2025版高考数学一轮复习第八章解析几何第五讲椭圆学案新人教版

PAGE第五讲椭圆学问梳理·双基自测eq\x(知)eq\x(识)eq\x(梳)eq\x(理)学问点一椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的和等于常数(大于|F1F2|__的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的__焦点__，两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距注：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a(1若a＞c，则集合P为__椭圆__；(2若a＝c，则集合P为__线段F1F2(3若a＜c，则集合P为__空集__．学问点二椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0，A2(a,0B1(0，－b，B2(0，bA1(0，－a，A2(0，aB1(－b,0，B2(b,0轴长轴A1A2的长为__2短轴B1B2的长为__2b__焦距|F1F2|＝__2离心率e＝__eq\f(c,a)__∈(0,1a、b、c的关系__c2＝a2－b2__eq\x(重)eq\x(要)eq\x(结)eq\x(论)1．a＋c与a－c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值．2．过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦|AB|＝eq\f(2b2,a)，称为通径．3．若过焦点F1的弦为AB，则△ABF2的周长为4a4．e＝eq\r(1－\f(b2,a2))．5．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大，椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大．6．AB为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0的弦，A(x1，y1，B(x2，y2，弦中点M(x0，y0，则(1弦长l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；(2直线AB的斜率kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0)．7．若M、N为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1长轴端点，P是椭圆上不与M、N重合的点，则KPM·KPN＝－eq\f(b2,a2)．eq\x(双)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(测)题组一走出误区1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”(1平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×)(2椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(×)(3方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n表示的曲线是椭圆．(√)(4eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0与eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0的焦距相同．(√)题组二走进教材2．(必修2P42T4椭圆eq\f(x2,10－m)＋eq\f(y2,m－2)＝1的焦距为4，则m等于(C)A．4 B．8C．4或8 D．12[解析]当焦点在x轴上时，10－m＞m－2＞0，10－m－(m－2＝4，∴m＝4．当焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－(10－m＝4，∴m＝8．∴m＝4或8．3．(必修2P68A组T3过点A(3，－2且与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同焦点的椭圆的方程为(A)A．eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1 B．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,20)＝1C．eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,15)＝1 D．eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,15)＝1题组三走向高考4．(2024·课标全国Ⅱ已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则CA．1－eq\f(\r(3),2) B．2－eq\r(3)C．eq\f(\r(3)－1,2) D．eq\r(3)－1[解析]设|PF2|＝x，则|PF1|＝eq\r(3)x，|F1F2|＝2x，故2a＝|PF1|＋|PF2|＝(1＋eq\r(3)x,2c＝|F1F2|＝2x，于是离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(2x,1＋\r(3)x)＝eq\r(3)－1．5．(2024·课标Ⅰ，10已知椭圆C的焦点为F1(－1,0，F2(1,0，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(B)A．eq\f(x2,2)＋y2＝1 B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1[解析]设|F2B|＝x(x＞0，则|AF2|＝2x，|AB|＝3x，|BF1|＝3x，|AF1|＝4a－(|AB|＋|BF1|＝4a－6由椭圆的定义知|BF1|＋|BF2|＝2a＝4x所以|AF1|＝2x．在△BF1F2中，由余弦定理得|BF1|2＝|BF2|2＋|F1F2|2－2|F2B|·|F1F2|cos∠BF2F1，即9x2＝x2＋22－4x·cos∠BF在△AF1F2中，由余弦定理可得|AF1|2＝|AF2|2＋|F1F2|2－2|AF2|·|F1F2|cos∠AF2F1，即4x2＝4x2＋22＋8x·cos∠BF由①②得x＝eq\f(\r(3),2)，所以2a＝4x＝2eq\r(3)，a＝eq\r(3)，所以b2＝a2－c2＝2．所以椭圆的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1．故选B．考点突破·互动探究考点一椭圆的定义及应用——自主练透例1(1(2024·泉州模拟已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，假如M是线段F1P的中点，那么动点M的轨迹是(B)A．圆 B．椭圆C．双曲线的一支 D．抛物线(2已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1是肯定点．则|PA|＋|PF|的最大值和最小值分别为__6＋eq\r(2)，6－eq\r(2)__．(3已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°．若△PF1F2的面积为3eq\r(3)，则b＝__3__．[解析](1如图所示，由题知|PF1|＋|PF2|＝2a，设椭圆方程：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(其中a＞b＞0．连接MO，由三角形的中位线可得：|F1M|＋|MO|＝a(a＞|F1O|，则M的轨迹为以F1、O为焦点的椭圆．(2如下图所示，设椭圆右焦点为F1，则|PF|＋|PF1|＝6．∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6．由椭圆方程eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1知c＝eq\r(9－5)＝2，∴F1(2,0，∴|AF1|＝eq\r(2)．利用－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P、A、F1共线时等号成立．∴|PA|＋|PF|≤6＋eq\r(2)，|PA|＋|PF|≥6－eq\r(2)．故|PA|＋|PF|的最大值为6＋eq\r(2)，最小值为6－eq\r(2)．(3|PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°＝|F1F2|2即(|PF1|＋|PF2|2－3|PF1||PF2|＝4c2所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b所以|PF1||PF2|＝eq\f(4,3)b2，又因为S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sin60°＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)b2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3)b2＝3eq\r(3)，所以b＝3．故填3．[引申]本例(2中，若将“A(1,1”改为“A(2,2”，则|PF|－|PA|的最大值为__4__，|PF|＋|PA|的最大值为__8__．[解析]设椭圆的右焦点为F1，则∵|PF1|＋|PA|≥|AF1|＝2(P在线段AF1上时取等号，∴|PF|－|PA|＝6－(|PF1|＋|PA|≤4，∵|PA|－|PF1|≤|AF1|＝2，(当P在AF1延长线上时取等号，∴|PF|＋|PA|＝6＋|PA|－|PF1|≤8．名师点拨(1椭圆定义的应用范围：①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．②解决与焦点有关的距离问题．(2焦点三角形的应用：椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1||PF2|；通过整体代入可求其面积等．〔变式训练1〕(1(2024·大庆模拟已知点M(eq\r(3)，0，椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1与直线y＝k(x＋eq\r(3)交于点A、B，则△ABM的周长为__8__．(2(2024·课标Ⅲ，15设F1，F2为椭圆C：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为__(3，eq\r(15)__．(3(2024·河北衡水调研设F1、F2分别是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点，P为椭圆上随意一点，点M的坐标为(6,4，则|PM|－|PF1|的最小值为__－5__．[解析](1直线y＝k(x＋eq\r(3)过定点N(－eq\r(3)，0．而M、N恰为椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM的周长为4a＝4×(2因为F1，F2分别是椭圆C的左，右焦点，由M点在第一象限，△MF1F2是等腰三角形，知|F1M|＝|F1F2|，又由椭圆方程eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1，知|F1F2|＝8，|F1M|＋|F2M|＝2×6＝12，所以|F1M|＝|F1F2|＝8，所以|F设M(x0，y0(x0＞0，y0＞0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＋42＋y\o\al(2,0)＝64，,x0－42＋y\o\al(2,0)＝16，))解得x0＝3，y0＝eq\r(15)，即M(3，eq\r(15)．(3由题意可知F2(3,0，由椭圆定义可知|PF1|＝2a－|PF2∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，又|MF2|＝eq\r(6－32＋4－02)＝5,2a＝10，∴|PM|－|PF2|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值为－5．考点二求椭圆的标准方程——师生共研例2求满意下列各条件的椭圆的标准方程：(1长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0；(2短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为eq\r(3)；(3经过点P(－2eq\r(3)，1，Q(eq\r(3)，－2两点；(4与椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1有相同离心率，且经过点(2，－eq\r(3)．[解析](1若焦点在x轴上，设方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0．∵椭圆过点A(3,0，∴eq\f(9,a2)＝1，∴a＝3．∵2a＝3×2b，∴b＝1．∴方程为eq\f(x2,9)＋y2＝1．若焦点在y轴上，设方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0．∵椭圆过点A(3,0，∴eq\f(9,b2)＝1，∴b＝3．又2a＝3×2b，∴a＝9．∴方程为eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1．综上所述，椭圆方程为eq\f(x2,9)＋y2＝1或eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1．(2由已知，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2c，,a－c＝\r(3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2\r(3)，,c＝\r(3).))从而b2＝a2－c2＝9．∴所求椭圆方程为eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1．(3设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n，∵点P(－2eq\r(3)，1，Q(eq\r(3)，－2在椭圆上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12m＋n＝1，,3m＋4n＝1，))解得m＝eq\f(1,15)，n＝eq\f(1,5)．故椭圆方程为eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,5)＝1．(4若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝t(t＞0，将点(2，－eq\r(3)代入，得t＝eq\f(22,4)＋eq\f(－\r(3)2,3)＝2．故所求方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1．若焦点在y轴上，设方程为eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝λ(λ＞0代入点(2，－eq\r(3)，得λ＝eq\f(25,12)，∴所求方程为eq\f(y2,\f(25,3))＋eq\f(x2,\f(25,4))＝1．综上可知椭圆方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1或eq\f(y2,\f(25,3))＋eq\f(x2,\f(25,4))＝1．名师点拨(1求椭圆的方程多采纳定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形态时，肯定要留意常数2a＞|F1F(2用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤：①作推断：依据条件推断焦点的位置；②设方程：焦点不确定时，要留意分类探讨，或设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠0；③找关系：依据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组；④求解，得方程．(3椭圆的标准方程的两个应用①方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0与eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝λ(λ＞0有相同的离心率．②与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0共焦点的椭圆系方程为eq\f(x2,a2＋k)＋eq\f(y2,b2＋k)＝1(a＞b＞0，k＋b2＞0，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．〔变式训练2〕(1“2＜m＜6”是“方程eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示椭圆”的(B)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件(2(2024·广东深圳二模已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,3)＝1(a＞0的右焦点为F，O为坐标原点，C上有且只有一个点P满意|OF|＝|FP|，则C的方程为(D)A．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,3)＝1C．eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1[解析](1eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示椭圆⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2＞0,6－m＞0,m－2≠6－m))⇔2＜m＜6且m≠4，∴“2＜m＜6”是方程“eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示椭圆”的必要不充分条件，故选B．(2依据对称性知P在x轴上，|OF|＝|FP|，故a＝2c，a2＝3＋c2，解得a＝2，c故椭圆方程为：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1．故选D．考点三椭圆的几何性质——师生共研例3(1(2024·全国椭圆C的焦点为F1(－1,0，F2(1,0，点P在C上，F2P＝2，∠F1F2P＝eq\f(2π,3)，则C的长轴长为(D)A．2 B．2eq\r(3)C．2＋eq\r(3) D．2＋2eq\r(3)(2(2024·河北省衡水中学调研直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的eq\f(1,4)，则该椭圆的离心率为(B)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)(3(2024·广东省期末联考设F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0的左、右焦点，若在直线x＝eq\f(a2,c)上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是(D)A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))[解析](1椭圆C的焦点为F1(－1,0，F2(1,0，则c＝1，∵|PF2|＝2，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝2由余弦定理可得|PF1|2＝|F1F2|2＋|PF2|2－2|F1F2|·|PF2|·coseq\f(2π,3)，即(2a－22＝4＋4－2×2×2×eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，解得a＝1＋eq\r(3)，a＝1－eq\r(3)(舍去，∴2a＝2＋2eq\r(3)，故选D．(2不妨设直线l：eq\f(x,c)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋cy－bc＝0⇒椭圆中心到l的距离eq\f(|－bc|,\r(b2＋c2))＝eq\f(2b,4)⇒e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，故选B．(3如图F2H⊥PF1，∴|F1F2|＝|PF2|，由题意可知eq\f(a2,c)－c≤2c，∴e2＝eq\f(c2,a2)≥eq\f(1,3)，即e≥eq\f(\r(3),3)，又0＜e＜1，∴eq\f(\r(3),3)≤e＜1．故选D．名师点拨椭圆离心率的求解方法求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特别值或特别位置，求出离心率．椭圆离心率的范围问题一般借助几何量的取值范围求解，遇直线与椭圆位置关系通常由直线与椭圆方程联立所得方程判别式Δ的符号求解．求椭圆离心率的取值范围的方法方法解读适合题型几何法利用椭圆的几何性质，如|x|≤a，|y|≤b,0＜e＜1，建立不等关系，或者依据几何图形的临界状况建立不等关系题设条件有明显的几何关系干脆法依据已知条件得出不等关系，干脆转化为含有a，b，c的不等关系式题设条件干脆有不等关系〔变式训练3〕(1(2024·全国卷Ⅲ已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(A)A．eq\f(\r(6),3) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),3) D．eq\f(1,3)(2(2024·内蒙古呼和浩特市质检已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0的左、右顶点分别为A1，A2，点P是椭圆上的动点，若∠A1PA2的最大可以取到120°，则椭圆C的离心率为(D)A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(6),3)(3已知F1，F2是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是__eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))__．[解析](1由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0，半径为a又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝eq\f(2ab,\r(a2＋b2))＝a，解得a＝eq\r(3)b，∴eq\f(b,a)＝eq\f(1,\r(3))，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3))))2)＝eq\f(\r(6),3)．故选A．(2当P为短轴端点时∠A1PA2最大，由题意可知eq\f(a,b)＝tan60°＝eq\r(3)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,3)，∴e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(6),3)，故选D．(3由题意可知当P为椭圆短轴端点时∠OPF1＝∠OPF2≥45°，即c≥b，∴c2≥a2－c2，∴eq\f(c2,a2)≥eq\f(1,2)，即e≥eq\f(\r(2),2)，又0＜e＜1，∴eq\f(\r(2),2)≤e＜1．考点四直线与椭圆——多维探究角度1直线与椭圆的位置关系例4(多选题若直线y＝kx＋1与椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1总有公共点，则m的值可能是(BCD)A．eq\f(1,2) B．1C．eq\r(3) D．4[解析]解法一：由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1，所以点(0,1必在椭圆内或椭圆上，则0＜eq\f(1,m)≤1且m≠5，故m≥1且m≠5．故选B、C、D．解法二：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,mx2＋5y2－5m＝0，))消去y整理得(5k2＋mx2＋10kx＋5(1－m＝0．由题意知Δ＝100k2－20(1－m(5k2＋m≥0对一切k∈R恒成立，即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，由于m＞0且m≠5，∴m≥1且m≠5．故选B、C、D．角度2中点弦问题例5(1(2024·湖北省宜昌市调研过点P(3,1且倾斜角为eq\f(3π,4)的直线与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0相交于A，B两点，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))，则该椭圆的离心率为(C)A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(6),3) D．eq\f(\r(3),3)(2已知椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1，点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，则以P为中点的椭圆的弦所在直线的方程为__2x＋4y－3＝0__．[解析](1由题意可知P为AB的中点，且kAB＝－1，设A(x1，y1，B(x2，y2，则eq\f(x\o\al(2,1),a2)＋eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),a2)＋eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，两式相减得eq\f(x1－x2x1＋x2,a2)＝－eq\f(y1－y2y1＋y2,b2)，∴kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2x1＋x2,a2y1＋y2)＝－eq\f(3b2,a2)＝－1，即eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,3)，∴e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(6),3)，故选C．(2设弦的两端点为A(x1，y1，B(x2，y2，中点为M(x0，y0，则有eq\f(x\o\al(2,1),2)＋yeq\o\al(2,1)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),2)＋yeq\o\al(2,2)＝1．两式作差，得eq\f(x2－x1x2＋x1,2)＋(y2－y1(y2＋y1＝0．∵x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，eq\f(y2－y1,x2－x1)＝kAB，代入后求得kAB＝－eq\f(x0,2y0)＝－eq\f(1,2)，∴其方程为y－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即2x＋4y－3＝0．角度3弦长问题例6已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(1,2)))，椭圆E的一个焦点为(eq\r(3)，0．(1求椭圆E的方程；(2若直线l过点M(0，eq\r(2)且与椭圆E交于A，B两点，求|AB|的最大值．[解析](1依题意，设椭圆E的左、右焦点分别为F1(－eq\r(3)，0，F2(eq\r(3)，0．由椭圆E经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(1,2)))，得|PF1|＋|PF2|＝4＝2a，∴a＝2，c＝eq\r(3)，∴b2＝a2－c2＝1．∴椭圆E的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1．(2当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋eq\r(2)，A(x1，y1，B(x2，y2．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋\r(2)，,\f(x2,4)＋y2＝1))得(1＋4k2x2＋8eq\r(2)kx＋4＝0．由Δ＞0得(8eq\r(2)k2－4(1＋4k2×4＞0，∴4k2＞1．由x1＋x2＝－eq\f(8\r(2)k,1＋4k2)，x1x2＝eq\f(4,1＋4k2)得|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝2eq\r(－6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋4k2)))2＋\f(1,1＋4k2)＋1)．设t＝eq\f(1,1＋4k2)，则0＜t＜eq\f(1,2)，∴|AB|＝2eq\r(－6t2＋t＋1)＝2eq\r(－6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,12)))2＋\f(25,24))≤eq\f(5\r(6),6)，当且仅当t＝eq\f(1,12)时等号成立．当直线l的斜率不存在时，|AB|＝2＜eq\f(5\r(6),6)．综上，|AB|的最大值为eq\f(5\r(6),6)．名师点拨直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略(1直线与椭圆位置关系的推断方法①联立方程，借助一元二次方程的判别式Δ来推断；②借助几何性质来推断．(2求椭圆方程或有关几何性质．可依据条件找寻满意条件的关于a，b，c的等式，解方程即可求得椭圆方程或椭圆有关几何性质．(3关于弦长问题．一般是利用根与系数的关系、弦长公式求解．设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1，B(x2，y2，则|AB|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2])(其中k为直线斜率．提示：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的状况下进行的，不要忽视判别式．(4对于中点弦或弦的中点问题，一般利用点差法求解．若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1，B(x2，y2，代入曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐标和斜率的关系．留意答题时不要忽视对判别式的探讨．〔变式训练4〕(1(角度1直线y＝kx＋k＋1与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的位置关系是__相交__．(2(角度2(2024·广东珠海期末已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0的右焦点为F，离心率eq\f(\r(2),2)，过点F的直线l交椭圆于A，B两点，若AB中点为(1,1，则直线l的斜率为(D)A．2 B．－2C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)(3(角度3斜率为1的直线l与椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(C)A．2 B．eq\f(4\r(5),5)C．eq\f(4\r(10),5) D．eq\f(8\r(10),5)[解析](1由于直线y＝kx＋k＋1＝k(x＋1＋1过定点(－1,1，而(－1,1在椭圆内，故直线与椭圆必相交．(2因为eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，∴4c2＝2a2，∴4(a2－b2＝2a2，∴a2＝2b2，设A(x1，y1，B(x2，y2，且x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2x\o\al(2,1)＋a2y\o\al(2,1)＝a2b2,b2x\o\al(2,2)＋a2y\o\al(2,2)＝a2b2))，相减得b2(x1＋x2(x1－x2＋a2(y1＋y2(y1－y2＝0，所以2b2(x1－x2＋2a2(y1－y2＝0，所以2b2＋4b2eq\f(y1－y2,x1－x2)＝0，所以1＋2k＝0，∴k＝－eq\f(1,2)，选D．(3设A，B两点的坐标分别为(x