2024-2025学年北京八十中高二（上）期中数学试卷（含答案）VIP

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京八十中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知a=(0,−1,1)，b=(1,2,−1)，则a与b的夹角为(

)A.30° B.60° C.150° D.120°2.圆O1：x2+yA.相交 B.相离 C.外切 D.内切3.双曲线x215−yA.(±14,0) B.(0,±14)4.下列命题中，正确的是(

)A.若a≠b，则|a|≠|b|B.若|a|>|b|，则a>b5.两平行直线l1：3x+2y+1=0与l2：6x+4y+1=0之间的距离为(

)A.1326 B.1313 C.6.已知椭圆的方程为2x2+3yA.13 B.33 C.7.若{a,b,A.a+b，a+b+c，2c B.a−c，a−b，b−c

8.设a∈R，直线l1：(a+1)x+y−1=0，l2：2x+ay−(a+2)=0，则“a=1”是“l1//A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.直线y=x+b与曲线x=1−y2有且仅有一个公共点，则bA.|b|=2 B.−1<b≤1或b=−2

C.−1≤b≤10.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥AB，AC=AB=CC1=1，E是线段AB的中点，在△A1A.332B.2333

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。11.已知a=(2,−1,3)，b=(−4,2,x)，且a⊥b，则12.方程x2+y2−2x+4y+m=013.双曲线y2−2x14.已知椭圆C：x225+y29=1，则此椭圆的焦距长为______；设F1，F2为的两个焦点，过F1的直线交椭圆于15.已知实数a，b满足4a−2b+3=0，则(a−2)216.如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P、Q分别在线段AD、CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中，已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动．同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则在点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的盲区中的时长约为

秒(精确到0.1)三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

如图，已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．

(1)证明：PA//平面BDE；

(2)求二面角B−DE−C的余弦值．18.(本小题14分)

已知圆C的圆心是直线x+y−3=0与直线x+2y−4=0的交点，且和直线x+1=0相切，直线l：(m+2)x+(1−2m)y−10=0，直线l与圆C相交于P，Q两点．

(1)求圆C的标准方程；

(2)求直线l所过的定点；

(3)当△CPQ的面积最大时，求直线l的方程．19.(本小题14分)

如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E为BC的中点.点M在BD1上.

(1)求证：AC⊥平面BDM；

(2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使点M唯一确定．

求直线EM与平面MCD所成角的大小，及点E到平面MCD的距离．

条件①：MA=MC；

条件②：EM⊥AD；

条件20.(本小题14分)

已知P(0,2)和Q(2,1)为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的两点．

(1)求椭圆C的离心率；21.(本小题14分)

设有限集合E={1,2,3,⋯,N}，对于集合A⊆E，A={x1,x2,x3,⋯,xm}，给出两个性质：

①对于集合A中任意一个元素xk，当xk≠1时，在集合A中存在元素xi，xj(i≤j)，使得xk=xi+xj，则称A为E的封闭子集；

②对于集合A中任意两个元素xi，xj(i≠j)，都有xi+xj∉A，则称A为E的开放子集．

(Ⅰ)若N=20，集合A={1,2,4,6,8,10}，B={x|x=3k+1,k≤6,k∈N∗}，判断集合A，B为E的封闭子集还是开放子集；(参考答案1.C

2.A

3.C

4.C

5.A

6.B

7.D

8.A

9.B

10.C

11.10312.(−∞,5)

13.62

14.8

8

15.5

16.4.4

17.(1)解法一：连接AC，设AC与BD交于O点，连接EO．

∵底面ABCD是正方形，∴O为AC的中点，又E为PC的中点，

∴OE/​/PA，

∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，

∴PA/​/平面BDE．

解法二：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A(2,0,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，B(2,2,0)．

∴PA=(2,0,−2),DE=(0,1,1),DB=(2,2,0)，

设n1=(x,y,z)是平面BDE的一个法向量，

则由n1⋅DE=0n1⋅DB=0，得y+z=02x+2y=0，∴n1=(1,−1,1)．

∵PA⋅n1=2−2=0，

∴PA⊥n1，

又PA⊄平面BDE，∴PA/​/平面BDE．18.解：(1)因为圆C的圆心是直线x+y−3=0与直线x+2y−4=0的交点，

由x+y−3=0x+2y−4=0，得x=2y=1，

即圆心C(2,1)，

又圆C和直线x+1=0相切，设圆C的半径为R，

则R=2−(−1)=3，

所以圆C的标准方程为(x−2)2+(y−1)2=9；

(2)由直线l：(m+2)x+(1−2m)y−10=0，

得m(x−2y)+2x+y−10=0，

由x−2y=02x+y−10=0，解得x=4y=2，

所以直线l过定点(4,2)；

(3)因为S△CPQ=12|CP|⋅|CQ|⋅sin∠PCQ，

所以当∠PCQ=90°时，△CPQ的面积最大，

此时△CPQ为等腰三角形，

故圆心到直线l的距离为d=19.解：(1)证明：因为ABCD−A1B1C1D1是正方体，

所以DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DD1⊥AC，

因为AC⊥BD，BD∩DD1=D，所以AC⊥平面BDD1，

又点M在BD1上，所以AC⊥平面BDM；

(2)选条件①：由MA=MC，根据正方体的对称性可知，此时M为BD1上的任意一点，不符合题意；

选条件②：连接CD1，在正方体中，BC⊥平面CDD1C1，因为CD1⊂平面CDD1C1，所以BC⊥CD1，

又EM⊥AD，AD//BC，所以EM⊥BC，因为EM，CD1⊆平面BCD1，所以EM//CD1，

又E为BC中点，所以M为BD1中点，即此时M为BD1上确定的一点；

选条件③：连接CD1，因为EM/​/平面CDD1C1，EM⊂平面BCD1，且平面BCD1∩平面CDD1C1=CD1，所以EM//CD1，

因为E为BC中点，所以M为BD1中点，即此时M为BD1上确定的一点；

根据题意条件①不符合题意，条件②③均可使点M唯一确定，并且可得到M为BD120.解：(1)依题意有2b2=12a2+1b2=1，解得a2=4b2=2，

所以c2=a2−b2=4−2=2，所以a=2，b=2，c=2，

所以椭圆离心率e=ca=22．

(2)由(1)有椭圆标准方程为x24+y22=1，

联立y=kx+1x24+y22=1，消去y得(1+2k2)x2+4kx−2=0，

Δ=16k2+8(1+2k2)=32k21.解：(Ⅰ)对于A，∵2=1+1，4=2+2，6=2+4，8=2+6，10=2+8，

且A⊆E，则A为E的封闭子集．

对于B，由题可得B={4,7,10,13,16,19}，

其中任意两个元素相加之和都不在集合B中，任意元素也不是其他两元素之和，且B⊆E，

∴B是E的开放子集．

(Ⅱ)由题意，A={1,x2,x3,⋅⋅⋅,xm−1,100}，设1<x2<x3<⋅⋅⋅<xm−1<100，

∵集合A中任意一个元素中任意一个元素xk，当xk≠1时，在集合A中存在元素xi，xj(i≤j)，

使得xk=xi+xj，则xn−1+1≤xn≤2xn−1，其中n∈[2,m]，n，xn∈N∗，

得x2=2，3≤x3≤4，4≤x4≤8，5≤x5≤16，6≤x6≤3