2024-2025学年江西省抚州市临川二中高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江西省抚州市临川二中高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若直线3x+2y−3=0和直线6x+my+1=0互相平行，则m的值为(

)A.−9 B.32 C.−4 D.2.若两个非零向量a，b的夹角为θ，且满足|a|=2|b|，(aA.−23 B.−13 C.3.已知直线3x−(a−2)y−2=0与直线x+ay+8=0互相垂直，则a=(

)A.1 B.−3 C.−1或3 D.−3或14.为了得到函数y=sin(5x+π3)的图象，只要将函数A.向左平移π15个单位长度 B.向右平移π15个单位长度

C.向左平移π3个单位长度 D.5.过点(3,−2)且与椭圆4x2A.x215+y210=1 6.已知圆的方程为x2+y2−2x=0，M(x,y)为圆上任意一点，则A.[−3,3] B.[−1,1]7.已知圆C：(x−3)2+(y−4)2=1和两点A(−m，0)，B(m，0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB=90°A.7 B.6 C.5 D.48.已知向量a，b满足|a|=1，|2a+b|+|A.[2−3,2] B.[1,3]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知i为虚数单位，在复平面内，复数z=2i2+i，以下说法正确的是(

)A.复数z的虚部是45i B.|z|=1

C.复数z的共轭复数是z−=210.已知椭圆C：x225+y29=1，F1A.椭圆离心率为925

B.|PF1|+|PF2|=10

C.若∠F111.已知点A(−2,−1)，B(2,2)，直线l：2ax−2y+3a−3=0上存在点P满足|PA|+|PB|=5，则直线l的斜率可能为(

)A.−1 B.0 C.1 D.2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若圆M：(x−3)2+(y+1)2=4与圆N：x13.如图，已知A为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，它关于原点的对称点为B，点F14.在平面直角坐标系xOy中，过点P(a,0)向圆C：(x−1)2+(y−4)2=7引切线，切线长为l.设点P到直线2x−3y−6=0的距离为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

(1)若直线l1的一个方向向量为a=(1,2)，且l1在y轴上的截距为−2，求直线l1的方程；

(2)已知直线l2：m(x−1)+y−2m+1=0恒过定点P，直线l3：x−my+2m+1=0恒过定点Q，已知l2和l3交于点M．

①求出定点P，16.(本小题15分)

已知圆O1的方程为(x−1)2+y2=4．

(1)若圆O2与圆O1关于直线x+y+2=0对称，求圆O2的方程；

(2)若O2(3,2)，圆O17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，AD=1,BC=3,CD=2,AC=5,BC⊥PC，PC=PD，侧面PCD⊥平面ABCD．

(1)证明：BC⊥平面PCD；

(2)证明：BC//平面PAD；

(3)若直线BP与平面ABCD所成角的正切值为10518.(本小题17分)

已知圆O：x2+y2=4．

(1)若线段AB端点B的坐标是(4,2)，端点A在圆O上运动，求线段AB的中点D的轨迹方程；

(2)若EF，GH为圆O：x2+y219.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，点T(b,3ba)在椭圆C上，O为坐标原点．

(1)求椭圆的方程；

(2)如图，设R(x0,y0)是椭圆C上一动点，由原点O向圆R：(x−x0)

参考答案1.D

2.A

3.C

4.A

5.A

6.C

7.B

8.D

9.CD

10.BCD

11.ACD

12.−1

13.314.1315.解：(1)因为直线l1的一个方向向量为a=(1,2)，所以直线l1的斜率为21=2，

又因为l1在y轴上的截距为−2，

所以直线l1的方程为y=2x−2，

即2x−y−2=0；

(2)直线l2：m(x−1)+y−2m+1=0整理可得：m(x−3)+y+1=0，

令x−3=0y+1=0，解得x=3，y=−1，即直线l2恒过定点P(3,−1)，

直线l3：x−my+2m+1=0整理可得m(2−y)+x+1=0，

令x+1=02−y=0，可得x=−1，y=2，所以直线l3恒过定点Q(−1,2)，

直线l2：m(x−1)+y−2m+1=0即为mx+y−3m+1=0，直线l3：x−my+2m+1=0，

又因为m×1+1×(−m)=0，

可得直线l2⊥l3，

所以点16.解：(1)由题可得：圆O1的圆心坐标为O1(1,0)，半径r1=2，

设点O1(1,0)关于直线x+y+2=0对称的点O2(a,b)，

则ba−1=1a+12+b2+2=0，解得a=−2b=−3，

所以圆O2的方程为(x+2)2+(y+3)2=4．

(2)设圆O2的圆心为(3,2)，半径为r，

两圆圆心距|O1O2|=(3−1)2+22=22，

因为圆O217.解：(1)证明：在△PCD中，取CD的中点M，连接PM，

∵PC=PD，所以PM⊥CD，

∵侧面PCD⊥平面ABCD，且侧面PCD∩平面ABCD=CD，PM⊂平面PCD，

∴PM⊥平面ABCD，

∵BC⊂平面ABCD，∴PM⊥BC，

又BC⊥PC，PM∩PC=P，PM，PC⊂平面PCD，

∴BC⊥平面PCD．

(2)证明：由(1)知BC⊥平面PCD，又CD⊂平面PCD，

∴BC⊥CD，

在△ACD中，∵AD=1,CD=2,AC=5，

∴AD2+CD2=AC2，

即AD⊥CD，

在同一平面ABCD中，∵AD⊥CD，BC⊥CD，

∴BC/​/AD，

∵BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

∴BC/​/平面PAD．

(3)由(1)知PM⊥平面ABCD，连接MB，

则∠PBM为直线BP与平面ABCD所成的角．

在Rt△BCM中，BC=3，CM=1，∴BM=BC2+CM2=32+12=10，

在Rt△PBM中，18.解：(1)根据题意，设A(x0,y0)，AB的中点为D(x,y)，

则x=x0+42y=y0+22，可得x0=2x−4y0=2y−2，

将A(2x−4,2y−2)代入圆C：x2+y2=4，得(2x−4)2+(2y−2)2=4．

化简得(x−2)2+(y−1)2=1，即为线段AB的中点D的轨迹方程；

(2)设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d119.解：(1)因为椭圆C的离心率为22，

所以e=ca=22，①

又因为点T(b,3ba)在椭圆C上，

所以b2a2+(3ba)2b2=1，