2024-2025学年新教材高中数学第二章平面解析几何2.7.2.1抛物线的几何性质学案含解析新人教B版选择性必修第一册

PAGE10-2．7.2抛物线的几何性质第1课时抛物线的几何性质必备学问·自主学习导思1.抛物线的几何性质主要有哪些？2.焦半径的性质有哪些？抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R对称轴x轴x轴y轴y轴焦点坐标Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)顶点坐标O(0，0)离心率e＝1(1)抛物线的几何性质与椭圆、双曲线相比有哪些不同？提示：抛物线的离心率等于1，只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心，也没有渐近线．(2)过焦点垂直于对称轴的直线被抛物线截得的线段长度是多少？提示：这条线段是抛物线的通径，长度为2p，借助于通径可以画出较精确的抛物线．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)抛物线焦点到准线的距离等于p.()(2)抛物线的范围是x∈R，y∈R.()(3)抛物线是轴对称图形．()提示：(1)√.抛物线焦点到准线的距离等于eq\f(p,2)＋eq\f(p,2)＝p.(2)×.抛物线的方程不同，其范围就不一样，如y2＝2px(p>0)的范围是x≥0，y∈R，故此说法错误．(3)√.抛物线y2＝±2px(p>0)的对称轴为x轴，抛物线x2＝±2py(p>0)的对称轴为y轴，故此说法正确．2．抛物线y＝－eq\f(1,16)x2的焦点坐标为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,64)，0))B．(－4，0)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,64)))D．(0，－4)【解析】选D.因为抛物线y＝－eq\f(1,16)x2，所以x2＝－16y，所以抛物线的焦点坐标为(0，－4).3．已知过抛物线y2＝ax(a＞0)的焦点且垂直于x轴的弦长度为2，则实数a的值为()A．4B．2C．1D．0【解析】选B.由题意可得焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，将x＝eq\f(a,4)代入抛物线方程可得y2＝eq\f(a2,4)，解得y＝±eq\f(a,2)，所以a＝2.4．已知正三角形的一个顶点位于坐标原点，另两个顶点在抛物线y2＝2x上，则这个正三角形的边长是________．【解析】由题意得，正三角形另外两个顶点关于x轴对称，设一个顶点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),2)，y0))，边长为a，则有taneq\f(π,6)＝eq\f(2y0,yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)))，解得y0＝2eq\r(3)，再由正弦定理sineq\f(π,6)＝eq\f(2\r(3),a)＝eq\f(1,2)，解得a＝4eq\r(3).答案：4eq\r(3)关键实力·合作学习类型一由抛物线的几何性质求标准方程(数学运算)【典例】1.顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是()A．x2＝16yB．x2＝8yC．x2＝±8yD．x2＝±16y2．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝8x或y2＝－8xD．x2＝8y或x2＝－8y3．已知双曲线C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________．【解析】1.选D.顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p＞0)，由顶点到准线的距离为4，知p＝8，故所求抛物线的方程为x2＝16y或x2＝－16y.2．选C.设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，依题意将x＝eq\f(p,2)或x＝－eq\f(p,2)代入y2＝2px或y2＝－2px，得|y|＝p，所以2|y|＝2p＝8，p＝4.所以抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.3．因为双曲线C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝2，所以b＝eq\r(3)a，所以双曲线的渐近线方程为eq\r(3)x±y＝0.所以抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))到双曲线的渐近线的距离为eq\f(|\r(3)×0±\f(p,2)|,2)＝2，所以p＝8，所以所求的抛物线方程为x2＝16y.答案：x2＝16y用待定系数法求抛物线方程的步骤提示：求抛物线的方程时要留意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程．【补偿训练】已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为eq\r(3)，求抛物线的标准方程．【解析】由已知得eq\f(c,a)＝2，所以eq\f(a2＋b2,a2)＝4，解得eq\f(b,a)＝eq\r(3)，即渐近线方程为y＝±eq\r(3)x.而抛物线准线方程为x＝－eq\f(p,2)，于是Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，－\f(\r(3)p,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\f(\r(3)p,2)))，从而△AOB的面积为eq\f(1,2)·eq\r(3)p·eq\f(p,2)＝eq\r(3)，可得p＝2.因为抛物线开口向右，所以其标准方程为y2＝4x.类型二焦点弦问题(逻辑推理)【典例】已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．四步内容理解题意条件：已知抛物线方程及过抛物线焦点的直线结论：求弦长及线段的中点到准线的距离思路探求(1)写出直线方程，把直线方程和抛物线方程联立求得坐标，利用弦长公式求得弦长．(2)利用抛物线定义结合焦点弦的长度求得中点横坐标．书写表达(1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan60°＝eq\r(3)，又Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，所以直线l的方程为y＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2))).联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))，,y2＝6x，))消去y得4x2－20x＋9＝0，解得x1＝eq\f(1,2)，x2＝eq\f(9,2)，故|AB|＝eq\r(1＋（\r(3)）2)×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)－\f(1,2)))＝2×4＝8.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义，知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－eq\f(3,2)，所以M到准线的距离等于3＋eq\f(3,2)＝eq\f(9,2).易错关注点：①联立方程组，消元时肯定要确保正确性；②会应用根与系数的关系求弦长或解决中点弦问题，避开求解交点的烦琐运算．题后反思提示：已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4).(2)|AB|＝x1＋x2＋p，|AF|＝x1＋eq\f(p,2).(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．1．抛物线的焦半径定义抛物线的焦半径是指以抛物线上随意一点与抛物线焦点为端点的线段．焦半径公式P(x0，y0)为抛物线上一点，F为焦点．①若抛物线y2＝2px(p＞0)，则|PF|＝x0＋eq\f(p,2)；②若抛物线y2＝－2px(p＞0)，则|PF|＝eq\f(p,2)－x0；③若抛物线x2＝2py(p＞0)，则|PF|＝y0＋eq\f(p,2)；④若抛物线x2＝－2py(p＞0)，则|PF|＝eq\f(p,2)－y0.2.过焦点的弦长的求解方法设过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p，然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可．过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，求弦长|AB|.【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易得抛物线的焦点是F(1，0)，p＝2，所以直线AB的方程是y＝x－1，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝x－1，))消去y得x2－6x＋1＝0，所以x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.类型三抛物线几何性质的简洁应用(数学运算)【典例】已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作直线AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．【思路导引】(1)利用抛物线的定义求出p；(2)求出直线FA和MN的方程，联立解方程组．【解析】(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－eq\f(p,2)，于是4＋eq\f(p,2)＝5，所以p＝2.所以抛物线方程为y2＝4x.(2)因为点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2).又因为F(1，0)，所以kFA＝eq\f(4,3)，因为MN⊥FA，所以kMN＝－eq\f(3,4).又FA的方程为y＝eq\f(4,3)(x－1)，①MN的方程为y－2＝－eq\f(3,4)x，②联立①②，解得x＝eq\f(8,5)，y＝eq\f(4,5)，所以点N的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(4,5))).利用抛物线的性质可以解决的问题(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题．(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题．(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题．(4)焦点：解决焦点弦问题．已知A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△ABO的垂心恰是此抛物线的焦点F，求直线AB的方程．【解析】抛物线的焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，因为抛物线关于x轴对称，|OA|＝|OB|，所以△ABO为等腰三角形，所以A，B两点关于x轴对称，设A(x0，y0)，则B(x0，－y0)，因为△ABO的垂心恰为抛物线的焦点，所以BF⊥OA.则kBF·kOA＝－1，即eq\f(－y0－0,x0－\f(p,2))·eq\f(y0,x0)＝－1.又因为yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝2px0，所以x0＝eq\f(5,2)p，所以直线AB的方程为x＝eq\f(5p,2).备选类型抛物线中的最值问题(数学抽象、直观想象)【典例】求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小值．【思路导引】方法一：(代数法)设出抛物线上的动点，转化为函数求最值；方法二：(几何法)数形结合思想转化为两条平行线间的距离求解．【解析】方法一：设A(t，－t2)为抛物线上的点，则点A到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝eq\f(|4t－3t2－8|,5)＝eq\f(|3t2－4t＋8|,5)＝eq\f(1,5)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(2,3)))\s\up12(2)－\f(4,3)＋8))＝eq\f(1,5)×3(t－eq\f(2,3))2＋eq\f(1,5)×eq\f(20,3)＝eq\f(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(2,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(4,3).所以当t＝eq\f(2,3)时，d有最小值eq\f(4,3).方法二：如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x2，,4x＋3y＋m＝0，))消去y得3x2－4x－m＝0，所以Δ＝16＋12m＝0，所以m＝－eq\f(4,3).所以最小距离为eq\f(|－8＋\f(4,3)|,5)＝eq\f(\f(20,3),5)＝eq\f(4,3).与抛物线相关的最值的求法(1)若曲线和直线相离，在曲线上求一点到直线的距离最小问题，可找到与已知直线平行的直线，使其与曲线相切，则切点为所要求的点．(2)以上问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决．课堂检测·素养达标1.若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆eq\f(x2,3p)＋eq\f(y2,p)＝1的一个焦点，则p＝()A．2B．3C．4D．8【解析】选D.因为椭圆的焦点为(±eq\r(2p)，0)，抛物线的焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，由已知可得eq\r(2p)＝eq\f(p,2)，解得p＝8.2．若抛物线x2＝8y上一点P(x0，y0)到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍，则y0＝()A．eq\f(1,2)B．eq\r(2)C．1D．2【解析】选D.因为P(x0，y0)到焦点的距离d＝y0＋2，则y0＋2＝2y0，解得y0＝2.3．若抛物线y2＝2px(p＞0)上随意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是()A．p＜1B．p＞1C．p＜2D．p＞2【解析】选D.设P点为抛物线上的随意一点，则P到焦点的距离等于到准线：x＝－eq\f(p,2)的距离，明显当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值eq\f(p,2)，所以eq\f(p,2)＞1，即p＞2.4．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0，2).若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．【解析】由抛物线y2＝2px(p>0)，得焦点F的