2024-2025学年湖北省武汉四中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖北省武汉四中高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知A，B，C，D，E是空间中的五个点，其中点A，B，C不共线，则“存在实数x，y，使得DE=xAB+yAC是“DE//平面ABCA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2.图中的直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3A.k1<k2<k3 B.3.李华家养了白、灰、黑三种颜色的小兔各1只，从兔窝中每次摸取1只，有放回地摸取3次，则3次摸取的颜色不全相同的概率为(

)A.19 B.89 C.134.已知直线l的方向向量为n=(1,2,−2)，A(3,0,1)为直线l上一点，若点P(4,3,0)为直线l外一点，则P到直线l上任意一点Q的距离的最小值为(

)A.2 B.3 C.2 5.下列命题：①若向量a,b满足a⋅b<0，则向量a,b的夹角是钝角；②若OA,OB,OC是空间的一组基底，且OD=2OA−3OB+2OC，则A，B，C，D四点共面；③若向量{a,b,c}是空间的一个基底，若向量m=a+c，则{a,b,mA.1 B.2 C.3 D.46.已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：75270293714098570347437386366947761042811417A.0.852 B.0.8192 C.0.8 D.0.757.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为(

)A.116B.316C.148.将边长为22的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A−BD−C，则下列结论不正确的是(

)A.AC⊥BD B.△ACD是等边三角形

C.点B与平面ACD的距离为23 D.AB与CD二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个随机事件，则P(A⋃B)=P(A)+P(B)；③若事件A，B满足P(A)=13，P(B)=34，P(AB)=14，则A，B相互独立；④若事件A，B满足P(A)+P(B)=1，则A与BA.① B.② C.③ D.④10.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BB1=BC=2，E，F，N分别为AC，CC1和BC的中点，A.BF⊥DE

B.三棱锥F−DEN的体积为定值

C.FD⋅AA1=3

D.异面直线A1C与B1N所成角的余弦值为155

11.如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，半圆面APD⊥平面ABCD，点P为半圆弧AD上一动点(点PA.三棱锥P−ABD的四个面都是直角三角形

B.三棱锥P−ABD的体积最大值为1254

C.当∠PAD=30°时，异面直线PA与BD夹角的余弦值为64

D.当直线PB与平面ABCD所成角最大时，平面PAB截四棱锥三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知直线l1的倾斜角为45°，直线l1//l2，若直线l2过点A(2,3)，B(5,n)，则13.如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，∠A114.甲、乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为12，乙队中3名选手答对题的概率分别为23,13,14.在第一轮比赛中，甲队得x四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F，M分别是线段A1D，EC，AA1的中点.设AB=a，AD=b，AA1=c．16.(本小题15分)

已知不透明的盒子中装有标号为1，2，3的小球各2个(小球除颜色、标号外均相同)．

(1)若一次取出3个小球，求取出的3个小球上标号均不相同的概率；

(2)若有放回地先后取出2个小球，求取出的2个小球上标号不相同的概率．17.(本小题15分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=5，BC=2BB1=2，P，Q分别为B1C1，A1B的中点．

(1)证明：A1B⊥CP；

(2)求直线A1B与平面18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA=AD=1,PB=BD=2,AB=3,∠BDC=60°，且BD⊥BC．

(1)若点E在PC上，且BE//平面PAD，证明：E为PC的中点；

(2)已知二面角P−AB−D的大小为60°，求平面PBD与平面PCD19.(本小题17分)

某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三人通过初赛，进入决赛.决赛比赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人累计获胜三局，则此人获得比赛胜利，比赛结束.假设每局比赛双方获胜的概率均为12，且每局比赛相互独立．

(1)求比赛进行四局结束的概率；

(2)求甲获得比赛胜利的概率．

参考答案1.B

2.D

3.B

4.C

5.C

6.D

7.D

8.C

9.BD

10.ABD

11.ACD

12.6

13.2

14.7928815.解：(1)因为A1E=12(A1D1+A1A)=12b−12c，A1C=A1A+AC=a+b−c，

所以A116.解：(1)分别记6个小球为a1，a2，a3，b1，b2，b3，

从中任取3个小球有20个基本事件，分别为：

(a1,b1,a2)，(a1,b1,b2)，(a1,b1,a3)，(a1,b1,b3)，(a1,a2,b2)，(a1,a2,a3)，(a1,a2,b3)，

(a1,b2,a3)，(a1,b2,b3)，(a1,a3,b317.解：(1)证明：连接A1P，BP，∵A1B1=A1C1，∴A1P⊥B1C1，

∵平面A1B1C1⊥平面CBB1C1，又平面A1B1C1∩平面CBB1C1=B1C1，

∴A1P⊥平面CBB1C1，∴A1P⊥CP，

在矩形BB1C1C中，易知CP=BP=2，则CP2+BP2=BC2，即BP⊥CP，又A1P∩BP=P，

∴CP⊥平面A1PB，又A1B⊂平面A1PB，

∴CP⊥A1B；

(2)取BC的中点M，连接PM，

由(1)及题意易知A1P，PM，PB1两两垂直，故建系如图：

∵A1B1=5，PB1=1，

∴A18.解：(1)因为在四棱锥P−ABCD中，PA=AD=1,PB=BD=2,AB=3，

AB2+AD2=BD2，AB2+PA2=PB2，

所以，AB⊥AD，AB⊥PA，

在直角三角形BAD中，∠BDA=60°，

又因为∠BDC=60°，BD为∠ADC的平分线，

延长CB、DA交于点F，连接PF，

在△CDF中，BD⊥BC，所以，△CDF是等腰三角形，

所以，点B是CF的中点，

因为直线BE//平面PAD，过BE的平面PFC与平面PAD的交线为PF，则BE/​/PF，

因为B是CF的中点，所以E是PC的中点．

(2)在△ABD中，AD=2，BD=4，AB=23，则∠BAD=90°，即BA⊥AD，

由已知得∠BDC=∠BDA=60°，CD=8，

又平面PAD⊥平面ABCD，BA⊂平面ABCD，所以BA⊥平面PAD，

因为PA⊂平面PAD，即BA⊥PA，

所以，∠PAD为二面角P−AB−D的平面角，所以∠PAD=60°，

又PA=AD=2，所以△PAD为正三角形，

取AD的中点为O，连OP，则OP⊥AD，OP⊥平面ABCD，

以点O为坐标原点，OA、OP所在直线分别为x、z轴，

平面ABCD内垂直于直线AD的直线为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(1,0,0),B(1,23,0),C(−5,43,0),D(−1,0,0),P(0,0,3)，

所以DP=(1,0,3),BD=(−2,−23,0),DC=(−4,43,0)，

设19.解：(1)比赛进行四局