2024-2025学年山东省青岛五十八中高三（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省青岛五十八中高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合P={x∈N|y=6x+1,y∈N}，Q={x|−1≤x<5}，则P∩Q=A.{1,2,3} B.{0,1,2} C.{1,2,5} D.{0,1,2,5}2.已知z=i2−2i.则|A.2 B.24 C.1 3.已知|a|=3，|b|=1.若(aA.−32 B.−334.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3=ma1，则“m=7A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知一个正四棱柱和某正四棱锥的底面边长相等，侧面积相等，且它们的高均为15，则此正四棱锥的体积为(

)A.605 B.6015 C.6.已知函数f(x)=(12)x,x≥0,A.1对 B.2对 C.3对 D.4对7.已知函数f(x)=12cos2x2−12sin2x2+3sinx2cosx2，函数f(x)的图象各点的横坐标缩小为原来的1A.π6 B.π3 C.π28.若关于x不等式ln(ax)≤x+b恒成立，则当1e≤a≤e时，eb+1A.1e+1 B.e−1 C.1 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知3a=5bA.lga>lgb B.a+b=ab C.(12)10.若数列{an}满足a1=1，a2=1，A.a7=13 B.2an=a11.如图，在边长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1A.若DP/​/平面CEF，则点P的轨迹长度为22

B.若AP=17，则点P的轨迹长度为2π

C.若P是正方形A1B1C1D1的中心，Q在线段EF上，则PQ+CQ的最小值为4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.曲线y=x3+313.为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且AB=BC=50米，则塔的高度OP=______米.14.已知|A1A2|=1，当n≥2时，An+1是线段AnAn−1的中点，点四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+2=2an．

(1)求a2及数列{an}的通项公式；

(2)在an与an+116.(本小题15分)

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有2bcos(A−π3)=a+c．

(1)求角B；

(2)若AC边上的高ℎ=317.(本小题15分)

如图1，在平行四边形ABCD中，AB=2BC=4，∠ABC=60°，E为CD的中点，将△ADE沿AE折起，连结BD，CD，且BD=4，如图2．

(1)求证：图2中的平面ADE⊥平面ABCE；

(2)在图2中，若点F在棱BD上，直线AF与平面ABCE所成的角的正弦值为3010，求点F到平面DEC的距离．18.(本小题17分)

已知函数f(x)=sinx+ln(x+1)−ax，且y=f(x)与x轴相切于坐标原点．

(1)求实数a的值及f(x)的最大值；

(2)证明：当x∈[π6,π]时，f(x)+2x>12；

(3)19.(本小题17分)

对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为an；若n为奇数，则对3n+1不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为an.若an=1，则称正整数n为“理想数”．

(1)求20以内的质数“理想数”；

(2)已知am=m−9.求m的值；

(3)将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列{bn}，记参考答案1.B

2.B

3.A

4.A

5.B

6.C

7.A

8.C

9.ABD

10.AC

11.ACD

12.4x−y+3=0

13.1014.2315.解：(1)由题意，当n=1时，S1+2=a1+2=2a1，解得a1=2，

当n=2时，S2+2=2a2，

即a1+a2+2=2a2，解得a2=4，

当n≥2时，由Sn+2=2an，

可得Sn−1+2=2an−1，

两式相减，可得an=2an−2an−1，

整理，得an=2an−1，

∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，

∴an=2⋅2n−1=2n，n∈N∗．16.解：(1)因为2bcos(A−π3)=a+c，

由正弦定理可得2sinB(12cosA+32sinA)=sinA+sinC=sinA+sin(A+B)，

而sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

所以3sinBsinA=sinA+sinAcosB，

在三角形中，sinA>0，

所以3sinB−cosB=1，

即sin(B−π6)=12，因为B∈(0,π)，

可得B−π6=π6，

可得B=π3；

(2)因为AC边上的高ℎ=34b，

17.解：(1)证明：连接BE，

由题意AD=DE=2，∠ADE=60°，∠BCE=120°，

则△ADE为等边三角形，

由余弦定理得BE2=4+4−2×2×2×(−12)=12，所以BE=23，

则DE2+BE2=BD2，AE2+BE2=BD2，

所以BE⊥DE，BE⊥AE，

又AE∩DE=E，AE，DE⊂平面ADE，

所以BE⊥平面ADE，

又BE⊂平面ABCE，所以平面ADE⊥平面ABCE；

(2)如图，以点E为原点，建立空间直角坐标系，

则A(2,0,0),B(0,23,0),C(−1,3,0),D(1,0,3),E(0,0,0)，

设DF=λDB(0≤λ≤1)，

故EC=(−1,3,0),ED=(1,0,3),DB=(−1,23,−3)，

AD=AD+18.解：(1)由题意知，f(0)=0且f′(0)=0，x>−1，

∵f′(x)=cosx+1x+1−a，

∴f′(0)=2−a=0，解得a=2，

∴f(x)=sinx+ln(x+1)−2x，f′(x)=cosx+1x+1−2，

当x≥0时，cosx≤1，1x+1≤1，故f′(x)≤0，故f(x)在区间[0,+∞)上单调递减，

则f(x)≤f(0)=0，

当−1<x<0时，令g(x)=cosx+1x+1−2，则g′(x)=−sinx−1(x+1)2，

∵−sinx∈(0,1)，1(x+1)2>1，g′(x)=−sinx−1(x+1)2<0，

∴f′(x)在区间(−1,0)上单调递减，f′(x)>f′(0)=0，

∴f(x)在区间(−1,0)上单调递增，则f(x)<f(0)=0，即x=0时，函数取得最大值0，

综上所述，a=2，f(x)的最大值为0；

证明：(2)要证f(x)+2x>12，即证sinx+ln(x+1)>12，

记m(x)=sinx+ln(x+1)−12，m′(x)=cosx+1x+1，

当x∈[π6,5π6]时，12≤sinx≤1，ln(x+1)>0，m(x)=sinx+ln(x+1)−12>0，

当x∈(5π6,π]时，记n(x)=m′(x)=cosx+1x+1，则n′(x)=−sinx−1(x+1)2<0，

∴m′(x)在区间(5π6,π]上单调递减，则m′(x)<m′(5π6)=−32+65π+6<0，m(x)在区间(5π6,π]上单调递减，

∴m(x)≥m(π)=sinπ+ln(π+1)−12=ln(π+1)−12，

综上所述，当x∈[π6,π]时，f(x)+2x>12；

解：(3)f(x)+x=0有2个不相等的实数根，证明如下：

设ℎ(x)=f(x)+x=sinx+ln(x+1)−x，

∴ℎ′(x)=cosx+1x+1−1，

当19.解：(1)易知a1=1，a2=1，a3=5，a4=1，a5=1，⋯(后续直到20都不满足条件)，

∴2和5为两个质数“理想数”；

(2)由题设可知am=m−9必为奇数，∴m必为偶数，

∴存在正整数p，使得m2p=m−9，即m=92p−1+9：

∵92p−1∈Z，且2p−1≥1，

∴2