2024-2025学年新教材高中数学第7章三角函数7.4三角函数应用学案苏教版必修第一册

7.4三角函数应用学习任务核心素养1．会用三角函数解决一些简洁的实际问题．(重点)2．体会三角函数是描述周期改变现象的重要函数模型．(难点)1．通过建立三角模型解决实际问题，培育数学建模素养．2．借助实际问题求解，提升数学运算素养.生活中普遍存在着周期性改变规律的现象，昼夜交替、四季轮回、潮涨潮散、云卷云舒，心情的起起落落，庭前的花开花谢，一切都逃不过数学的眼睛！我们须要学习如何用数学的眼睛洞察我们身边存在的周期现象．学问点1函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念设物体做简谐运动时，位移s和时间t的关系为s＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)，其中A是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；往复振动一次所需的时间T＝eq\f(2π,ω)称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)称为振动的频率；ωt＋φ称为相位，t＝0时的相位φ称为初相．1.简谐运动y＝eq\f(1,4)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)x－\f(π,12)))的振幅为________，周期为________，频率为________，初相为________．eq\f(1,4)6eq\f(1,6)－eq\f(π,12)[由简谐运动的相关概念可知，A＝eq\f(1,4)，T＝eq\f(2π,\f(π,3))＝6，f＝eq\f(1,T)＝eq\f(1,6)，初相φ＝－eq\f(π,12).]学问点2三角函数的应用(1)三角函数模型的应用①依据实际问题的图象求出函数解析式．②将实际问题抽象为与三角函数有关的简洁函数模型．③利用收集的数据，进行函数拟合，从而得到函数模型．(2)解答三角函数应用题的一般步骤在函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)中，A，b与函数的最值有何关系？[提示]A，b与函数的最大值ymax，最小值ymin关系如下：(1)ymax＝A＋b，ymin＝－A＋b；(2)A＝eq\f(ymax－ymin,2)，b＝eq\f(ymax＋ymin,2).2.思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sinx＋\f(1,2)))的周期为π.()(2)一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4s，振幅为5cm，则该振子在2s内通过的路程为50cm.()(3)电流强度I(A)随时间t(s)改变的关系式是I＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,3)))，则当t＝eq\f(1,200)s时，电流强度I为eq\f(5,2)A．()[提示](1)错误．函数y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sinx＋\f(1,2)))的周期为2π.(2)错误．一个周期通过路程为20cm，所以2s内通过的路程为20×eq\f(2,0.4)＝100(cm)．(3)正确．[答案](1)×(2)×(3)√类型1三角函数模型在物理学中的应用【例1】已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的改变规律为s＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．(1)小球在起先振动(t＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？(3)经过多长时间小球往复振动一次？[解]列表如下：t－eq\f(π,6)eq\f(π,12)eq\f(π,3)eq\f(7π,12)eq\f(5π,6)2t＋eq\f(π,3)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))010－10s040－40描点、连线，图象如图所示．(1)将t＝0代入s＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))，得s＝4sineq\f(π,3)＝2eq\r(3)，所以小球起先振动时的位移是2eq\r(3)cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4cm和－4cm.(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是πs.物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)表示位移y与x的改变规律，各个参数(A、ω、φ、T、f)的意义是什么？[提示]在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)表示物体振动的位移y随时间x的改变规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝eq\f(2π,ω)为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f＝eq\f(1,T)为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数．[跟进训练]1．已知电流I＝Asin(ωt＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))在一个周期内的图象如图．(1)依据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；(2)假如t在随意一段eq\f(1,150)秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？[解](1)由图知，A＝300.eq\f(T,2)＝eq\f(1,180)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,900)))＝eq\f(1,150)，∴T＝eq\f(1,75)，∴ω＝eq\f(2π,T)＝150π.I＝300sin(150πt＋φ)．由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,900)，0))为第一个关键点，∴150π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,900)))＋φ＝0，∴φ＝eq\f(π,6)，∴所求解析式为I＝300sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(150πt＋\f(π,6)))，t∈[0，＋∞)．(2)由题意T≤eq\f(1,150)，即eq\f(2π,ω)≤eq\f(1,150)，∴ω≥300π≈942.4，∴所求ω的最小正整数值是943.类型2三角函数模型的实际应用【例2】已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：t03691215182124y1.51.00.51.01.510.50.991.5经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b的图象．(1)依据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；(2)依据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，推断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？[解](1)由表中数据可知，T＝12，∴ω＝eq\f(π,6)，又t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为eq\f(1,2)，函教解析式为y＝eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1(0≤t≤24)．(2)∵y>1时，才对冲浪爱好者开放，∴y＝eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1>1，coseq\f(π,6)t>0,2kπ－eq\f(π,2)<eq\f(π,6)t<2kπ＋eq\f(π,2)，即12k－3<t<12k＋3，(k∈Z)．又0≤t≤24，所以0≤t<3或9<t<15或21<t≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9<t<15.(变条件)若将本例中“大于1米”改为“大于1.25米”，结果又如何？[解]由y＝eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1>1.25得coseq\f(π,6)t>eq\f(1,2)，2kπ－eq\f(π,3)<eq\f(π,6)t<2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z，即12k－2<t<12k＋2，k∈Z.又0≤t≤24，所以0≤t<2或10<t<14或22<t≤24，所以在规定时间内只有4个小时冲浪爱好者可以进行活动，即10<t<14.解三角函数应用问题的基本步骤提示：关注实际意义求准定义域．类型3数据拟合模型的应用【例3】某港口的水深y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是有关时间与水深的数据：t(h)03691215182124y(m)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0依据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数y＝Asinωt＋b的图象．(1)试依据以上数据，求出y＝Asinωt＋b的表达式；(2)一般状况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5m时是平安的，假如某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7m，那么该船在什么时间段能够平安进港？若该船欲当天平安离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽视进出港所用的时间)?[解](1)从拟合曲线可知：函数y＝Asinωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12h，因此eq\f(2π,ω)＝12，ω＝eq\f(π,6).又∵当t＝0时，y＝10；当t＝3时，ymax＝13，∴b＝10，A＝13－10＝3，∴所求函数的表达式为y＝3sineq\f(π,6)t＋10(0≤t≤24)．(2)由于船的吃水深度为7m，船底与海底的距离不少于4.5m，故在船舶航行时，水深y应大于或等于7＋4.5＝11.5(m)．令y＝3sineq\f(π,6)t＋10≥11.5，可得sineq\f(π,6)t≥eq\f(1,2)，∴2kπ＋eq\f(π,6)≤eq\f(π,6)t≤2kπ＋eq\f(5π,6)(k∈Z)，∴12k＋1≤t≤12k＋5(k∈Z)．取k＝0，则1≤t≤5，取k＝1，则13≤t≤17；而取k＝2时，25≤t≤29(不合题意，舍)．从而可知船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时(1时到5时都可以)进港，而下午的17时(即13时到17时之间)离港，在港内停留的时间最长为16h.用三角函数解决实际问题的关键在于如何把实际问题三角函数模型化，而散点图起了关键的作用．解决这类题目的步骤如下：(1)搜集实际问题的数据，作出“散点图”；(2)视察散点图，用三角函数模型拟合散点图，得到函数模型；(3)通过图象或解析式探讨函数的性质；(4)用得到的性质解决提出的实际问题．[跟进训练]2．某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：时)而周期性改变，每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：t(时)03691215182124y(米)1.01.41.00.61.01.40.90.51.0(1)试在图中描出所给点；(2)视察图，从y＝at＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b，y＝Acos(ωt＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；(3)假如确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试支配恰当的训练时间．[解](1)描出所给点如图所示：(2)由(1)知选择y＝Asin(ωt＋φ)＋b较合适．令A＞0，ω＞0，|φ|＜π.由图知，A＝0.4，b＝1，T＝12，所以ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,6).把t＝0，y＝1代入y＝0.4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋φ))＋1，得φ＝0.故所求拟合模型的解析式为y＝0.4sineq\f(π,6)t＋1(0≤t≤24)．(3)由y＝0.4sineq\f(π,6)t＋1≥0.8，则sineq\f(π,6)t≥－eq\f(1,2)，则－eq\f(π,6)＋2kπ≤eq\f(πt,6)≤eq\f(7π,6)＋2kπ(k∈Z)，即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，留意到t∈[0,24]，所以0≤t≤7，或11≤t≤19，或23≤t≤24.再结合题意可知，应支配在11时到19时训练较恰当．1．函数y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋\f(π,6)))的周期、振幅、初相分别是()A．3π，eq\f(1,3)，eq\f(π,6) B．6π，eq\f(1,3)，eq\f(π,6)C．3π，3，－eq\f(π,6) D．6π，3，eq\f(π,6)D[y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋\f(π,6)))的周期T＝eq\f(2π,\f(1,3))＝6π，振幅为3，初相为eq\f(π,6).]2．如图为某简谐运动的图象，这个简谐运动来回一次须要的时间是()A．0.2s B．0.4sC．0.8s D．1.2sC[由图象知周期T＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动须要0.8s来回一次．]3．某人的血压满意函数式f(t)＝24sin160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间(单位：分钟)，则此人每分钟心跳的次数为________．80[因为T＝eq\f(2π,160π)＝eq\f(1,80)，所以f＝eq\f(1,T)＝80.]4．一根长lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摇摆时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(g,l))t＋\f(π,3)))，其中g是重力加速