2024-2025学年高中数学第二章推理与证明单元素养评价含解析新人教A版选修2-2

PAGE单元素养评价(二)(其次章)(120分钟150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.诗歌是一种抒情言志的文学体裁,用高度凝练的语言、形象表达作者丰富的情感,诗歌也可以反映数量关系的内在联系和规律,人们经常把数学问题和算法理论编成朗朗上口的诗歌词赋,使抽象理性的数学问题诗词化,比如诗歌:“十里长街闹盈盈,庆祝祖国万象新;佳节礼花破长空,长街灯笼胜繁星;七七数时余两个,八个一数恰为零;三数之时剩两盏,灯笼几盏放光明”,则此诗歌中长街上灯笼最少几盏 ()A.70 B.128 C.140 D.150【解析】选B.由七七数时余两个,可知灯笼数除以7余2,则A,C,D错.2.在△ABC中,E,F分别为AB,AC的中点,则有EF∥BC,这个问题的大前提为 ()A.三角形的中位线平行于第三边B.三角形的中位线等于第三边的一半C.EF为中位线D.EF∥BC【解析】选A.这个三段论的推理形式是:大前提:三角形的中位线平行于第三边;小前提:EF为△ABC的中位线;结论:EF∥BC.3.由圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦,想到球心与截面圆(不经过球心的小截面圆)圆心的连线垂直于截面,用的是 ()A.类比推理 B.三段论推理C.归纳推理 D.传递性推理【解析】选A.将平面几何问题推广为空间几何问题,利用了类比推理.4.视察下列各等式:QUOTE+QUOTE=2,QUOTE+QUOTE=2,QUOTE+QUOTE=2,QUOTE+QUOTE=2,依照以上各式成立的规律,得到一般性的等式为 ()A.QUOTE+QUOTE=2B.QUOTE+QUOTE=2C.QUOTE+QUOTE=2D.QUOTE+QUOTE=2【解析】选A.视察分子中2+6=5+3=7+1=10+(-2)=8.5.视察下列各式:3QUOTE=22×3QUOTE,3QUOTE=32×3QUOTE,3QUOTE=42×3QUOTE,…,若3QUOTE=92×3QUOTE,则m= ()A.80 B.81 C.728 D.729【解析】选C.3QUOTE=22×3QUOTE=22×3QUOTE,3QUOTE=32×3QUOTE=32×3QUOTE,3QUOTE=42×3QUOTE=42×3QUOTE,…,所以3QUOTE=n2×3QUOTE,所以3QUOTE=92×3QUOTE=92×3QUOTE,所以m=93-1=729-1=728.6.对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式:22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7,23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,依据上述分解规律,若m2=1+3+5+…+11,n3的分解中最小的正整数是21,则m+n=()A.10 B.11 C.12 D.13【解析】选B.因为m2=1+3+5+…+11=QUOTE×6=36,所以m=6.因为23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,所以53=21+23+25+27+29,因为n3的分解中最小的数是21,所以n3=53,n=5,所以m+n=6+5=11.7.在平面直角坐标系内,方程QUOTE+QUOTE=1表示在x,y轴上的截距分别为a,b的直线,拓展到空间直角坐标系内,在x,y,z轴上的截距分别为a,b,c(abc≠0)的平面方程为 ()A.QUOTE+QUOTE+QUOTE=1B.QUOTE+QUOTE+QUOTE=1C.QUOTE+QUOTE+QUOTE=1D.ax+by+cz=1【解析】选A.因为在平面直角坐标系中,方程QUOTE+QUOTE=1,表示的图形是一条直线,具有特定性质:“在x轴,y轴上的截距分别为a,b”类比到空间坐标系中,在x,y,z轴的截距分别为a,b,c(abc≠0)的平面方程为QUOTE+QUOTE+QUOTE=1.8.设x,y,z均为正实数,则三个数QUOTE+QUOTE,QUOTE+QUOTE,QUOTE+QUOTE ()A.都大于2B.都小于2C.至多有一个小于2D.至少有一个不小于2【解析】选D.假设QUOTE+QUOTE,QUOTE+QUOTE,QUOTE+QUOTE三个数都小于2,则QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE<6,由QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE≥6,与QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE<6冲突,所以假设错误.9.如图所示,坐标纸上的每个单元格的边长为1,由下往上的六个点:1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项,如表所示:a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此规律下去,则a2018= ()A.504 B.505 C.1008 D.1009【解析】选D.由a2,a4,a6,a8,…组成的数列恰好对应数列{yn},即yn=QUOTE=n.所以a2018=y1009=1009.10.定义在R上的函数f(x)满意f(-x)=-f(x+4),且f(x)在(2,+∞)上为增函数.已知x1+x2<4且(x1-2)·(x2-2)<0,则f(x1)+f(x2)的值 ()A.恒小于0 B.恒大于0C.可能等于0 D.可正也可负【解析】选A.不妨设x1-2<0,x2-2>0,则x1<2,x2>2,所以2<x2<4-x1,所以f(x2)<f(4-x1),即-f(x2)>-f(4-x1),从而-f(x2)>-f(4-x1)=f(x1),f(x1)+f(x2)<0.11.在“一带一路”学问测验后,甲、乙、丙三人对成果进行预料.甲:我的成果比乙高.乙:丙的成果比我和甲的都高.丙:我的成果比乙高.成果公布后,三人成果互不相同且只有一个人预料正确,那么三人按成果由高到低的次序为 ()A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙【解析】选A.(1)若甲预料正确,则乙、丙预料错误,即①甲的成果比乙高;②丙的成果不是最高的;③丙的成果比乙低.由①②③可得甲、乙、丙成果由高到低的依次为甲、乙、丙.(2)若乙预料正确,则甲、丙预料错误,即①乙的成果比甲高;②丙的成果最高;③丙的成果比乙低.由上可知②③相冲突,故此状况不成立.(3)若丙预料正确,则甲、乙预料错误,即①乙的成果比甲高;②丙的成果不是最高的;③丙的成果比乙高.由①③得成果由高到低的依次为丙、乙、甲,与②相冲突,此状况不成立.12.把正整数按肯定的规则排成了如图所示的三角形数表.设aij(i,j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j列的数,如a42=8.若aij=2018,则i与j的和为 ()1243576810129 11 13 151714 16 18 202224……A.79 B.80 C.81 D.82【解析】选C.由三角形数表可以看出其奇数行为奇数,偶数行为偶数,2018=2×1009,所以2018为第1009个偶数,又前31个偶数行内数的个数的和为992,前32个偶数行内数的个数的和为1056,故2018在第32个偶数行内,所以i=64.因为第64行的第一个数为2×993=1986,设2018=1986+2(m-1),所以m=17,即j=17,所以i+j=81.二、填空题(每小题5分,共20分)13.视察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,依据上述规律,13+23+33+43+53+63=________.

【解析】因为所给等式左边的底数依次分别为1,2;1,2,3;1,2,3,4;右边的底数依次分别为3,6,10,所以由底数规律可知:第五个等式左边的底数为1,2,3,4,5,6,右边的底数为10+5+6=21,又左边为立方和,右边为平方的形式,故有13+23+33+43+53+63=212.答案:21214.视察下列等式:(1+1)=2×1(2+1)(2+2)=22×1×3(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5…照此规律,第n个等式可为________.

【解析】由已知的三个等式左边的改变规律,得第n个等式左边为(n+1)(n+2)…(n+n),由已知的三个等式右边的改变规律,得第n个等式右边为2n与n个奇数之积,即2n×1×3×…×(2n-1).答案:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)15.已知等差数列{an}的前n项和是Sn=QUOTE,由此可类比得到各项均为正数的等比数列{bn}的前n项积Tn=________(用n,b1,bn表示).

【解析】由等差数列中的“求和”类比等比数列中的“求积”,可知各项均为正数的等比数列{bn}的前n项积Tn=(b1bnQUOTE.答案:(b1bnQUOTE16.对于函数y=f(x),若其定义域内存在两个实数m,n(m<n),使得x∈[m,n]时,f(x)的值域也是[m,n],则称函数f(x)为“和谐函数”.若函数f(x)=k+QUOTE是“和谐函数”,则实数k的取值范围是________.

【解析】因为函数的定义域为x≥-2,又f(x)=k+QUOTE在定义域内为单调增函数,则x∈[m,n]时,有f(m)≤f(x)≤f(n),则QUOTE可转化为方程k+QUOTE=x在x∈[-2,+∞)上有两个相异实根,即k=x-QUOTE,令t=QUOTE,则x=t2-2,得k=t2-t-2(t≥0),由图(图略)可知,当-QUOTE<k≤-2时,方程有两个不等的实根,符合题意.答案:QUOTE三、解答题(共70分)17.(10分)已知a>b>c,且a+b+c=0,求证:QUOTE<QUOTE.【证明】因为a>b>c且a+b+c=0,所以a>0,c<0.要证明原不等式成立只需证明QUOTE<QUOTEa,即证b2-ac<3a2,从而只需证明(a+c)2-ac<3a2,即(a-c)(2a+c)>0,因为a-c>0,2a+c=a+c+a=a-b>0,所以(a-c)(2a+c)>0成立,故原不等式成立.18.(12分)设数列{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和.(1)求证:数列{Sn}不是等比数列;(2)数列{Sn}是等差数列吗?为什么?【解析】(1)假设数列{Sn}是等比数列,则QUOTE=S1S3,即QUOTE(1+q)2=a1·a1·(1+q+q2),因为a1≠0,所以(1+q)2=1+q+q2,即q=0,这与公比q≠0冲突,所以数列{Sn}不是等比数列.(2)当q=1时,Sn=na1,故{Sn}是等差数列;当q≠1时,{Sn}不是等差数列,否则2S2=S1+S3,即2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2),得q=0,这与公比q≠0冲突.19.(12分)设p,q是奇数,证明:x2+2px+2q=0没有有理根.【证明】设QUOTE是该方程的有理根(m,n互素),则QUOTE+QUOTE+2q=0,m2+2pmn+2qn2=0,因为2pmn+2qn2是偶数,所以m2是偶数,所以m是偶数,设m=2k,则4k2+4pkn+2qn2=0,2k2+2pkn+qn2=0,因为2k2+2pkn是偶数,所以qn2是偶数,又q是奇数,所以n2是偶数,所以n是偶数,于是m,n都是偶数,与m,n互素冲突.所以x2+2px+2q=0没有有理根.20.(12分)(2024·浙江高考)已知1<a≤2,函数f(x)=ex-x-a,其中e=2.71828…为自然对数的底数.(1)证明:函数y=f(x)在(0,+∞)上有唯一零点;(2)记x0为函数y=f(x)在(0,+∞)上的零点,证明:①QUOTE≤x0≤QUOTE;②x0f(QUOTE)≥(e-1)(a-1)a.【解析】(1)当x∈(0,+∞)时,f′(x)=ex-1>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,由于f(0)=1-a<0,f(2)=e2-2-a≥e2-4>0,f(0)f(2)<0,则y=f(x)在(0,+∞)上有唯一零点.(2)①由于f(x)单调递增,1<a≤2.设x0的最大值为t,则et=2+t.由f(1)=e-1-2<0,则t>1.右边:由于x≥0时,ex≥1+x+QUOTEx2,且QUOTE-x0-a=0,则a≥1+QUOTE⇒x0≤QUOTE.左边:要证明QUOTE≥a-1=QUOTE-x0-1,只需证明QUOTE-QUOTE-x0-1≤0.记h(x)=ex-1-x-x2(0≤x≤t),则h′(x)=ex-1-2x,h″(x)=ex-2,于是h′(x)在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增.于是h′(x)=ex-1-2x≤max{h′(0),h′(t)}=0,则h(x)在0≤x≤t上单调递减.h(x)=ex-1-x-x2≤h(0)=0,得证.②要证明x0f(QUOTE)≥(e-1)(a-1)a,只需证:x0f(x0+a)≥(e-1)(a-1)a.由于(xf(x+a))′=f(x+a)+xf′(x+a)>f(x+a)>f(a)=ea-2a≥1-a+QUOTE>0,则x0f(x0+a)≥QUOTEf(QUOTE+a),只须要证明:f(QUOTE+a)≥(e-1)aQUOTE,即QUOTE-QUOTE-2a≥(e-1)aQUOTE.由ex≥1+x+QUOTEx2,只需证:1+QUOTE(QUOTE+a)2-a≥(e-1)aQUOTE⇔a2-(QUOTE)2-2(e-2)a·QUOTE≥0,只需证QUOTE-QUOTE≥2(e-2),由于QUOTE=QUOTE+QUOTE∈[2,+∞),则QUOTE-QUOTE≥2-QUOTE=QUOTE≥2(e-2).综上所述,得证.21.(12分)如图,DC⊥平面ABC,