Ch123均值方差偏好下的投资组合选择

2024/11/71本章教学目的和要求1.了解和掌握投资组合理论中的均值—方差分析的假设条件及其与期望效用理论的兼容性；2.掌握投资组合收益与风险度量的基本方法及其计算；3.掌握均值－方差模型描述的构建最优投资组合的技术路径的规范数理模型；4.掌握两基金分离定理的内容及其经济学含义。2024/11/72教学重点1.均值—方差分析方法的合理性及其含义；

2.选择最优投资组合的数理方法及其中蕴涵的多元化投资、风险、收益间关系；

3.掌握两基金分离定理的内容及其经济学含义。2024/11/73一、均值—方差分析的假设条件（一）问题的提出

1.前章对最优投资组合的分析是建立在一般期望效用理论基础之上的。在这种分析中，我们对经济主体的效用函数和资产的收益分布只做了一般性的规定。其结论的应用范围难以确定，也限制了期望效用理论在资产定价中的应用。

2.Markowitz(1952)发展了一个在不确定条件下严格陈述的可操作的资产组合选择理论：均值-方差方法Mean-Variancemethodology.2024/11/74

这一理论的问世，使金融学开始摆脱了纯粹的描述性研究和单凭经验操作的状态，标志着数量化方法进入金融领域。

马科维茨的工作所开始的数量化分析和MM理论中的无套利均衡思想相结合，酝酿了一系列金融学理论的重大突破。正因为如此，马科维茨获得了1990年诺贝尔经济学奖。

2024/11/75

马科维茨投资组合选择理论的基本思想为：投资组合是一个风险与收益的trade-off问题，此外投资组合通过分散化的投资来对冲掉一部分风险。——“nothingventured,nothinggained”——"foragivenlevelofreturntominimizetherisk,andforagivenlevelofrisktomaximizethereturn”——“Don’tputalleggsintoonebasket”2024/11/763.马科维茨均值-方差组合理论的基本内容：在禁止融券和没有无风险借贷的假设下，以资产组合中个别资产收益率的均值和方差找出投资组合的有效前沿(EfficientFrontier)，即一定收益率水平下方差最小的投资组合，并导出投资者只在有效组合前沿上选择投资组合。欲使投资组合风险最小，除了多样化投资于不同的资产之外，还应挑选相关系数较低的资产。2024/11/774.均值-方差组合选择的实现方法：

（1）收益——证券组合的期望报酬（2）风险——证券组合的方差（3）风险和收益的权衡——求解二次规划首先，投资组合的两个相关特征是：（1）它的期望回报率（均值）（2）可能的回报率围绕其期望偏离程度的某种度量，其中方差作为一种度量在分析上是最易于处理的。2024/11/78

其次，理性的投资者将选择并持有有效率投资组合，即那些在给定的风险水平下的期望回报最大化的投资组合，或者那些在给定期望回报率水平上使风险最小化的投资组合。再次，通过对某种资产的期望回报率、回报率的方差和某一资产与其它资产之间回报率的相互关系（用协方差度量）这三类信息的适当分析，辨识出有效投资组合在理论上是可行的。2024/11/79

最后，通过求解二次规划，可以算出有效投资组合的集合，计算结果指明各种资产在投资者的投资中所占份额，以便实现投资组合的有效性——即对给定的风险使期望回报率最大化，或对于给定的期望回报使风险最小化。2024/11/7105.马科维茨均值-方差组合理论的假设条件：（1）单期投资单期投资是指投资者在期初投资，在期末获得回报。单期模型是对现实的一种近似描述，如对零息债券、欧式期权等的投资。虽然许多问题不是单期模型，但作为一种简化，对单期模型的分析成为我们对多期模型分析的基础。（2）投资者事先知道资产收益率的概率分布，并且收益率满足正态分布的条件。

2024/11/711（3）经济主体的效用函数是二次的，即。（4）经济主体以期望收益率（亦称收益率均值）来衡量未来实际收益率的总体水平，以收益率的方差（或标准差）来衡量收益率的不确定性（风险），因而经济主体在决策中只关心资产的期望收益率和方差。（5）经济主体都是非饱和的和厌恶风险的，遵循占优原则，即：在同一风险水平下，选择收益率较高的证券；在同一收益率水平下，选择风险较低的证券。

2024/11/712

6.问题：为何在马科维茨的均值-方差分析中需要对效用函数和资产收益率的分布作出限制？2024/11/713（二）均值-方差分析的局限性

M-V模型以资产回报的均值和方差作为选择对象，但是一般而言，资产回报的均值和方差不能完全包含个体资产选择时的所有个人期望效用函数信息。对于任意的效用函数和资产的收益分布，期望效用并不能仅仅用预期收益和方差这两个元素来描述。2024/11/714

例1:

假设有两个博彩L1和L2，其中：

L1=[0.75；10，100]，

L2=[0.99；22.727，1000]E（R1）=32.5E（R2）=32.5Var（R1）=1518.75Var（R2）=9455.11显然，L2的风险比L1大。2024/11/715

考虑一个效用函数为，显然，该个体为风险厌恶者，其在两个博彩中的期望效用分别为：

Eu(R1)=4.872Eu(R2)=5.036

即该风险厌恶者在预期收益相等的两个博彩中，方差较大的博彩获得的期望效用较高。2024/11/716

一般地，假设经济主体在未来的全部收益或财富是一个随机变量，关于这个未来财富变量的效用函数可以通过泰勒展开式在经济行为主体对于这个随机变量的预期值周围展开。即

2024/11/717两边取期望值后得到：

显然，对于具有严格凹的递增效用函数的经济主体而言，其评价风险资产的效用不能仅仅只考虑其期望收益率和方差，因为三阶以上的中心矩E（R3）也影响其期望收益。2024/11/718

但是，如果财富的高阶矩为0或者财富的高阶矩可用财富的期望和方差来表示，则期望效用函数就仅仅是财富的期望和方差的函数。2024/11/719（三）均值—方差分析的基本假设

定理一：在经济主体的未来收益或财富为任意分布的情况下，如果经济主体的效用函数为二次效用函数那么，期望效用仅仅是财富的期望和方差的函数。证明：P1802024/11/720

定理二：在经济主体的偏好为任意偏好的情况下，如果资产收益的分布服从正态分布，则期望效用函数仅仅是财富的期望和方差的函数。在收益分布为正态分布的情况下，上述展开式中，三阶以上的中心矩中，奇数项为零，偶数阶的中心矩可写成均值和方差的函数。2024/11/721（三）二次效用函数与收益正态分布假设的局限性

1.二次效用函数的局限性二次效用函数具有递增的绝对风险厌恶和满足性两个性质。满足性意味着在满足点以上，财富的增加使效用减少，递增的绝对风险厌恶意味着风险资产是劣质品。这与那些偏好更多的财富和将风险视为正常商品的投资者不符。所以在二次效用函数中，我们需要对参数b的取值范围加以限制。2024/11/722

2.收益正态分布的局限性（1）资产收益的正态分布假设与现实中资产收益往往偏向正值相矛盾。收益的正态分布意味着资产收益率可取负值，但这与有限责任的经济原则相悖（如股票的价格不能为负）。（2）对于密度函数的分布而言，均值-方差分析没有考虑其偏斜度。概率论中用三阶矩表示偏斜度，它描述分布的对称性和相对于均值而言随机变量落在其左或其右的大致趋势。显然，正态分布下的均值-方差分析不能做到这一点。2024/11/723

（3）用均值-方差无法刻画函数分布中的峭度。概率论中用四阶矩表示峭度。但这一点在正态分布中不能表达。实际的经验统计表明，资产回报往往具有“尖峰”“胖尾”的特征。这显然不符合正态分布。2024/11/724

尽管均值-方差分析存在缺陷，且只有在严格的假设条件下才能够与期望效用函数的分析兼容，但由于其分析上的灵活性，相对便利的实证检验以及简洁的预测功能，使其成为广泛运用的金融和财务分析手段。2024/11/725二、资产组合收益与风险的度量及分散化效应（一）先行案例

A公司的股票价值对糖的价格很敏感。多年以来，当当地糖的产量下降时，糖的价格便猛涨，而A公司便会遭受巨大的损失。该公司股票收益率在不同状况下的情况如下：A公司股票收益10.5%，标准差为18.9%。糖生产的正常年份异常年份股市的牛市股市的熊市糖的生产危机概率0.50.30.2收益率%2510-252024/11/726

假定某投资者考虑下列几种可供选择的资产，一种是持有A公司的股票，一种是购买无风险资产，还有一种是持有糖业公司B的股票。现已知投资者持有50%A公司的股票，另外的50%在无风险资产和持有糖业公司股票之间进行选择。无风险资产的收益率为5%。糖业公司B的股票收益率变化如下：2024/11/727B公司股票收益为6%，标准差为14.43%糖生产的正常年份异常年份股市的牛市股市的熊市糖的生产危机概率0.50.30.2收益率%1-5352024/11/728E(rArB)25%×1%10%×（－5%）35%×（－25%）0.50.30.22024/11/729

投资者不同投资策略下期望收益与标准差：

资产组合预期收益率%标准差(%)全部投资在于A公司股票10.518.90组合一：A公司股票和无风险资产各投资50%7.759.45组合二：A公司和B公司股票各投资50%8.254.592024/11/730（二）资产的期望收益（均值）（1）单一资产的期望收益在任何情况下，资产的均值或期望收益是其收益的概率加权平均值。Pr(s)表示s状态下的概率，r(s)为该状态下的收益率，则期望收益E(r)为

在上例中，我们可以算出投资于A公司股票的期望收益率为10.5%。2024/11/7312.资产组合的期望收益（均值）

资产组合的期望收益是构成组合的每一资产收益率的加权平均，以构成比例为权重.每一资产对组合的预期收益率的贡献依赖于它的预期收益率，以及它在组合初始价值中所占份额，而与其他一切无关。上例中第一种投资组合的收益率为7.75%，第二种投资组合的收益率为8.25%.2024/11/732

假定市场上有资产1，2，

，N。资产i的期望收益率为，方差为

i，资产i与资产j的协方差为

ij（或相关系数为

ij）（i=1，2，

，n，j=1，2，

，m）投资者的投资组合为：投资于资产i的比例为，i=1，2，

，N，则资产组合的期望收益为2024/11/733

（三）资产的方差1.单一资产的方差

资产收益的方差是期望收益偏差的平方的期望值：在上例中，A公司股票收益的方差为357.25/W，标准差为18.9%。B公司股票收益率的标准差为14.73%.2024/11/7342.资产组合的方差（1）两资产组合收益率的方差方差分别为与的两个资产以W1与W2的权重构成一个资产组合的方差为，如果一个无风险资产与一个风险资产构成组合，则该组合的标准差等于风险资产的标准差乘以该组合投资于这部分风险资产的比例。

2024/11/735

在上例中投资组合1的标准差为9.45%，投资组合2的方差为21.1/W，标准差为4.59%。2024/11/736（2）多资产组合的方差

2024/11/737（四）资产的协方差

协方差是两个随机变量相互关系的一种统计测度，即它测度两个随机变量，如资产A和B的收益率之间的互动性。2024/11/738（五）相关系数

与协方差密切相关的另一个统计测量度是相关系数。事实上，两个随机变量间的协方差等于这两个随机变量之间的相关系数乘以它们各自的标准差的积。

资产A和资产B相关系数为2024/11/739

测量两种股票收益共同变动的趋势: -1.0+1.0

完全正相关:+1.0

完全负相关:-1.0

在-1.0和+1.0之间的相关性可减少风险但不是全部2024/11/740

在上例中，投资组合2中两公司股票收益的协方差为

-240.5/w，其相关系数为-0.88。

2024/11/741（六）多个资产的方差-协方差矩阵2024/11/742（七）资产组合的风险分散效应资产组合的方差不仅取决于单个资产的方差，而且还取决于各种资产间的协方差。

随着组合中资产数目的增加，在决定组合方差时，协方差的作用越来越大，而方差的作用越来越小。例如，在一个由30种证券组成的组合中，有30个方差和870个协方差。若一个组合进一步扩大到包括所有的证券，则协方差几乎就成了组合标准差的决定性因素。2024/11/743

风险的分散化原理被认为是现代金融学中唯一“白吃的午餐”。将多项有风险资产组合到一起，可以对冲掉部分风险而不降低平均的预期收益率。2024/11/744

假定资产1在组合中的比重是w，则资产2的比重就是1-w。它们的预期收益率和收益率的方差分别记为E(r1)和E(r2)，

21和

22，组合的预期收益率和收益率的方差则记为E(r)和

2。那么，2024/11/745因为-1≤

≤+1，所以有[w

1-(1-w)

2]2≤

2≤[w

1+(1-w)

2]2

这表明，组合的标准差不会大于标准差的组合。事实上，只要

<1，就有，∣

∣<∣w

1+(1-w)

2∣,

即资产组合的标准差就会小于单个资产标准差的加权平均数，这意味着只要资产的变动不完全一致，单个有高风险的资产就能组成单个有中低风险的资产组合，这就是投资分散化的原理。2024/11/746构造一个投资每种资产等权重的组合来看分散化的力量：其中，2024/11/747

随着组合中资产数目的增加，组合收益的方差将越来越依赖于协方差。若这个组合中的所有资产不相关，即当随证券数目增加，这个组合的方差将为零（保险原则）。2024/11/748相关结论：

1.资产组合的方差是以协方差矩阵各元素与投资比例为权重相乘的加权平均总值。它除与各资产的方差有关外，还与各资产间的协方差和相关系数有关。

2024/11/749

2.资产组合的预期收益可以通过对各种单项资产加权平均得到，但风险却不能通过各项资产风险的标准差的加权平均得到(这只是组合中成分资产间的相关系数为一且成分资产方差相等，权重相等时的特例情况)。2024/11/750

3.在资产方差或标准差给定下，组合的每对资产的相关系数越高，组合的方差越高。只要每两种资产的收益间的相关系数小于一，组合的标准差一定小于组合中各种证券的标准差的加权平均数。如果每对资产的相关系数为完全负相关即为－1且成分证券方差和权重相等时，则可得到一个零方差的投资组合。但由于系统性风险不能消除，所以这种情况在实际中是不存在的。

2024/11/751三、两资产模型下的有效组合前沿（一）先行案例某投资者持有的投资组合由两个风险资产构成，两资产的期望收益率和方差如下：

资产期望收（%）标准差（%）A812B13202024/11/752

以下为设想的投资者在两种资产中投资比例及资产相关系数不同时的投资组合的期望收益和方差：2024/11/753α1-αE(r)σ(ρ=-1)σ(ρ=0)σ(ρ=0.3)σ(ρ=1)0.01.013.020.020.020.020.00.30.711.510.414.4615.4717.600.50.510.54.011.6613.1116.000.70.39.52.410.3211.7014.400.90.18.58.810.9811.5612.801.00.08.012.012.012.012.02024/11/754标准差期望收益Ρ=1ρ=-12024/11/755（二）相关概念

1.投资者均值-方差无差异曲线对一个特定的投资者而言，任意给定一个证券组合，根据他对期望收益率和风险的偏好态度，按照期望收益率对风险补偿的要求，可以得到一系列满意程度相同的（无差异）证券组合。所有这些组合在均值方差（或标准差）坐标系中形成一条曲线，这条曲线就称为该投资者的均值-方差无差异曲线。

2024/11/756风险厌恶者的均方无差异曲线方差期望收益2024/11/757

同一条无差异曲线上的组合满意程度相同；无差异曲线位置越高，该曲线上的组合的满意程度越高。无差异曲线满足下列特征：

(1)无差异曲线向右上方倾斜。

(2)无差异曲线是下凸的。

(3)同一投资者有无数条无差异曲线。

(4)同一投资者在同一时间、同一时点的任何两条无差异曲线都不相交。(5)无差异曲线向上弯曲的程度大小反映了投资者风险偏好的强弱。2024/11/7582.可行集

可行集也称资产组合的机会集合。它表示在收益和风险平面上，由多种资产所形成的所有期望收益率和方差的组合的集合。

可行集包括了现实生活中所有可能的组合，即所有可能的证券投资组合将位于可行集的内部或边界上。一般说来，N种资产的可行集的形状像伞形：2024/11/759标准差期望收益2024/11/7603.有效集或有效前沿（边界）均值－方差前沿（mean-variancefrontierMVF）

可行集中有无穷多个组合，对于非饱和且风险厌恶的理性投资者而言，他们都是厌恶风险而偏好收益的。对于同样的风险水平，他们将会选择能提供最大预期收益率的组合；对于同样的预期收益率，他们将会选择风险最小的组合。能同时满足这两个条件的投资组合的集合被称为有效集（EfficientSet）或有效边界（EfficientFrontier)。有效集描绘了投资组合的风险与收益的最优配置。2024/11/761有效集的导出：资产组合的所有可能的点构成了平面上可行区域，对于给定的，使组合的方差越小越好，即求解下列二次规划：2024/11/7622024/11/7632024/11/764

因为投资者是非饱和且厌恶风险的，即风险一定时追求收益最大，收益一定时追求风险最小。所以，同时满足在各种风险水平下，提供最大预期收益和在各种预期收益下能提供最小风险这两个条件就称为有效边界。即双曲线的上半部。上面各点所代表的投资组合一定是通过充分分散化而消除了非系统性风险的组合。2024/11/765有效集的形状：有效边界全局最小方差资产组合最小方差边界个人资产标准差期望收益MVP2024/11/766有效集曲线的形状具有如下特点：（1）有效集是一条向右上方倾斜的曲线，它反映了“高收益、高风险”的原则；（2）有效集是一条向左凸的曲线。有效集上的任意两点所代表的两个组合再组合起来得到的新的点（代表一个新的组合）一定落在原来两个点的连线的左侧，这是因为新的组合能进一步起到分散风险的作用。（3）有效集曲线上不可能有凹陷的地方MVF的任意组合也是MVF组合。2024/11/767四、N种资产的一般模型（一）模型的基本假定

1.市场上存在n>2种风险资产，w代表投资到n种资产上的投资比例，w为一个n维列向量。记为：

同时，允许w<0，即卖空不受限制。

2.为i资产的期望收益率，为风险资产组合的期望收益，同时，令所有n种资产的期望收益率组成的向量为2024/11/768

3.假设n种资产的收益率是非共线性的，即其中任何一种风险资产的随机收益都不能表示为其他资产随即收益的线性组合。则组合的期望收益为：

4.组合的方差、协方差矩阵为：2024/11/769

由于我们假定组合中资产的随机收益是非共线性的，所以，该矩阵是非奇异（nonsingular）的。此外，由于组合的方差是非负的，所以，组合的方差必须是一个正定矩阵，即对于任何非0的向量，都有，因此，整个组合的方差为2024/11/770（二）N种风险资产组合的组合前沿1.定义给定收益率水平μ，如果一个资产组合收益率的方差是所有期望收益率为μ的组合中最小的，则称它为一个边界组合（frontierportfolio），所有边界组合构成的集合为组合边界。

用数学语言描述为：p是一个前沿资产组合当且仅当它的资产组合权重是二次规划问题P的解。2024/11/7712024/11/772

通过上述二次规划问题的求解，我们可以得到组合边界方程，它是均值-方差平面上的一条抛物线，这条抛物线称为最小方差曲线（minimumvariancecurve,MVC）抛物线的顶点对应于一个在所有组合中方差最小的组合，称为最小方差组合（minimumvarianceportfolio,MVP）。2024/11/773组合边界方差均值mvp2024/11/774（三）有效组合前沿期望收益率严格高于最小方差组合期望收益率的前沿边界称为有效组合前沿。位于资产组合前沿边界，既不是有效资产组合，又不是最小方差资产组合的前沿边界合称为非有效组合前沿。对于每一个属于非有效组合前沿上的资产组合，存在一个具有相同方差但更高期望收益率的有效资产组合。2024/11/775（四）组合前沿的性质

1.任何一个具有均值-方差偏好的经济主体的最优组合是一个均值-方差前沿组合。

2.任意的前沿资产组合都可以由期望收益为0和期望收益为1的两个前沿组合组合而成。

3.任何前沿边界组合的线性组合仍在前沿边界上。有效资产组合的任何凸组合仍是有效组合，有效组合的集合因此是一个凸集。

2024/11/7764.任何具有均值-方差效率的资产组合都是由任何两个具有均值-方差效率的组合构成；由两个均有均值-方差效率的资产组合的线性组合构成的资产组合也是具有均值-方差效率的资产组合。

5.最小方差组合mvp，与任何资产组合（不仅仅是前沿边界上的）收益率的协方差总是等于最小方差资产组合的收益率的方差。

2024/11/7776.资产组合边界的一个重要性质是，对于前沿边界上的任何资产p，除了最小方差资产组合，存在唯一的前沿边界资产组合，用zc(p)表示，与p的协方差为0。

7.不存在与最小方差资产组合具有0协方差的前沿边界资产组合。2024/11/778（五）考虑无风险资产的情形考虑无风险资产情况下的投资者的二次规划问题为：

2024/11/779

该二次规划问题的解表明，包含无风险资产在内的资产组合的均值-方差有效组合前沿为一条直线。MABC2024/11/780图中的AM线为效率组合前沿，该直线的方程可写为：当风险资产组合M固定时，无风险资产与风险资产组合的期望值收益和标准差呈线性关系。直线AM也称为对应于切点组合M的转换线（transformationline），它刻画了投资者在特定风险组合和无风险收益率之间的转换。在转换线上，点M对应着投资者将所有财富投资于风险资产组合。2024/11/781

位于点M左侧的所有点对应于投资者将其财富的一部分投资于风险资产，另一部分则用于贷出生息；位于点M右侧的所有点对应于投资者在市场上卖空风险资产。该转换线也称之为资本市场线（CapitalMarketLine，CML）。它表明所由具有均值-方差偏好的经济主体都在资本市场线上选择最优的资产组合。转换线的斜率为：2024/11/782

其分子为组合M的风险溢价，该斜率刻画了组合单位风险所带来的风险溢价，我们称其为夏普比率（SharpRatio）。同样地，我们可知，有无风险资产和风险资产构成的组合的夏普比率与风险资产组合M的夏普比率相等。在存在无风险资产情况下，如果组合M是一个有效组合前沿上的资产组合，那么，对于任意的组合p，我们有2024/11/7832024/11/784分散化证券的风险由两部分组成，一是市场（系统）风险，二是个别（或非系统）风险2024/11/785组合的总风险2024/11/