2024-2025学年湖南省名校大联考高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省名校大联考高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=4+ii在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知椭圆x2a2+y23=1(a>3)的离心率为12A.1 B.3 C.2 D.3.设a∈R，直线l1：(a+1)x+y−1=0，l2：2x+ay−(a+2)=0，则“a=1”是“l1//A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若函数f(x)=(x2+ax)3A.−1 B.0 C.1 D.35.已知点(x0,y0)为直线x+2y+6=0A.3 B.2 C.5 6.如图，在异面直线m，n上分别取点A，B和C，D，使AB=2，CD=4，BD=6，且AC⊥m，AC⊥n，若<AB,CD>=π3，则线段ACA.2 B.22 C.27.已知点P为椭圆x216+y29=1上任意一点，则点P到直线A.25 B.4 C.28.如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，PA=3，∠ABC=∠BAP=π3，且cos∠PAD=16A.−277

B.277二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.党的二十大作出“发展海洋经济，保护海洋生态环境，加快建设海洋强国”的战略部署.如图是2018−2023年中国海洋生产总值的条形统计图，根据图中数据可知下列结论正确的是(

)

A.从2020年开始，中国海洋生产总值逐年增大

B.从2019年开始，中国海洋生产总值的年增长率最大的是2021年

C.这6年中国海洋生产总值的极差为15122

D.这6年中国海洋生产总值的80%分位数是9462810.已知圆M：(x−1)2+y2=1与圆N：x2+(y−2)2=4相交于A，A.直线AB的方程是x−2y=0

B.A，M，B，N四点不共圆

C.圆M的过点A的切线方程为3x+4y−8=0

D.cos11.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点PA.若A，B，D，A1，P在同一球面上，则λ=3

B.若AB//平面A1DP，则λ=2

C.若点P到A，B，D，A1四点的距离相等，则λ=2

D.若A三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知直线l：y=kx+2在x轴上的截距为1，则k=______．13.已知tanα=2，则sinαcosα−sin2α+1=14.古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点A(−7,0)，B为直线l：4x+3y+11=0上的动点，P为圆C：(x−2)2+y2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知直线l1的方程为(a+4)x−ay+2=0，直线l2经过点A(12,0)和B(0,1a)．

(1)若l1⊥l2，求a的值；16.(本小题15分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3asinC=ccosA+c．

(1)求A；

(2)若C=π4,△ABC的面积为217.(本小题15分)

已知圆E：x2−2mx+y2−12m=0，点A(1,0)关于直线l：y=ax+b的对称点为B(−2,3)．

(1)求l的方程；

(2)若l与圆E相交于M，N两点，圆心E到l的距离为2，圆C的圆心在线段MN18.(本小题17分)

如图，在三棱锥P−ABC中，PA=AB=BC=2,PB=AC=22,PA⊥BC,M,N分别是棱PB，CA上的动点(不含端点)，且BM=CN．

(1)证明：平面ABC⊥平面PAB．

(2)设BM=t，则当t为何值时，MN的长度最小？

(3)当MN的长度最小时，求平面AMN与平面PAB19.(本小题17分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(3,1)，且离心率为63,O为坐标原点．

(1)求E的方程．

(2)过点P(0,3)且不与y轴重合的动直线l与E相交于A，B两点，AB的中点为Q．

(i)证明：直线l参考答案1.D

2.B

3.A

4.B

5.C

6.C

7.D

8.D

9.ABD

10.AC

11.BCD

12.−2

13.3514.9

15.(1)直线l2经过点A(12,0)和B(0,1a)，所以a≠0，

所以直线l2的斜率为k=1a−00−12=−2a，因为直线l1的斜率为a+4a，l1⊥l2，

所以a+4a×(−2a)=−1，解得a=−2或a=4．

(2)16.解：(1)由3asinC=ccosA+c，由正弦定理可得：3sinAsinC=sinCcosA+sinC，

又C∈(0,π)，sinC≠0，可得3sinA=cosA+1，

即3sinA−cosA=1，

可得sin(A−π6)=12，

又A∈(0,π)，所以A−π6∈(−π6,5π6)，

所以A−π6=π6，

解得A=π3；

(2)因为C=π4，由(1)知A=π3，所以B=π−π317.解：(1)因为点A(1,0)关于直线y=ax+b的对称点为B(−2,3)，

所以3−3×a=−1，解得a=1，

又AB中点为(−12,32)，

则32=−12+b，解得b=2，

所以直线l的方程为y=x+2．

(2)因为圆E：x2−2mx+y2−12m=0的圆心为E(m,0)，

由点到直线的距离公式得|m+2|2=2，

解得m=0或m=−4，当m=0时，圆E：x2+y2=0，不合题意，舍去，

所以m=−4，圆E：x2+8x+y2+2=0，即(x+4)2+y2=14，

由x2+8x+y2+2=018.解：(1)证明：由于PA=AB=2,PB=22，

所以PA⊥AB，

又PA⊥BC，BC∩AB=B，BC，AB⊂平面ABC，

所以PA⊥平面ABC，

又因为PA⊂平面PAB，所以平面ABC⊥平面PAB．

(2)作MD//PA交AB于D，连接DN，

由于PA⊥平面ABC，故MD⊥平面ABC，MN⊂平面ABC，故MD⊥MN，

BM=t，故BD=DM=22BM=22t，

CN=t，故AN=22−t，又易知△ABC是等腰直角三角形，

由余弦定理可得DN2=AD2+AN2−2AD⋅ANcos45°

=(2−2t2)2+(22−t)2−2(2−2t2)(22−t)=12t2−22t+4，

故NM=MD2+DN2=t2−22t+4=(t−2)2+2，

故当t=2时，此时MN的最小值为2．

(3)由于AB=BC=2,AC=22，故AB⊥BC，

以B为坐标原点，以BC，BA所在的直线分别为x和y轴，19.解：(1)由已知，得9a2+1b2=1,ca=63,a2=b2+c2,解得a=23