解决原问题的思想策略。分类思想是初高中常见的解决问题的方法之一，也是学生必须掌握的解决问题的方法之一。在高中数学中，分类讨论时非常重要的一种解题思路，每次高考的数学试卷中，必然会有需要用到这种思想方法的题目。但是我在高一实习时，我发现高一的学生他们对分类思想掌握得并不熟练、甚至有一些对需要分类讨论的的题目有着厌恶心理，认为分类讨论太麻烦。其实我们之所以要将分类思想交给学生们是为了学生在解决问题时能够更简单的、清晰的解答，是为了教给他们一个解决问题的方式，但是效果却有一些本末倒置，让人不得不反思。回溯整篇文章内容，我们不难发现分类思想确实是学生解决问题的一大帮手，所以为了更好的教学和学生更好的学习，分类思想的重要性不言而喻。我们应该以学生接受的思维方式，才能在相对平顺的环境中应用数学解题过程的分类思想。参考文献[1]顾亚琴.分类讨论思想在中学数学中的运用[J].新高考(升学考试),2017(7).[2]李伟振.试论中学数学分类讨论思想及应用[J].广西教育，2018(6).[3]夏沧桑.浅析分类思想在初中数学教学中的运用[J].教育教学论坛,2012(08):158-159.[4]高兴霞.浅谈中学数学教材中的分类思想[J].新课程(下),2019,000(004):108.[5]马书平.分类思想在中学数学中的应用[J].新课程(中),2015,