2024-2025学年上海市闵行区六校联考高一（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市闵行区六校联考高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，则“l⊥m且l⊥n”是“l⊥α”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2.如图所示，平面四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A−BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中不正确的是(

)

①平面ACD⊥平面ABD

②AB⊥AC

③平面ABC⊥平面ACDA.①② B.②③ C.①③ D.①②③3.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2A.5

B.15

C.2+224.如图，设P为正四面体A−BCD表面(含棱)上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有(

)

A.4个 B.6个 C.10个 D.14个二、填空题：本题共12小题，共54分。5.如果一条直线和两条异面直线中的一条平行，那么它和另一条直线的位置关系是______．6.若平面α⋂β=l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b=M，则点M与l的位置关系为______．7.正方体ABCD−A1B1C1D8.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，9.△AOB的斜二测直观图△A′O′B′如图所示，则△AOB的面积是______．10.以下四个命题中，真命题是______(只填真命题的序号)．

①若a，b是两条直线，且a//b，则a平行于经过b的任何平面；

②若直线a和平面α满足a//α，则a与α内的任何直线平行；

③若直线a，b和平面α满足a//α，b//α，则a//b；

④若直线a，b和平面α满足a//b，a//α，b⊄α，则b//α．11.一个圆台的两个底面半径分别为1和2，高为1，则该圆台的体积为______．12.已知圆锥的表面积为12π，其侧面展开图是一个半圆.则圆锥的高为______．13.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，14.如图所示，求一个棱长为2的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体切去四个角后得到，类比这种分法，一个相对棱长都相等的四面体A−BCD，其三组棱长分别为AB=CD=5，AD=BC=1315.某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为63的正方体的六个面所截后剩余的部分，(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为6π，则该球的表面积是______．16.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑A−BCD中，AB⊥平面BCD，且有BD⊥CD，AB=BD=2，CD=1，点P是AC上的一个动点，则三角形PBD的面积的最小值为

．三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

如图，已知E，F，G，H分别是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，且EF与HG相交于点Q．

(1)求证：点18.(本小题14分)

在如图所示的圆柱中，AB是底面直径，PA是圆柱的母线，且PA=AB=2.设C是底面圆周上的动点．

(1)求圆柱的表面积和体积；

(2)当二面角P−BC−A的大小为π3时，求点C到平面PAB的距离．19.(本小题14分)

我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：“阳马”是指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；“堑堵”是指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图所示，在堑堵ABC−A1B1C1中，若AC⊥BC，A1A=AB=2．

(1)求证：四棱锥B−AA1C1C20.(本小题18分)

已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2，AB=1，F为CD的中点．

(1)求证：AF//平面BCE；

(2)求证：平面BCE⊥平面CDE；

(3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．21.(本小题18分)

在棱长均为2的正三棱柱ABC−A1B1C1中，E为B1C1的中点.过AE的截面与棱BB1，A1C1分别交于点F，G．

(1)若F为BB1的中点，试确定点G的位置，并说明理由；

(2)在(1)的条件下，求截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的正切值；

(3)设截面AFEG的面积为S

参考答案1.B

2.D

3.D

4.C

5.相交或异面

6.M∈l

7.45°

8.2

9.4

10.④

11.7π312.2313.214.2

15.144π

16.217.证明：(1)根据题意，平面ABCD∩平面DCC1D1=DC，而直线EF与直线HG相交于点Q，

则Q∈直线EF，Q∈直线HG，

又由EF⊂平面ABCD，

则Q∈平面ABCD，

同理：Q∈平面DCC1D1，

故Q∈直线DC；

(2)根据题意，A1B1⊂平面ABB1A1，18.解：(1)因为AB是底面直径，PA是圆柱的母线，且PA=AB=2，

所以底面圆半径为1，

故圆柱的表面积为2πr2+2πr⋅PA=2π×1+2π×1×2=6π；

圆锥体积为V=πr2⋅PA=π×1×2=2π；

(2)依题意：PA⊥平面ABC，AC⊥BC，由三垂线定理可得PC⊥AB，

所以∠PCA即为二面角P−BC−A，为60°，

在△PAC中，PA=2，AC=233，所以BC=63，

根据面积法求19.解：(1)证明：由题意在堑堵ABC−A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，

因为AC⊂底面ABC，BC⊂底面ABC，

所以AA1⊥AC，AA1⊥BC，

在三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形AA1C1C为平行四边形，

所以四边形AA1C1C为矩形，

又因为AC⊥BC，AA1∩AC=A，

所以BC⊥平面AA1C1C，

所以根据题中“阳马”的定义得：四棱锥B−AA1C1C为阳马．

(2)由(1)知，BC⊥平面AA1C1C，

所以斜线20.(1)证明：AD=DE=2，AB=1，建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，则

A(0,0,0)，C(2,0,0)，B(0,0,1)，D(1,3,0)，E(1,3,2)，

∵F为CD的中点，∴F(32,32,0)．

AF=(32,32,0)，BE=(1,3,1)，

BC=(2,0,−1)，

∵AF=12(BE+BC)，AF⊄平面BCE，

∴AF/​/平面BCE．

(2)解：设平面BCE的法向量为n=(x,y,z)，由n⋅BE=0n⋅BC=0可得：

x+3y+z=02x−z=0，取x=1，则n=(1,−3,2)；

∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，

∴DE⊥AF，

又∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，21.解：(1)在平面BCC1B1内延长CC1，FE相交于点P，

则P∈平面AGEF，又P∈CC1⊂平面ACC1A1，

则有平面AGEF∩平面ACC1A1=AG，P∈AG，即A，G，P三点共线，

因为E为B1C1的中点，F为BB1的中点，所以PC1=B1F=12CC1，所以PC1PC=13，

又因为GC1//AC，所以GC1AC=PC1PC=13，

所以GC1=13AC=13A1C1=23，即点G为棱A1C1上靠近点C1的三等分点．

(2)在平面BCC1B1内延长CB，EF相交于点Q，连接AQ，

则平面AGEF∩平面ABC=AQ，

在平面ACC1A1内作GM⊥AC于点M，则GM⊥平面ABC，

又AQ⊂平面ABC，所以GM⊥AQ，

在平面ABC内作MN⊥AQ