2024-2025学年广东省江门市高三上学期10月调研数学试题及答案

江门市2025届普通高中高三调研测试数学本试卷共5页，19小题，满分150分考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上，2.做选择题时，必须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.5.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.{≤9,B=x∈0≤x≤}}{A=x∈0≤x2AB=1已知集合，则（）{{≤≤}0x92,3}A.C.B.D.≤≤}0x33},n∈R，则“(m+=n33”是“2m2n”的（2.设）A充分不必要条件C.必要不充分条件B.充要条件D.既不充分又不必要条件3.下列命题为真命题的是（）aa+cb+cA.若a>b>c>0，则<bcca>b>c<0<B.若，则abC.a>b>0，则ac>2bc2a+bD.若a>b，则a>>b2x+e−x,x≤e()=fx则()=（fln27）4.已知函数xf,x>3837282773027A.B.C.D.3π2π,π5.下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（）y=sinxy=tanxy=xy=cosxA.C.B.D.==M，则cos∠EMF=（）6.在正方形ABCD中，EB,2BF,与交于点15122A.B.C.D.510107.金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.针菇失去的新鲜度h与其来摘后时间（天）满足的函数解析式为(+)(>)若采摘后天，thmtaa0.=1金针菇失去的新鲜度为40%；若采摘后3天，金针菇失去的新鲜度为.现在金针菇失去的新鲜度为60%≈，则采摘后的天数为（21.41）A.1.5B.1.8C.2.0D.2.1a=a=2a2n−a2n1−na>aa(n≥n∈N)，则下列+8.已知各项都为正数的数列{ꢀꢁ满足，12n−2n1n−2结论中一定正确的是（）8>124a20>1024a20<1204A.C.B.D.8<124二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.()=−2在x=1处取得极大值，则（）fxx(xc)9.若函数A.c1，或=c=3(+)<的解集为(0)x10B.π(fcosx)>(2)fxC当0<x<时，2(+)+(−)=f2xf2x4D.中，，，，点在边BC上，为∠BAC的角平分线，点ADE10.在ABCAB1=AC=4=D为AC中点，则（）的面积为3A.ABCB.BA⋅CA=2343C.BE=3D.=5()=2n+2n(∈)，则（）fxsinxxnN已知n+π()的最小正周期为fxA.B.22kπ()的图象关于点+(∈)对称Zfx,0k228π()的图象关于直线对称fxx=C.D.n21≤()≤fx12n−1n三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.()=⋅fxxx的单调递减区间为12.______．f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，()=)，则当x<0时，fxsinx1cosx(+13.已知函数()=fx__________.4b+8，且a+b=4，则+的最小值为__________.a>b≠014.ab四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知角αx(−)P3.的顶点与原点O重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点（1sin2α的值；5β满足sinα+β)=，求β的值（2）若角.13{}前项和为Sn，且3Sn4n14nN=−(∈)an16.已知数列的.n+（1）证明：数列{n}为等差数列；a21111100（2）记数列{n}的前项和为++++<anTn，求满足条件的最大整数.2nT123n101的三个内角，且a=cb=，记ABC的面积为S，内17.ABC,B,C所对的边分别为a,b,crR.切圆半径为，外接圆半径为（1b=2，求sinA；1Sp=(++)abc，证明：r=（2p；2（3rR的取值范围：1()=()=−(>)1x0.18设函数fxx,gxx（1()在fxx=1处的切线方程；fx≥gx（2）证明：()()：（3）若方程af(x)=g(x)有两个实根，求实数a的取值范围，[]0,1()fxx0,1∈[]1）对任意的，总有f(x)≥0；19.如果定义域为的函数f1=1（2）()()为友谊函数请解答下列问题：x≥x≥0x+x≤1(+)≥()+()fxxfxfx恒成立则称1212）当，且时，1212fx“”.（1）已知()为“友谊函数”()f0的值；fx([)是否为“友谊函数”？并说明理由；gx=3−x−1x∈0,1（2）判断函数()x（3）已知()为“友谊函数”，存在∈[]f(0)∈]，且f(f(x)=x，证明：00fxx00,1，使得()=fxx.00江门市2025届普通高中高三调研测试数学本试卷共5页，19小题，满分150分考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上，2.做选择题时，必须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.5.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.{}{}A=x∈0≤x2≤9,B=x∈0≤x≤10AB=1.已知集合，则（）{≤≤}0x92,3}A.C.B.D.{≤≤}0x33}【答案】D【解析】,B【分析】根据题意求集合，集合交集运算求解.{≤}=3}，A=x∈0≤x2【详解】由题意可得：Bx0x10={∈∣≤≤}=7,8,9,10}，A∩B=3}.{所以故选：D.,n∈R，则“(m+=n33”是“2m2n”的（2.设）A.充分不必要条件C.必要不充分条件【答案】AB.充要条件D.既不充分又不必要条件【解析】【分析】根据充分、必要条件的判定方法进行判断.(+)【详解】由m13=n3⇒+=⇒m1n2m12n，=又2<2m1+，所以2m2n，故“(m+3=n3”“2m2n”的充分条件；m2n，如m=0，n=2，此时(m+3=n3不成立，2n”的不必要条件.又若2m所以“(m+3=n3”“2m综上：“(m+3=n3”是“2m2n”的充分不必要条件.故选：A3.下列命题为真命题的是（）aa+cb+cA.若a>b>c>0，则<bcca>b>c<0<B.若，则abC.a>b>0，则ac>2bc2a+bD.若a>b，则a>>b2【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质作差法比较大小或取特殊值判断，即可得出结果.(+)−(+)(−)cab(+)bbcaba+cabcbacb+c−==【详解】对于A，，(+)bbca−b>bbc(+)>0，因为a>b>c>0，所以(−)aba+ccab+a+cb+cab−=>0>所以，即，故A错误；(+)bcbbc11>><对于B，因为ab0，所以，abcc<>又c0，所以，故B错误；ab对于Cc=0时，ac2=bc=0，故C错误；22a>a+b,abb+>对于Dab，则>，a+ba>>bD所以，故正确.2故选：D.x+e−x,x≤e()=fx则()=（fln27）4.已知函数xf,x>3837282773027A.B.C.D.3【答案】B【解析】【分析】利用对数的运算性质计算可得答案.【详解】因为1eln3e=2=<<2x+e−x,x≤2e所以ln27ln3()=x，=3=3ln33，又因为>fxf,x>23ln27313110=+=.()===()=feln3e−ln3=3+e+fln27ff3所以333故选：B.π2π,π5.下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（）y=sinxy=tanxy=xy=cosxA.C.B.D.【答案】D【解析】【分析】先判断各函数的最小正周期，再确定各函数在区间上的单调性，即可选择判断．π3π【详解】对于Asin−=，sin−=−1，可知π22误；x,x≥0x,x≥0y=x===x对于B：，其最小正周期为2π，故错误；(−)<x,x0x,x<0y=tanx(+π)=xxπ，以为周期，对于C：满足πx∈,ππ2y=tanx=−tanxy=tanx=−tanx,π当时，，由正切函数的单调性可知在区间上单2调递减，故错误；y=cosx满足(+)=xπcosxπ，以为周期，对于D，π2π2y=−cosxx∈,πy=cosx=−x，由余弦函数的单调性可知，,π当时，在区间上单调递增，故正确；故选==M，则cos∠EMF=（）6.在正方形ABCD中，EB,2BF,与交于点15122A.B.C.D.51010【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标计算夹角的余弦值即可.【详解】建立平面直角坐标系，设正方形ABCD的棱长为2，因为EB,2，==23则()，()，()，EA2D2,2F,0，2AF=,−2，1=(−−)，所以所以34−+223cos∠EMF=cosAF,==.40105×9故选：C7.金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.针菇失去的新鲜度h与其来摘后时间（天）满足的函数解析式为(+)(>)若采摘后天，thmtaa0.=1金针菇失去的新鲜度为40%；若采摘后3天，金针菇失去的新鲜度为.现在金针菇失去的新鲜度为60%≈，则采摘后的天数为（21.41）A.1.5B.1.8C.2.0D.2.1【答案】B【解析】a【分析】根据已知条件得到两个等式，两个等式相除求出的值，再根据两个等式相除可求得结果.(+)=(+)=3+a)(+)1a1a0.4=2，【详解】由题可得，两式相除可得3a0.8则(3+a=21+a)()，3a1a)2，+=+∵a0，解得>a=1，t60%，设天后金针菇失去的新鲜度为mt+1=0.6()(+)=mln110.4，则∴，又(+)2t132，(+)=，t+)=2=8，t+1=2221.412.82，=2lnt13ln23=×=2则t2.8211.821.8，=−=≈故选：B.a=a=2a2n−a2n1−na>aa(n≥n∈N)，则下列n−2n1n−2+8.已知各项都为正数的数列{ꢀꢁ满足，12结论中一定正确的是（）8>124a20>1024a20<1204A.C.B.D.8<124【答案】B【解析】【分析】由(n≥n∈N)得(a+)−(n1an+>，由题意，n−20a2n−a2n1−nn−2>aan1n1n−2+nn>n1+n−2a，根据递推公式可验证，通过对赋值，可验证ACD.3a2n−a2n1−na>aan−2n1n−2【详解】由(n≥n∈N+)，得(a+)−(a+n1>n−20，n1ann因为数列{ꢀꢁ各项都为正数，a+a>0a−(n1+n−2)>0，即a>a+n−2，nn1所以所以，故nn1na>a+a=2+1=3，321a=43a>a+a=4+2=6，432对于A，则a=7a>a+a=7+4=11，543设设设设则，则4a=125a>a+a=12+7=19，654，则，则，则a=206a>a+a=20+12=32765，，a=337a>a+a=33+20=53876a8可以为<，故A错误；a>a+a>3+2>5a>a+a>5+3>8，对于B，，432543a>a+a>8+5>13a>a+a>13+8>21，，654765a>a+a>21+13>34a>a+a>34+21>55，987，876a>a+a>55+34>89a>a+a>89+55>144，，989a>a+a>144+89>233a>a+a>233+144>377，，a>a+a>377+233>610a>a+a>610+377>987，，a>a+a>987+610>1597a>a+a>1597+987>2584，，a>a+a>2584+1597>4181a>a+a>4181+2584>6765，，a>a+a>6765+4184>10946>1024，故B正确；a=1243a>a+n−2a>124，则C错误；8对于C，由于nn1a=10243a>a+n−2a>1024，则D错误；20对于D故选：B，由于nn1二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.()=−2在x=1处取得极大值，则（）fxx(xc)9.若函数A.c1，或=c=3(+)<的解集为(0)x10B.π(fcosx)>(2)fxC.当0<x<时，2(+)+(−)=f2xf2x4D.【答案】BCD【解析】【分析】A选项，由题可得()′=f10，据此得的可能值，验证后可判断选项正误；B选项，由A分析，c可得(x+)CA分析结合x，cos2x大小关系可判断选项正误；D选项，由A分析，验证等式是否成立可判断选项正误.【详解】A选项，由题f(x)=x3−22+c2xfx3x2−4+c′()=，则2，f)c−4c+3=0⇒c=1c=3.′=2因在x1处取得极大值，则=或1313f(x)3x′=2−4x1+fx′()>⇒∈0x,∪)′()<⇒∈fx0x,1当c1时，=，令；.1313则()在)上单调递增，在,1上单调递减，则f(x)x1=在处取得极小值，不合题fx,意；=fx3x212x9′()=−+′()>⇒∈()∪()fx,10x′()<⇒∈()fx0x1,3；.当c3时，，令则()在()()上单调递增，在()上单调递减，则()在x=1处取得极大值，满足题,11,3fxfx意；则c3A错误；=()=(−)2B选项，由A可知，fxxx3，则(+)=(+)(−)x1xx1x22<⇒(+)<⇒∈(−)xx11,0.00x故B正确；π()在fxC选项，当0<x<，则，则xx，由A分析，2<(上单调递增，2则f(cosx>f)(2x)C正确；f(x)=x3−6x+9x2D选项，令x+2=2−x=n，由A可知，.fx+2+f2−x=fm+fn则()()()())−6m)+9(m+n)+n，=m3−6m2+9m+n3−6n2+9n=(m+n)m2−+n222又m+n=4，则()+()=−42mn236362mn−(2+)+=−(+)2=4fmfnD.故选：中，，，，点在边BC上，为∠BAC的角平分线，点ADE10.在ABCAB1=AC=4=D为AC中点，则（）的面积为3A.ABCB.BA⋅CA=2343C.BE=3D.=5【答案】ACD【解析】πA=A，3根据三角形面积及角分线的性质可判断D.【详解】如图所示，AB2+AC2−BC21+16−132×1×412由余弦定理可知BAC∠===，2AB⋅ACπ3而BAC为三角形内角，故BAC∠∠=，sin=∠，32113所以ABC面积S=ABACsinBAC⋅⋅∠=×××14=3A选项正确；2221BA⋅CA=AB⋅AC=AB⋅AC⋅∠BAC=1×4×=2B，选项错误；212由点E为AC中点，则BEAEAB=−=AC−AB，所以BE12222142BE=3=ACAB−=ACABABAC=4+1−2=3，则+−⋅C选项正确；π由AD为∠BAC的角平分线，则BAD=∠CAD=，61S=AB⋅AD⋅sin∠BAD+AC⋅AD⋅sin∠CAD所以，211115433=×1×AD+×4×AD=AD=D选项正确；即，则222245故选：ACD.()=2n+2n(∈)，则（）fxsinxxnN已知n+π()的最小正周期为fxA.B.22kπ()的图象关于点+(∈)对称Zfx,0k228π()的图象关于直线对称fxx=C.D.n21≤()≤fx12n−1n【答案】ACD【解析】【分析】用函数对称性的定义及函数周期性的定义可判断选项的正误；利用导数法可判断D选项的正误.1()2f(x)=sin24x+4x=sin2x+2x−2sin2x2x=1−sin22x【详解】211−4x3+4x=1−×=，2242ππf(x)的最小正周期为T==所以A正确；42πππππ3484令(∈)对称，故B错误；,kZ4x=+πx=，可得+,k∈Z,所以f2(x)的图象关于点+284π−)=π−+π−=sinx2n+(−2n2n2n对于C：fxsinxxx=sin2nx+cos2nx=f(x)，π所以函数()的图象关于直线对称，Cfxx=22n2nπ2π2π2对于D:，因为f+xsin=+x++x=(x)2n+(−sinx)2n=sin2nx+cos2nx=f(x)，π所以，函数()为周期函数，且是函数()的一个周期，fxfx2π只需求出函数()在()在上的值域，fxfx上的值域，即为函数R2fxsinxcos2nx，则()=2n+fx2nsin2n1xx2n′()=−2n1xsinx2nsinxxsin=(2n−2x−2n−2x)，ππ422x∈,时，0x<<<sinx<1，当2因为n≥2且k∈N∗，则x，此时ꢂ′(ꢃ)>，2n−2≥2，故sin2n−2x>cos2n−2ππ42所以，函数()在fx,上单调递增，πx∈2时，0sinx<<<x<1，当42因为k2且kN，则≥∈∗2n−2≥2，故sin2n−2x<2n−2x，此时ꢂ′ꢃ)<0，π所以，函数()在上单调递减，fx4π2nn1π112x∈()所以，当时，fx==×=f2，42π又因为f(0)=f=1，则fx()=，12n11因此，函数()的值域为D对.fx2故选：三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.()=⋅fxxx的单调递减区间为12.______．1e−1【答案】##e【解析】【分析】利用导数求得()的单调递减区间.fx【详解】函数的定义域为()，∵′()=+fxx1，1e令x+1≤0得0<x≤，1∴函数f(x)=x⋅x的单调递减区间是．e1故答案为：ef(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，()=)，则当x<0时，fxsinx1cosx(+13.已知函数()=fx__________.−sinx1+cosx)(【答案】【解析】【分析】根据函数的奇偶性与三角函数的奇偶性求解即可.【详解】因为当x≥0时，f(x)=sinx1+cosx()，所以当x0时，则−x>0，所以<(−=−(+)，sinx1xfsinx1(−x)=(−)+x又函数()是定义在上的偶函数，所以()=(−)=−(+sinx1x)fxRfxfx.−sinx1+cosx().故答案为：4b+8，且a+b=4，则+的最小值为__________.a>b≠014.ab【答案】2+22.【解析】4b+848bb48+=+++abababb<0，求得最小值.4b+848b+=++【详解】根据题意：，ababbbb若b>0，则=1，若b>0，则=−1，|b||b|a>b≠0|b>0，因为，则48148ba2ab2a+=(+)(a+b)=3++≥3+2⋅=3+22,ab4abbabb2a=a4(2b4(2−2)=−=当且仅当即时取等号;ab4b+848+=+−1的最小值是3+22−1=2+22，则当b<0时，abab当且仅当a4(2b4(22)时取等号.=−=−故答案为：2+22.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知角αx(−)P3.的顶点与原点O重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点（1sin2α的值；5β满足sinα+β)=，求β的值（2）若角.132425−【答案】（）33−或（2）65【解析】）根据三角函数的定义，求三角函数值，再根据二倍角公式，即可求解；β=α+β−α()（2）利用角的变换【小问1详解】，再结合两角差的余弦公式，即可求解.由题意可知，P(3)，则r=5，34则sinα=−，cosα=，552425sinα=2sinαcosα=−；【小问2详解】5α+β)=±12，sinα+β)=，所以1313β=α+β−α=α+βcosα+sinα+βsinα()()()所以，12131245333β=×+×−α+β)==当，所以，13513565α+β)=−1212453β=−×+×−=−6365，所以当，1313513533综上可知，β的值为−或65{}的前项和为Sn，且3Sn4n14nN=−(∈)an16.已知数列.n+（1）证明：数列{n}为等差数列；a21111100（2）记数列{n}的前项和为++++<anTn，求满足条件的最大整数.2nT123n101【答案】（）证明见解析（2）99【解析】anlog2a，即可得证；n）利用退一相减法可得及1111n+1T=nn+1()，则==−（2）根据等差数列求和公式可得，利用裂项相消法可得(+)nnnn1n11111n+1++++=1−，解不等式即可.T123n【小问1详解】由已知3S=4n1−4，n=a=3S=42−4=12=当n1时，，即14；11当n≥2时，3Sn1=4n−4，则a=3Sn−3Sn1=4n144+−−+4=3⋅4nn，即a=4nn，n又n1时，a4满足==a=4nn，1a=4nn=22n所以，b=a=22n=2n，b−n1n2n12n2=(+)−=，设n2n2即数列{ꢁ为等差数列，即数列{n}为以2为首项2为公差的等差数列；a2【小问2详解】(+)(+)22nnbbnT=n1n==n(n+)，由等差数列可知221111n+1==−则，(+)nnn1n111111111n+11n+1++++=−+−++−1=1−所以，T123n223n1100即1−<，n∈N，+n+1101解得n<100，即满足条件的最大整数n.=的三个内角所对的边分别为，且a=cb=，记ABC的面积为S，内17.ABC,B,Ca,b,crR.切圆半径为，外接圆半径为（1b=2，求sinA；1S=(++)abc，证明：r=（2p；2p（3rR的取值范围：22【答案】（）334,2（2）证明见解析（）【解析】）利用余弦定理求得cosA，进而求得sinA.（2）根据三角形的面积公式证得结论成立.（3b表示rR，然后利用导数求得rR的取值范围.【小问1详解】∵a4,b==2,c=32,b2+c2−a22+18−1613由余弦定理，得A===，bc2×2×3222∵0Aπ,sinA<<∴=1cosA=−2.3【小问2详解】∵ABC的面积为S,内切圆半径为r，1212112S=a×r+br×+×=(++)crabcr,∴21Sp=(a+b+c)S=pr，∴r=又∵,∴.2p【小问3详解】aa42=2R,得R===,由正弦定理得sinA2sinA2sinAsinAc=b因为a4,=，1S=pr=r(4+b+b)=(2+b)r由（）得，212b2又因为S=bcsinA=×sinA，2b2sinA3b2r=Rr=×所以,所以,+b)21+bb+b>4,解得1<b<2由,b+4>b(+)bb2b2′()=fb>0，fb)=<b<2)，令则2+b)(+)21b34f(b)在2)上单调递增,<fb)<2,3故rR的取值范围为4,2.1()=()=−(>)18.设函数fxx,gxfx1x0.x（1()在x=1处的切线方程；fx≥gx（2）证明：()()：（3）若方程af(x)=g(x)有两个实根，求实数a的取值范围，x−y−1=0【答案】（）∪+∞)（）（2）证明见解析【解析】）根据切点和斜率求得切线方程.（2）利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.aa（3）利用构造函数法，结合导数以及对进行分类讨论来求得的取值范围.【小问1详解】1，则k=f=f=0.′=f(x)x∴f(x)==x−1x−y−1=0.，即在x1处的切线方程为y【小问2详解】1h(x)=f(x)−g(x)=x+−x∈(0,)令x11x−1′=−==h(x).xx2x2x−1′=0，解得x=1.h(x)令x2∴0<x<h(x)0′<x>h(x)>0.；h(x)上单调递减，在+∞)上单调递增.h(x)≥h=0f(x)≥g(x).，即【小问3详解】1m(x)=f(x)−g(x)=ax+−x∈(0,)令，x在)上有两个零点.m(x)问题转化为a1ax−1(x)=−=.xx2x2①当a0时，≤′<m(x)在+∞)m(x)递减，至多只有一个零点，不符合要求.m(x)0，②当a0时，>1′=x=令m(x)0，解得a10<x<′(x)<0，m(x)m递减；当时，a1x>′(x)>0，m(x)m递增.当时，a11m(x)≥m=a+a−1=a−aa−1.所以aa1a当a=1时，m=m=0，m(x)只有一个零点，不合题意.令ϕ(a)=a−alna−ϕ′(a)=−lna，当0<a<1时，ϕ′(a)=−a>0，所以φ(a)递增，ϕ(a)<ϕ=0.11111a)=ae+−1=>0，1m=m=φ(a)<0，m(eaa由于1eaea11∴∃1∈,em(1)=0，a，使得a故0<a<1满足条件.>ϕ(a)′=−a<0，当a1时，所以φ(a)在+∞)递减，φ(a)<φ=0.11m=m=φ(a)<0，m(e−a)=ae−a+−1=e−aa−a−1>02由于ae1，使得m(2)=0，∴∃∈xe−a,2a故a1满足条件.>a的取值范围为∪+∞).综上所述：实数【点睛】关