《机器人技术-建模、仿真及应用》课件 第四章 机器人动力学

ROBOT机器人技术——建模、仿真及应用机器人动力学第四章

目录刚体动力学基础PART.1牛顿-欧拉迭代动力学方程PART.2欧拉-拉格朗日方程PART.3引言

动力学正问题是已知机械臂各关节的作用力或力矩，求各关节的位移、速度和加速度，即机器人的运动轨迹

，这可以用于对机械臂的仿真。

动力学逆问题是已知机械臂的运动轨迹，即各关节的位移、速度和加速度，求各关节所需要的驱动力或力矩

，这可以用于对机械臂的控制。

动力学主要研究产生运动所需要的力。对于机器人动力学分析，有两种经典的方法：一种是牛顿-欧拉法，另一种是拉格朗日法。与机器人运动学相似，机器人动力学也有两个相反的问题：刚体动力学基础PART.1质量分布刚体的加速度刚体动力学基础质量分布如图表示一个刚体，坐标系建立在刚体上，

表示单元体

的位置矢量。坐标系

中的惯性张量可用3×3矩阵表示如下：矩阵中的各元素为：式中刚体由单元体

组成，单元体的密度为

。每个单元体的位置由矢量

确定，如图所示。惯性张量刚体动力学基础质量分布

,

和

为惯量矩，是单元体质量

乘以单元体到相应转轴垂直距离的平方在整个刚体上的积分。

交叉项称为惯量积。对于一个刚体来说，上述六个相互独立参量取决于所在坐标系的位姿。惯性张量刚体动力学基础刚体的加速度有关刚体加速度问题：任一瞬时，对刚体的线速度和角速度求导。例如，加速度可以通过计算空间一点

相对于坐标系

的速度的微分进行描述，即：同速度一样，当微分的参考坐标系为世界坐标系时，可用下列符号表示刚体的速度，即：线速度刚体动力学基础刚体的加速度把坐标系

固连在一刚体上，要求描述相对于坐标系

的速度矢量，如图，这里假设坐标系

是固定的。坐标系

相对于坐标系

的位置矢量

和旋转矩阵

来描述，假设方位

不随时间变化，则

点相对于坐标

的运动是由于

或

随时间的变化引起的。求解坐标系

中

的线速度只要写出坐标系

中的两个速度分量，求其和为：公式（4.7）只适用于坐标系

和坐标系

的相对方位保持不变的情况。坐标系

以速度

相对于坐标系

平移坐标系

相对于坐标系

的方位是随时间变化的，

相对于

的旋转速度用矢量

来表示。已知矢量

确定了坐标系

中一固定点的位置，则可得点

的角速度为：角速度刚体动力学基础刚体的加速度固定坐标系

中的矢量

以角速度

相对于坐标系

旋转首先讨论两坐标系的原点重合、相对相速度为零的情况，而且它们的原点始终保持重合，其中一个或两个坐标系固连在刚体上，如图所示。

线速度和角速度同时存在时，且两坐标系原点不重合，把线速度带入上式，可以得到从坐标系

观测坐标系

中固定速度矢量的普遍公式：线加速度刚体动力学基础刚体的加速度式

描述了当坐标系

的原点与坐标系

的原点重合时，坐标系

下的速度矢量

，方程左边描述的是矢量

随时间变化的情况，由于两个坐标系的原点重合，因此可以把改写成如下形式：对式

求导，当坐标系

的原点与坐标系

的原点重合时，可得到

的加速度在坐标系

的表达式：上式第一项和最后一项应用式（1），则式（2）变为：（1）（2）线加速度刚体动力学基础刚体的加速度将

同类项合并，整理得：为了将结论推广到两个坐标系原点不重合的一般情况，附加一个表示坐标系

原点线加速度的项，最终得到一般表达式：值得指出的是，当

是常量时，即：此时，上式简化为：角加速度刚体动力学基础刚体的加速度假设坐标系

以角速度

相对于坐标系

转动，同时坐标系

以角速度

相对于坐标系

转动。为求

在坐标系

中进行矢量相加，即：对上式求导，得：将式

代入上式右侧最后一项中，得：上式用于计算操作臂连杆的角加速度。牛顿-欧拉迭代动力学方程PART.2欧拉方程牛顿-欧拉迭代动力学方程牛顿方程牛顿-欧拉法应用实例牛顿-欧拉迭代动力学方程牛顿方程作用于刚体质心的力F引起刚体运动加速度如图所示的刚体质心正以加速度

做加速运动。此时，由牛顿方程可得作用在质心上的力F引起刚体加速度为：式中，m代表刚体总质量。牛顿-欧拉迭代动力学方程欧拉方程如图所示为一个旋转刚体，其角速度和角加速度分别为

、

。此时，由欧拉方程可得，作用在刚体上的力矩N引起刚体的转动为：作用在刚体上的力矩N，刚体旋转角速度

和角加速度式中

是刚体在坐标系{C}中的惯性张量。刚体的质心在坐标系{C}的原点上。牛顿-欧拉迭代动力学方程牛顿-欧拉法迭代动力学方程有关操作臂给定运动轨迹的力矩计算的问题。（1）计算速度和加速度的向外迭代法：为了计算作用在连杆上的惯性力，需要计算操作臂每个连杆在某一时刻的角速度、线加速度和角加速度。可应用迭代方法完成这些计算。首先对连杆1进行计算，接着计算下一个连杆，这样一直向外迭代到连杆n。角速度在连杆之间的传递如图所示，连杆

的角速度为：由角加速度的公式可得：牛顿-欧拉迭代动力学方程牛顿-欧拉法迭代动力学方程当第i+1个关节是移动关节时，上式可简化为：由线速度公式可以得到每个连杆坐标系原点的线加速度：当第i+1个关节是移动关节时，上式可简化为：牛顿-欧拉迭代动力学方程牛顿-欧拉法迭代动力学方程进而可以得到每个连杆质心的线加速度：假定坐标系{C}连于连杆i上,坐标系原点位于连杆质心，且各坐标轴方位与原连杆坐标系{i}方位相同。由于上式与关节的运动无关，因此无论是旋转关节还是移动关节，上式对于第i+1个连杆来说都是有效的。计算每个连杆质心的线加速度和角加速度后，运用牛顿-欧拉公式可以分别计算出作用在连杆质心上的惯性力和力矩，即：式中，坐标系

的原点位于连杆质心，各坐标轴方位与原连杆坐标系

方位相同。牛顿-欧拉迭代动力学方程牛顿-欧拉法迭代动力学方程（2）计算力和力矩的向内迭代法：计算出作用在每个连杆上的力和力矩之后，需要计算关节力矩，它们是实际施加在连杆上的力和力矩。根据典型连杆在无重力状态下的受力图，如图所示，列出力平衡方程和力矩平衡方程，每个连杆都受到相邻连杆的作用力和作用力矩以及附加的。这里定义了一些专用符号用来表示相邻的作用力和力矩：单个连杆的力平衡、力矩平衡=连杆

作用在连杆

上的力；②=连杆

作用在连杆

上的力矩。将所有作用在连杆

上的力相加，得到力平衡方程如下：牛顿-欧拉迭代动力学方程牛顿-欧拉法迭代动力学方程将所有作用在质心上的力矩相加，并且令他们的和为零，得到力矩平衡方程如下：将式

的结果以及附加旋转矩阵的方法带入上式，可得：最后，重新排列力和力矩方程，形成相邻连杆从高序号向低序号排列的迭代关系分别为：牛顿-欧拉迭代动力学方程牛顿-欧拉法迭代动力学方程应用这些方程对连杆依次求解，从连杆n开始向内迭代一直到机器人基座。在静力学中，可通过下式计算一个连杆施加于相邻连杆的力矩在

方向的分量求得关节力矩：式中，

表示线性驱动力。注意：对一个在自由空间中运动的机器人来说，

和

等于零，因此应用这些方程首先计算连杆n时是很简单的；如果机器人与环境接触，

和

不为零，力平衡方程中就包含了接触力和力矩。牛顿-欧拉迭代动力学方程牛顿-欧拉法迭代动力学方程（3）牛顿-欧拉迭代动力学算法:由关节运动计算关节力矩的完整算法由两部分组成:第一部分是对每个连杆应用牛顿-欧拉方程，从连杆1到连杆n向外迭代计算连杆的速度和加速度；第二部分是对每个连杆n到连杆1向内迭代计算连杆间的相互作用力和力矩以及关节驱动力矩。对于转动关节来说，这个算法归纳如下：1）外推，

向外迭代。2）内推，

向内迭代。已知关节位置、速度和加速度，应用外推和内推公式可以计算出所需的关节力矩。假设机械臂每个连杆的质量都集中在连杆的末端，设其质量分别为

和

；设其杆长分别为

、

，关节角分别为

、

，关节力矩分别为

、

；例牛顿-欧拉法应用实例牛顿-欧拉迭代动力学方程首先，确定牛顿-欧拉迭代公式中各参量的值。每个连杆质心的位置矢量分别为:由于假设为集中质量，因此每个连杆质心的惯性张量为零矩阵，即:末端执行器上没有作用力，因而有:机器人基座不旋转，因此有:包括重力因素，有:相邻连杆坐标系之间的相对转动由下式给出:牛顿-欧拉法应用实例应用方程式外推和内推公式，对连杆1用向外迭代法求解如下:牛顿-欧拉迭代动力学方程假设机械臂每个连杆的质量都集中在连杆的末端，设其质量分别为

和

；设其杆长分别为

、

，关节角分别为

、

，关节力矩分别为

、

；例牛顿-欧拉法应用实例牛顿-欧拉迭代动力学方程假设机械臂每个连杆的质量都集中在连杆的末端，设其质量分别为

和

；设其杆长分别为

、

，关节角分别为

、

，关节力矩分别为

、

；例牛顿-欧拉法应用实例对连杆2用向外迭代法求解如下:牛顿-欧拉迭代动力学方程假设机械臂每个连杆的质量都集中在连杆的末端，设其质量分别为

和

；设其杆长分别为

、

，关节角分别为

、

，关节力矩分别为

、

；例牛顿-欧拉法应用实例牛顿-欧拉迭代动力学方程假设机械臂每个连杆的质量都集中在连杆的末端，设其质量分别为

和

；设其杆长分别为

、

，关节角分别为

、

，关节力矩分别为

、

；例牛顿-欧拉法应用实例对连杆2用向内迭代法求解如下:（48）牛顿-欧拉迭代动力学方程假设机械臂每个连杆的质量都集中在连杆的末端，设其质量分别为

和

；设其杆长分别为

、

，关节角分别为

、

，关节力矩分别为

、

；例牛顿-欧拉法应用实例对连杆1用向内迭代法求解如下:牛顿-欧拉迭代动力学方程假设机械臂每个连杆的质量都集中在连杆的末端，设其质量分别为

和

；设其杆长分别为

、

，关节角分别为

、

，关节力矩分别为

、

；例牛顿-欧拉法应用实例取中的方向分量，得关节力矩:上式将驱动力矩表示为关于关节位置、速度和加速度的函数。牛顿-欧拉迭代动力学方程假设机械臂每个连杆的质量都集中在连杆的末端，设其质量分别为

和

；设其杆长分别为

、

，关节角分别为

、

，关节力矩分别为

、

；例欧拉-拉格朗日方程PART.3欧拉-拉格朗日方程欧拉-拉格朗日方程是用广义坐标表示完整工业机器人系统的动力学方程，拉格朗日函数

定义为系统的全部动能

和全部势能

之差，即：式中，动能

取决于机器人系统中连杆的位姿和速度；而势能

取决于连杆的位形。系统动力学方程式，即欧拉-拉格朗日方程如下：式中，

表示与广义坐标

相关的广义力；

为相应的广义速度。势能计算运动方程动能计算拉格朗日法仿真实例欧拉-拉格朗日方程动能计算在机械臂中，连杆是运动部件，连杆

的动能

连杆质心线速度产生的动能和连杆角速度产生的动能之和。因此，对于有

个连杆的机器人系统，其总动能是每一连杆相关运动产生的动能之和，表达如下：式中，

为连杆

的质心

的三维线速度矢量；

为连杆

的三维角速度矢量；

为连杆

的质量，是标量；

为连杆

的惯性张量。由于

和

分别为关节变量

和关节速度

的函数，由

可知机器人的动能是关节变量

和关节速度

的函数。欧拉-拉格朗日方程势能计算与动能计算类似，机器人的总势能也是各连杆的势能之和。假设连杆是刚性体，势能的表达如下：式中，矢量

为关节变量的函数，且该函数是非线性的。由此可知，总势能

只关于关节变量

的函数，与关节速度

无关。欧拉-拉格朗日方程运动方程按照式

和式

计算系统总动能和总势能，牛顿欧拉章节的例题中机器人的拉格朗日函数可写为：拉格朗日函数对关节变量

、关节速度

和时间

求导可得动力学运动方程，其中势能与关节速度

无关，即有：式中，

表示与广义坐标

相关的广义力；

为相应的广义速度。实际计算机械臂动力学时，

和

对应连杆转矩

；而

和

对应连杆推力

。欧拉-拉格朗日方程拉格朗日法仿真实例机器人是结构复杂的连杆系统，一般采用齐次变换的方法，用拉格朗日方程建立其系统动力学方程，对其位姿和运动状态进行描述。机器人动力学方程的具体推导过程如下：1.选取坐标系，选定完全而且独立的广义关节变量

。2.选定相应关节上的广义力

：当

位移变量时，

为力；当

是角度变量时，

为力矩。3.求出机器人各构件的动能和势能，构造拉格朗日函数。4.代入拉格朗日方程求得机器人系统动力学方程。例欧拉-拉格朗日方程拉格朗日法仿真实例说明下图机器人动力学方程的推导过程。选取笛卡儿标系。连杆1和连杆2的关节变量分别是转角

和

，连杆1和连杆2的质量分别是

和

，杆长分别为

和

，质心分别在

和

处，离关节中心的距离分别为

和

，其中底座与大地固定。因此，连杆1质心

的位置坐标为：连杆1质心

速度的平方为：连杆2质心

的位置坐标为：连杆2质心

速度的平方为：欧拉-拉格朗日方程拉格朗日法仿真实例系统动能为：系统势能为：拉格朗日函数为：选取笛卡儿标系，设定连杆1的关节变量

，则其角速度连杆2的关节变量

，则其角速度

，连杆1的杆长

，其质量

。连杆2的杆长

，其质量

。根据上述动力学方程的推导过程对机械臂10s内的动能和势能变化进行仿真求解，仿真代码及结果如下。欧拉-拉格朗日方程拉格朗日法仿真实例例已知条件：

欧拉-拉格朗日方程拉格朗日法仿真实例t=0:2:10;theta1=2*pi/180*(t.^2);theta2=pi/180*(t.^2);a=4*pi/180*t;b=2*pi/180*t;m1=20;m2=15;l1=4;l2=3;g=9.8;p1=1/2*l1;p2=1/2*l2;X1=p1*sin(theta1);Y1=-p1*cos(theta1);V12=(p1*a).^2;X2=l1*sin(theta1)+p2*sin(theta1+theta2);Y2=-l1*cos(theta1)-p2*cos(theta1+theta2);V22=(l1^2)*(a.^2)+(p2^2)*((a+b).^2)+2*l1*p2*((a.^2)+a.*b).*cos(theta2);Ek1=1/2*m1*V12;Ek2=1/2*m2*V22;Ek=Ek1+Ek2;subplot(2,1,1);plot(t