2024-2025学年新教材高中数学第十一章立体几何初步11.2平面的基本事实与推论学案新人教B版必修第四册

PAGE11.2平面的基本领实与推论必备学问·自主学习1.平面的基本领实(1)基本领实1的作用是什么?提示:基本领实1的作用是揭示确定平面的条件.(2)基本领实2的作用是什么?提示:基本领实2的作用是推断直线在平面内的依据.2.平面基本领实的推论推论1:经过一条直线与直线外一点,有且只有一个平面.

推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.

推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.

三个推论与基本领实1是一回事,对吗?提示:三个推论与基本领实1是一回事,这三个推论都可以转化成经过不在一条直线上的3个点有且只有一个平面的基本领实.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)几何里的平面是有厚度的,有边界的.()(2)若线段AB在平面α内,则直线AB在平面α内.()(3)平面α与平面β相交,它们只有有限个公共点.()(4)假如两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.()提示:(1)×.几何里的平面是没有厚度,无限延展而没有边界的.(2)√.直线AB在平面α内,因为线段AB在平面α内,所以线段AB上的全部点都在平面α内,故线段AB上A,B两点肯定在平面α内,由公理1可知直线AB在平面α内.(3)×.平面α与平面β相交,它们有无限个公共点,这些点都在同一条直线上.(4)×.如三点共线,这两个平面有可能相交,也可能重合,所以该命题错误.2.能确定一个平面的条件是()A.空间三个点 B.一个点和一条直线C.多数个点 D.两条相交直线【解析】选D.不在同一条直线上的三个点可确定一个平面,A,B,C中的条件不能保证有不在同一条直线上的三个点,故不正确.3.(教材二次开发:例题改编)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是BB1的中点,直线D1M与平面ABCD交于点N,则线段AN的长度为【解析】连接BD,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1=DD1,BB1∥DD1,DD1⊥所以四边形BB1D1D为矩形,BD,D1M相交,其交点为D1因为M是BB1的中点,所以BM=QUOTEDD1,BM∥DD1,BM为△DD1N的中位线,B为DN的中点,正方体各棱长为1,所以BN=BD=QUOTE,在△ABN中,AB=1,BN=QUOTE,∠ABN=135°,AN2=AB2+BN2-2AB·BN·cos∠ABN=3+2×1×QUOTE×QUOTE=5,所以AN=QUOTE.答案:QUOTE关键实力·合作学习类型一符号语言与图形语言间的转化(数学抽象、直观想象)1.若点A在平面α内,直线a在平面α内,点A不在直线a上,用符号语言可表示为()A.A∈α,a⊂α,A∉a B.A∈α,a∈α,A∉aC.A⊂α,a⊂α,A∉a D.A∈α,a⊂α,A⊄a【解析】选A.点与线、面的关系用∈、∉;线与面的关系用⊂、⊄.B项中,“a∈α”错;C项中“A⊂α”错;D项中“A⊄a”错.2.如图所示,用符号语言可表达为()A.α∩β=m,n⊂α,A⊂m,A⊂nB.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈nC.α∩β=m,n⊂α,m∩n=AD.α∩β=m,n∈α,m∩n=A【解析】选C.结合图形可以得出平面α,β相交于一条直线m,直线n在平面α内,直线m,n相交于点A,点A在直线m,n上,结合选项可得C正确.3.如图所示,依据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.(1)点P与直线AB.(2)点C与直线AB.(3)点A1与平面AC.(4)直线AB与直线BC.(5)直线AB与平面AC.(6)平面A1B与平面AC.【解析】(1)点P∈直线AB.(2)点C∉直线AB.(3)点A1∉平面AC.(4)直线AB∩直线BC=点B.(5)直线AB⊂平面AC.(6)平面A1B∩平面AC=直线AB.三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先细致视察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.(2)要留意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”,直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”.【补偿训练】如图所示,用符号语言可表示为()A.α∩β=l B.α∥β,l∈αC.l∥β,l⊄α D.α∥β,l⊂α【解析】选D.明显题干图中α∥β,且l⊂α.类型二点、线的共面问题(逻辑推理、直观想象)【典例】1.若空间中有四个点,则“这四个点中有三点在同始终线上”是“这四个点在同一平面上”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知四条直线两两相交,且不共点,求证:这四条直线在同一平面内.【思路导引】1.由题意,依据直线和直线外的一点,有且只有一个平面和充要条件的判定方法,即可求解.2.四条直线两两相交且不共点,可能有两种状况:一是有三条直线共点;二是随意三条直线都不共点,故要分两种状况.【解析】1.选A.由题意,依据直线和直线外的一点,有且只有一个平面,所以“这四个点中有三点在同始终线上”,则“这四个点在同一平面上”,反之不肯定成立,所以“这四个点中有三点在同始终线上”是“这四个点在同一平面上”的充分不必要条件.2.已知:a,b,c,d四条直线两两相交,且不共点,求证:a,b,c,d共面.证明:(1)若a,b,c三线共点于O,如图所示,因为O∉d,所以经过d与点O有且只有一个平面α.因为A,B,C分别是d与a,b,c的交点,所以A,B,C三点在平面α内.由基本领实2知a,b,c都在平面α内,故a,b,c,d共面.(2)若a,b,c,d无三线共点,如图所示,因为a∩b=A,所以经过a,b有且仅有一个平面α,所以B,C∈α.由基本领实2知c⊂α.同理,d⊂α,从而有a,b,c,d共面.综上所述,四条直线两两相交,且不共点,这四条直线在同一平面内.证明点、线共面问题的常用方法(1)先由部分点、线确定一个面,再证其余的点、线都在这个平面内,即用“纳入法”.(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α,其余点、线确定另一个平面β,再证平面α与β重合,即用“同一法”.(3)假设不共面,结合题设推出冲突,即用“反证法”.1.空间两两相交的三条直线,可以确定的平面数是()A.1 B.2 C.3 D.1或3【解析】选D.若三条直线两两相交共有三个交点,则确定1个平面;若三条直线两两相交且交于同一点时,若三条直线共面,则能确定1个平面,若三条直线不共面,则能确定3个平面.2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1(1)AA1与CC1是否在同一平面内?(2)点B,C1,D是否在同一平面内?(3)画出平面AC1与平面BC1D及平面ACD1与平面BDC1的交线.【解析】(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1因为AA1∥CC1,所以AA1与CC1可确定平面AC1,所以AA1与CC1在同一平面内.(2)因为点B,C1,D不共线,所以点B,C1,D可确定平面BC1D,所以点B,C1,D在同一平面内.(3)如图,因为AC∩BD=O,D1C∩DC1所以O∈平面AC1,O∈平面BC1D.又C1∈平面AC1,C1∈平面BC1D.所以平面AC1∩平面BC1D=OC1.同理平面ACD1∩平面BDC1=OE.【补偿训练】求证:假如两两平行的三条直线都与另一条直线相交,那么这四条直线共面.【解析】已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:直线a,b,c和l共面.证明:如图所示,因为a∥b,由推论3可知直线a与b确定一个平面,设为α.因为l∩a=A,l∩b=B,所以A∈a,B∈b,则A∈α,B∈α.又因为A∈l,B∈l,所以由基本领实2可知l⊂α.因为b∥c,所以由推论3可知直线b与c确定一个平面β,同理可知l⊂β.因为平面α和平面β都包含着直线b与l,且l∩b=B,而由推论2知:平面α与平面β重合,所以直线a,b,c和l共面.类型三点共线、线共点问题(逻辑推理、直观想象)【典例】1.不共线三点A,B,P且P∉平面α,AP∩α=A1,BP∩α=B1,AB∩α=O,当点P在空间中变动时,定点O与动直线A1B1的位置关系是_______.

2.如图所示,已知空间四边形ABCD,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是边BC,CD上的点,且QUOTE=QUOTE=QUOTE,求证:直线EF,GH,AC交于一点.【思路导引】1.留意三点A1,B1,O所在的平面,利用基本领实3即可得出结论.2.可先推断出某两条直线相交,再证明第三条直线也通过这两条直线的交点.【解析】1.由题意知平面ABP∩α=A1B1,AB∩α=O,所以O∈平面ABP,且O∈α,所以O∈A1B1.答案:O∈A1B12.因为AE=EB,AH=HD,所以EH∥BD,且EH=QUOTEBD.因为QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以FG∥BD,且FG=QUOTEBD.所以EH∥FG,且EH≠FG,故四边形EFGH为梯形,则EF与GH必相交,设交点为P,P∈平面ABC,又P∈平面DAC,又平面ABC∩平面DAC=AC,故P∈AC,即EF,GH,AC交于一点.将本例2改为:在空间四边形ABCD中,H,G分别是AD,CD的中点,E,F分别为边AB,BC上的点,且QUOTE=QUOTE=QUOTE.求证:(1)点E,F,G,H四点共面;(2)直线EH,BD,FG相交于同一点.【证明】(1)如图所示,连接EF,HG,在空间四边形ABCD中,H,G分别是AD,CD的中点,所以HG∥AC且HG=QUOTEAC.又QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以EF∥AC且EF=QUOTEAC.故EF∥HG,即E,F,G,H四点共面.(2)由(1)知EF∥HG且EF≠HG,所以设EH与FG交于点P,因为EH⊂平面ABD,所以P在平面ABD内,同理P在平面BCD内,且平面ABD∩平面BCD=BD,所以点P在直线BD上,所以直线EH,BD,FG相交于一点.1.证明线共点问题的方法方法一:可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线,然后再证两条直线的交点在此直线上.方法二:先将其中一条直线看作某两个平面的交线,证明该交线与另两条直线分别交于两点,再证点重合,从而得三线共点.2.证明点共线的问题方法方法一:证明多点共线通常利用基本领实3,即两相交平面交线的唯一性,通过证明点分别在两个平面内,证明点在相交平面的交线上.方法二:选择其中两点确定一条直线,然后证明其他点也在此直线上.1.如图,在四面体ABCD中作截面PQR,若PQ与CB的延长线交于点M,RQ与DB的延长线交于点N,RP与DC的延长线交于点K.(1)求证:直线MN⊂平面PQR;(2)求证:点K在直线MN上.【证明】(1)因为PQ⊂平面PQR,M∈直线PQ,所以M∈平面PQR,因为RQ⊂平面PQR,N∈直线RQ,所以N∈平面PQR,所以直线MN⊂平面PQR.(2)因为M∈直线CB,CB⊂平面BCD,所以M∈平面BCD.由(1)知,M∈平面PQR,所以M在平面PQR与平面BCD的交线上,同理可知N,K也在平面PQR与平面BCD的交线上,所以由基本领实3知,M,N,K三点共线,所以点K在直线MN上.2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AA1(1)证明:点E,F,C,D1共面;(2)证明:D1E,DA,CF三线交于一点.【证明】(1)连接A1B,依据正方体的几何性质可知A1B∥CD1.由于E,F分别是AA1,AB的中点,所以EF∥A1B,所以EF∥CD1,所以E,F,C,D1四点共面.(2)由于EF∥CD1,EF≠CD1,所以D1E与CF延长后必相交,设交点为P,由于P∈D1E,D1E⊂平面ADD1A1,P∈CF,CF⊂平面ABCD,依据基本领实3可知P在平面ADD1A1与平面ABCD的交线DA上,所以D【补偿训练】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为B1C1,A1D1的中点.求证:平面ABB1【证明】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为B1C1的中点,所以EC与B1B不平行,延长CE与BB所以H∈EC,H∈B1B,又知B1B⊂平面ABB1A1,CE⊂平面CDFE,所以H∈平面ABB1AH∈平面CDFE,故平面ABB1A1备选类型几何体的截面问题(逻辑推理、数学运算)【典例】正三棱柱ABC-A1B1C1中全部棱长均为2,点E,F分别为棱BB1,A1CA.2QUOTE+QUOTE B.2QUOTE+QUOTEC.2QUOTE+QUOTE D.2QUOTE+QUOTE【思路导引】在正三棱柱ABC-A1B1C1中,延长AF和CC1交于点M,连接EM,交B1C【解析】选B.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,过点E作EN⊥CC1于点N,延长AF和CC1交于点M,连接EM,交B1C1于点P,连接FP,则过点A,E,F的截面为四边形AEPF,如图所示,由△MFC1∽△MAC,可得MC1=2,由△MPC1∽△MEN,可得QUOTE=QUOTE⇒QUOTE=QUOTE,解得PC1=QUOTE,则B1P=QUOTE,在直角△AA1F中,AA1=2,A1F=1,则AF=QUOTE=QUOTE=QUOTE,在直角△ABE中,AB=2,BE=1,则AE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,在直角△B1EP中,B1E=1,B1P=QUOTE,则PE=QUOTE=QUOTE,在△C1FP中C1F=1,C1P=QUOTE,∠FC1P=60°,由余弦定理可得PF2=C1F2+C1P2-2C1F·C1Pcos∠PC1F=12+QUOTE-2×1×QUOTEcos60°=QUOTE,即PF=QUOTE,所以截面的周长为QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE=2QUOTE+QUOTE.解决几何体的截面问题的基本方法(1)干脆法用干脆法解决截面问题的关键是:截面上的点在几何体的棱上,且两两在一个平面内,我们可以借助于基本领实2:假如一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内,干脆解决这类问题.(2)延长线法用延长线法解决截面问题的关键是:截面上的点中至少有两个点在一个几何体的一个表面上,我们可以借助于基本领实2,假如一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.干脆解决这类问题.正方体ABCD-A1B1C1D1中,点Q是棱DD1上的动点,则过A,Q,B1三点的截面的形态为_______【解析】点Q在棱DD1上移动,当点Q与点D1重合时截面为等边三角形AB1D1,如图(1)所示;当点Q与点D重合时,截面为矩形AB1C1D,如图(2)所示;当点Q不与点D,D1重合时,截面为等腰梯形AQRB1答案:等边三角形或矩形或等腰梯形课堂检测·素养达标1.若点Q在直线b上,b在平面β内,则Q,b,β之间的关系可记作()A.Q∈b∈β B.Q∈b⊂βC.Q⊂b⊂β D.Q⊂b∈β【解析】选B.因为点Q在直线b上,所以Q∈b.又因为直线b在平面β内,所以b⊂β.所以Q∈b⊂β.2.(教材二次开发:习题改编)下列说法正确的是()A.两个平面可以有且仅有一个公共点B.梯形肯定是平面图形C.平面α和β有不同在一条直线上的三个交点D.一条直线和一个点确定一个平面【解析】选B.A选项,依据基本领实3:假如两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,故A错.C选项,两个平面有公共点,则有一条过该公共点的公共直线,假如没有公共点,则两平面平行,C错.D选项,一条直线和直线外的一点可以确定一个平面.B选项,两条平行直线,确定一个平面,梯形中有一组对边平行,故B对.3.给出以下命题“已知点A,B都在直线l上,若A,B都在平面α上,则直线l在平面α上”,试用符号语言表述这个命题.

【解析】用符号语言表述这个命题为:已知A∈l,B∈l,若A∈α,B∈α,则l⊂α.答案:已知A∈l,B∈l,若A∈α,B∈α,则l⊂α4.设平面α与平面β交于直线l,A∈α,B∈α,且直线AB∩l=C,则直线AB∩β=_______.

【解析】因为α∩β=l,AB∩l=C,所以C∈β,C∈AB,所以AB∩β=C.答案:C5.如图,三个平面α,β,γ两两相交于三条直线,即α∩β=c,β∩γ=a,γ∩α=b,若直线a和b不平行.求证:a,b,c三条直线必过同一点.【证明】因为α∩γ=b,β∩γ=a,所以a⊂γ,b⊂γ.由于直线a和b不平行,所以a,b必相交.设a∩b=P,如图,则P∈a,P∈b.因为a⊂β,b⊂α,所以P∈β,P∈α.又α∩β=c,所以P∈c,即交线c经过点P.所以a,b,c三条直线相交于同一点.十四平面的基本领实与推论(15分钟30分)1.下列叙述中错误的是 ()A.若点P∈α,P∈β且α∩β=l,则P∈lB.空间中随意三点A,B,C能确定一个平面C.若直线a∩b=A,则直线a与b能够确定一个平面D.若点A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α,则l⊂α【解析】选B.选项A:由平面的基本领实3知:假如两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,所以选项A正确;选项B:由平面的基本领实1知,经过不在一条直线上的3个点,有且只有一个平面,即当三点A,B,C不共线时,能确定一个平面,所以选项B错误;选项C:由平面的推论2知,两条相交直线,确定一个平面,所以选项C正确;选项D:由平面的基本领实2知,假如一条直线上的两点在一个平面内,则这条直线在此平面内,所以选项D正确.2.假如两个不重合平面有一个公共点,那么这两个平面 ()A.没有其他公共点 B.仅有这一个公共点C.仅有两个公共点 D.有多数个公共点【解析】选D.由基本领实3可知,两个不重合平面有一个公共点,它们有且只有一条过该公共点的公共直线,则有多数个公共点.3.(2024·哈尔滨高一检测)如图,四棱锥P-ABCD,AC∩BD=O,M是PC的中点,直线AM交平面PBD于点N,则下列结论正确的是 ()A.O,N,P,M四点不共面 B.O,N,M,D四点共面C.O,N,M三点共线 D.P,N,O三点共线【解析】选D.直线AC与直线PO交于点O,所以平面PCA与平面PBD交于点O,所以必相交于直线PO,直线AM在平面PAC内,点N∈AM,故N∈平面PAC,故O,N,P,M四点共面,所以A错.若点D与O,M,N共面,则直线BD在平面PAC内,与题目冲突,故B错.O,M分别为AC,PC中点,所以OM∥PA,ON∩PA=P,故ON∩OM=O,故C错.4.设平面α与平面β相交于l,直线a⊂α,直线b⊂β,a∩b=M,则Ml.

【解析】因为a∩b=M,a⊂α,b⊂β,所以M∈α,M∈β.又因为α∩β=l,所以M∈l.答案:∈5.已知平面α∩平面β=l,点M∈α,N∈α,P∈β,P∉l,且MN∩l=R,过M,N,P三点所确定的平面记为γ,则β∩γ=.

【解析】如图,MN⊂γ,R∈MN,所以R∈γ.又R∈l,所以R∈β.又P∈γ,P∈β,所以β∩γ=直线PR.答案:直线PR6.如图所示,AB∩α=P,CD∩α=P,点A,D与点B,C分别在平面α的两侧,AC∩α=Q,BD∩α=R.求证:P,Q,R三点共线.【证明】因为AB∩α=P,CD∩α=P,所以AB∩CD=P,所以AB,CD可确定一个平面,设为β.因为A∈AB,C∈CD,B∈AB,D∈CD,所以A∈β,C∈β,B∈β,D∈β,所以AC⊂β,BD⊂β.因为AC∩α=Q,所以Q∈α,Q∈β.同理,P∈α且P∈β,R∈α且R∈β.所以P,Q,R在α与β的交线上,故P,Q,R三点共线.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.空间四点A,B,C,D共面而不共线,那么这四点中 ()A.必有三点共线 B.必有三点不共线C.至少有三点共线 D.不行能有三点共线【解析】选B.如图(1)(2)所示,A,C,D均不正确,只有B正确.2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1DA.A,M,O三点共线 B.A,M,O,A1不共面C.A,M,C,O不共面 D.B,B1,O,M共面【解析】选A.连接A1C1,AC,则A1C1∥AC,所以A1,C1,C,A四点共面.所以A1C⊂平面ACC1A1.因为M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1.又因为M∈平面AB1D1,所以点M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上.同理点O在平面ACC3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别为棱A1B1,BB1的中点,则D1A.AD上 B.B1C1C.A1D1上 D.BC上【解析】选B.由平面基本性质知:D1E与CF的交点在平面A1B1C1D1上,也在平面BB1C1C【补偿训练】1.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是梯形,AB∥CD,若平面PAD∩平面PBC=l,则 ()A.l∥CD B.l∥BCC.l与直线AB相交 D.l与直线DA相交【解析】选D.因为四棱锥P-ABCD的底面ABCD是梯形,AB∥CD,所以AD与CB必相交于点M,且P是平面PAD和平面PBC的公共点,又平面PAD∩平面PBC=l,所以P∈l,l与直线DA相交.2.在空间四边形ABCD各边AB,BC,CD,DA上分别取点E,F,G,H,若直线EF,GH相交于点P,则 ()A.点P必在直线AC上 B.点P必在直线BD上C.点P必在平面ABD内 D.点P必在平面BCD内【解析】选A.因为EF在平面ABC上,而GH在平面ADC上,且EF,GH相交于点P,所以P在平面ABC与平面ADC的交线上,因为AC是平面ABC与平面ADC的交线,所以点P必在直线AC上.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,F为AD的中点,E为棱D1A.四边形 B.等腰梯形C.五边形 D.六边形【解析】选D.不妨设正方体的棱长为1,当0<DE≤QUOTE时,截面为四边形BMEF,如图;特殊地,当DE=QUOTE时,截面为等腰梯形BFEC1,如图;当QUOTE<DE<1时,截面为五边形BFENM,不行能为六边形,如图.【补偿训练】正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,点M为CC1的中点,点N为线段DD1上靠近D1的三等分点,平面BMN交AA1A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】选D.依据题意,画出图像如图所示,过点B作BQ∥MN,且交AA1于点Q,易知BQ=NM,因为BQ∥MN,所以点B,Q,M,N共面,四边形BQNM是平行四边形,所以此点Q的位置即平面BMN与AA1的交点,过点N作NN′⊥CC1且交CC1于点N′,因为AB=NN′,BQ=MN,∠BAQ=∠NN′M=90°,所以△BAQ和△NN′M全等,所以AQ=N′M,点N为线段DD1上靠近D1的三等分点,所以点N′为线段CC1上靠近C1的三等分点,又点M为CC1的中点,所以N′M=QUOTECC1,又正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,所以N′M=QUOTE,即AQ=QUOTE.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.给出以下说法,其中正确的是 ()A.不共面的四点中,其中随意三点不共线B.若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面C.若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面D.过直线外一点和直线上三点的三条直线共面【解析】选AD.在A中假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点确定一个平面,这与四点不共面冲突,故其中随意三点不共线,所以A正确;如图,两个相交平面有三个公共点A,B,C,且点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,但A,B,C,D,E不共面,B不正确;选项C明显不正确;在D中,过直线与直线外一点可确定一个一个平面,设为α,因此这三条直线都在平面α内,即三条直线共面,D正确.6.已知A,B表示不同的点,l表示直线,α,β表示不同的平面,则下列推理正确的是 ()A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂αB.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β=ABC.l⊄α,A∈l⇒A∉αD.A∈α,A∈l,l⊄α⇒l∩α=A【解析】选ABD.对于选项A,由基本领实2知,l⊂α,故选项A正确;对于选项B,因为α,β表示不同的平面,由基本领实3知,平面α,β相交,且α∩β=AB,故选项B正确;对于选项C,l⊄α分两种状况:l与α相交或l∥α.当l与α相交时,若交点为A,则A∈α,故选项C错误;由画图可知选项D成立.【补偿训练】设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,下列说法中正确的是 ()A.若P∈a,P∈α,则a⊂αB.若a∩b=P,b⊂β,则a⊂βC.若a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α,则b⊂αD.若α∩β=b,P∈α,P∈β,则P∈b【解析】选CD.当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a⊄α,故A错;当a∩β=P时,B错;如图:因为a∥b,P∈b,所以P∉a,所以由直线a与点P确定唯一平面α,又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β经过直线a与点P,所以β与α重合,所以b⊂α,故C正确;两个平面的公共点必在其交线上,故D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.如图所示,A,B,C,D为不共面的四点,E,F,G,H分别在线段AB,BC,CD,DA上.(1)假如EH∩FG=P,那么点P在直线上;

(2)假如EF∩GH=Q,那么点Q在直线上.

【解析】(1)若EH∩FG=P,则点P∈平面ABD,P∈平面BCD,而平面ABD∩平面BCD=BD,所以P∈BD.(2)若EF∩GH=Q,则Q∈平面ABC,Q∈平面ACD,而平面ABC∩平面ACD=AC,所以Q∈AC.答案:(1)BD(2)AC8.已知△ABC三个顶点到平面α的距离分别是3,3,6,则其重心到平面α的距离为.(写出全部可能值)

【解析】设A,B到平面α的距离为3;C到平面α的距离为6.①若A,B在平面同侧,且C在平面另一侧,则AB∥α,取AB中点D,连接CD,设重心为G.又D到平面α的距离d1=3,C到平面α的距离d2=6,由重心性质可知:QUOTE=2,所以QUOTE=QUOTE,所以G∈α,所以G到平面α的距离为0.②若B,C位于平面同侧,A在平面另一侧,取AC中点D,连接BD,设重心为G,B,G,D在平面α内的射影分别为:B′,G′,D′,如图所示:DD′=QUOTE×QUOTE-3=QUOTE,BB′=3,又BG=2GD,所以GG′=2,即G到平面α距离为2.③若A,B,C在平面同侧,则AB∥α,取AB中点D,连接CD,设重心为G,C,D,G在平面α内的射影分别为C′,D′,G′,如图所示:DD′=3,CC′=