2024-2025学年高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例学案含解析新人教A版选修2-2

PAGE1.4生活中的优化问题举例内容标准学科素养1.通过实例体会导数在解决实际问题中的应用；2.能够利用导数解决简洁的实际生活中的优化问题.培育数学建模实践化归转化提升数学运算授课提示：对应学生用书第19页[基础相识]学问点生活中的优化问题学问梳理(1)生活中常常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．(2)利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．(3)解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．思索：解决生活中优化问题应当留意哪些问题？提示：(1)在求实际问题的最大(小)值时，肯定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，假如函数在这点有极大(小)值，那么不将该点处的函数值与区间端点处的函数值比较，也可以知道函数在该点处取得最大(小)值．(3)在解决优化问题时，不仅要留意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示出来，还应确定出函数关系中自变量的定义区间．[自我检测]1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数解析式为y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()A．13万件 B．11万件C．9万件 D．7万件解析：y′＝－x2＋81，所以当x＞9时，y′＜0；当x∈(0,9)时，y′＞0，所以函数y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减，所以x＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处取得最大值．答案：C2．已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的体积V最大时，圆柱的高h的值为________．解析：设圆柱的底面半径为r，底面面积为S1，侧面面积为S2，则S1＝2πr2，S2＝2πrh，所以S＝2πr2＋2πrh，所以h＝eq\f(S－2πr2,2πr)，又圆柱的体积V＝πr2h＝eq\f(r,2)(S－2πr2)＝eq\f(rS－2πr3,2)，V′＝eq\f(S－6πr2,2)，令V′＝0得S＝6πr2，所以h＝2r，因为只有一个极值点，故当h＝2r时圆柱的体积最大．又r＝eq\r(\f(S,6π))，所以h＝2r＝2eq\r(\f(S,6π))＝eq\f(\r(6πS),3π).即当圆柱的体积V最大时，圆柱的高h为eq\f(\r(6πS),3π).答案：eq\f(\r(6πS),3π)授课提示：对应学生用书第19页探究一面积、容积的最值问题[例1]请你设计一个包装盒，如图，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形态的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．[解析]设包装盒的高为hcm，底面边长为acm.由已知得a＝eq\r(2)x，h＝eq\f(60－2x,\r(2))＝eq\r(2)(30－x)，0＜x＜30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以当x＝15时，S取得最大值．(2)V＝a2h＝2eq\r(2)(－x3＋30x2)，V′＝6eq\r(2)x(20－x)．由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．此时eq\f(h,a)＝eq\f(1,2)，即包装盒的高与底面边长的比值为eq\f(1,2).方法技巧(1)解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．假如函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f′(x)＝0，则只须要依据实际意义推断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．跟踪探究1.三棱锥O­ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OC＝2x，OA＝x，OB＝y，且x＋y＝3，则三棱锥O­ABC体积的最大值为()A．4 B．8C.eq\f(4,3) D.eq\f(8,3)解析：V＝eq\f(1,3)×eq\f(2x2,2)·y＝eq\f(x2y,3)＝eq\f(x23－x,3)＝eq\f(3x2－x3,3)(0＜x＜3)，V′＝eq\f(6x－3x2,3)＝2x－x2＝x(2－x)．令V′＝0，得x＝2或x＝0(舍去)．所以x＝2时，V最大为eq\f(4,3).答案：C2．在半径为r的圆内，作内接等腰三角形，当底边上的高为________时它的面积最大．解析：如图，设∠OBC＝θ，则0＜θ＜eq\f(π,2)，OD＝rsinθ，BD＝rcosθ.所以S△ABC＝rcosθ(r＋rsinθ)＝r2cosθ＋r2sinθ·cosθ.令S′＝－r2sinθ＋r2(cos2θ－sin2θ)＝0，所以cos2θ＝sinθ，所以1－2sin2θ＝sinθ，解得sinθ＝eq\f(1,2)，又0＜θ＜eq\f(π,2)，所以θ＝eq\f(π,6).即当θ＝eq\f(π,6)时，△ABC的面积最大，即高为OA＋OD＝eq\f(3r,2)时面积最大．答案：eq\f(3r,2)探究二费用(用料)最省问题[例2]为了在夏季降温柔冬季供暖时削减能源损耗，房屋的屋顶和外墙须要建立隔热层．某幢建筑物要建立可运用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建立成本为6万元．该建筑每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满意关系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建立费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．[解析](1)由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝eq\f(k,3x＋5)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝eq\f(40,3x＋5).又建立费用为C1(x)＝6x，故隔热层建立费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq\f(40,3x＋5)＋6x＝eq\f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－eq\f(2400,3x＋52)，令f′(x)＝0，即eq\f(2400,3x＋52)＝6，解得x＝5或x＝－eq\f(25,3)(舍去)．当0≤x＜5时，f′(x)＜0；当5＜x≤10时，f′(x)＞0，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋eq\f(800,15＋5)＝70.故当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小，为70万元．方法技巧(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所探讨的对象．正确书写函数表达式，精确求导，结合实际作答．(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，假如函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．跟踪探究3.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋eq\r(x))x万元．假设桥墩等距离分布，全部桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解析：(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，即n＝eq\f(m,x)－1.所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋eq\r(x))x＝256eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,x)－1))＋eq\f(m,x)(2＋eq\r(x))x＝eq\f(256m,x)＋meq\r(x)＋2m－256.(2)由(1)知，f′(x)＝－eq\f(256m,x2)＋eq\f(1,2)mx－eq\f(1,2)＝eq\f(m,2x2)(xeq\f(3,2)－512)．令f′(x)＝0，得xeq\f(3,2)＝512，所以x＝64.当0＜x＜64时，f′(x)＜0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64＜x＜640时，f′(x)＞0，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x＝64处取得最小值．此时n＝eq\f(m,x)－1＝eq\f(640,64)－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y最小．探究三利润最大问题[例3]某商场销售某种商品的阅历表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满意关系式y＝eq\f(a,x－3)＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．[解析](1)因为x＝5时，y＝11，所以eq\f(a,2)＋10＝11，a＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,x－3)＋10x－62))＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6.从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．于是，当x改变时，f′(x)，f(x)的改变状况如表x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值42单调递减由表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42，即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．方法技巧解决此类有关利润的实际应用题，应敏捷运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有(1)利润＝收入－成本；(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪探究4.某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，再打算在该厂旁边建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建立宿舍的全部费用p(万元)和宿舍与工厂的距离x(km)的关系为：p＝eq\f(1000,x＋5)(2≤x≤8)．为了交通便利，工厂与宿舍之间还要修一条简易便道，已知修路每公里成本为5万元，工厂一次性补贴职工交通费eq\f(1,2)(x2＋25)万元．设f(x)为建立宿舍、修路费用与给职工的补贴之和．(1)求f(x)的表达式．(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f(x)最小，并求最小值．解析：(1)f(x)＝eq\f(1000,x＋5)＋5x＋eq\f(1,2)(x2＋25)整理得f(x)＝eq\f(1,2)(x＋5)2＋eq\f(1000,x＋5)(2≤x≤8)．(2)f′(x)＝(x＋5)－eq\f(1000,x＋52)＝eq\f(x＋53－1000,x＋52)由f′(x)≥0得x≥5；所以f(x)在[2,5]上单调递减，在[5,8]上单调递增；故当x＝5时，f(x)取得最小值150.综上所述，宿舍应建在离工厂5km处，可使总费用f(x)最小，最小值为150万元.授课提示：对应学生用书第20页[课后小结](1)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：①分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；②求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；③比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．(2)正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用题的主要思路，另外须要特殊留意：①合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；②与实际问题相联系；③必要时留意分类探讨思想的应用．[素养培优]解决实际优化问题时忽视定义域致误易错案例：甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成．可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b(b＞0)，固定部分为a元．(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数