专题23 数列的通项公式与求和-2022年高考数学45天核心考点专题训练（解析版）

备战2022年高考数学核心考点专题训练

专题17数列的通项公式与求和

一、单选题（本大题共10小题，共50分）

1.据《乾陵百迷》记载：乾陵是陕西关中地区唐十八陵之一，位于乾县县城北部的梁山上，是唐高宗李

治和武则天的合葬墓.乾陵是目前保存最完好的一座帝王陵墓.1961年3月被国务院公布为第一批全国重

点文物保护单位.乾陵气势雄伟，规模宏大.登乾陵需要通过一段石阶路，如图所示，石阶路共526级台

阶（各台阶高度相同）和18座平台，宽11米，全路用32000块富平墨玉石砌成.右阶有许多象征意义.比

如第一道平台的34级台阶，象征唐高宗李治在位执政34年，第二道平台的21级台阶，象征武则天执政

21年……第九道平台的108级台阶，象征有108个“吉祥”现己知这108级台阶落差高度为17.69米，那么

乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为（）

A.86.2米B.83.6米C.84.8米D.85.8米

【答案】A

【解析】解：由题意可知所求高度为

17.694-108x526»86.2,

所以乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为86.2米，

故选：A

2.一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄。元

一年定期，若年利率为「保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生

日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为（）

A.<2（1+/•）'7B.q［（l+r）L-（l+r）］

C.a（l+r）'sD.—^（l+r）l!s-（l+r）J

【答案】D

【解析】根据题意，当孩子18岁生日时，孩子在一周岁牛日时存入的。元产生的本利合计为a（l+r）”,

同理：孩子在2周岁生日时存入的。元产生的本利合计为«(1+r)'6，

孩子在3周岁生日时存入的。元产生的本利合计为a(l+r)1

孩子在17周岁生日时存入的。元产生的本利合计为a(l+r),

可以看成是以a(l+r)为首项，1+/•为公比的等比数列的前17项的和，

此时将存款(含利息)全部取回，则取回的钱的总数：

°八八F+an,us,j

S=tz(l+r)++...+a(l+r)=-----------j----=~|_(^+r)一(1+〃))

故选：D

3.复利是指一笔资金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计

息方法，单利是指一笔资金只有本金计取利息，而以前各计息周期内产生的利息在下一个计息周期内不计

算利息的计息方法.小闯同学一月初在某网贷平台贷款10000元，约定月利率为1.5%,按复利计算，从一

月开始每月月底等额本息还款，共还款12次，直到十二月月底还清贷款，把还款总额记为x元.如果前十

一个月因故不还贷款，到十二月月底一次还清，则每月按照贷款金额的1.525%,并且按照单利计算利息,

这样的还款总额记为)，元.则y-x的值为()(参考数据：1.01512句.2)

A.0B.1200C.1030D.900

【答案】C

【解析】解：由题意知，按复利计算，设小闯同学每个月还款。元，则小闯同学第一次还款。元后，还欠

本金及利息为I。。。。。+15%)元，

第二次还款〃元后，还欠本金及利息为10000(1+1.5%尸-a(l+1.5%)-a,

第三次还款。元后，还欠本金及利息为10000(1+1.5%)3-a(l+1.5%)2-a(l+1.5%)-a,

依次类推，直到第十二次还款后，全部还清，即

1(XX)()(1+1.5%)12-iz(l+1.5%)"-iz(l+1.5%)l(,----a(l+1.5%)-a=0,

i_inic>2

B|J10000(1+1.5%)'2=a——：----,解得a。900，

1-1.015

故x=12x900=10800元，

按照单利算利息，12月后,所结利息共10000x0.01525x12=1830元,

故y=10000+1830=11830元，

所以y-x=11830-10800=103(),

故选：C

4.已知数歹uf飙盘中的前降:项和为，黑，对任意聪把彘r，黑=(砥"％为春替斑：-蔽，且

豳底寂一瞿釐跟一喊,"：旗恒成立，则实数承的取值范围是

A.%苧B.依学

。.©廊D.《气奈

【答案】A

117

【解析】由蜀广&喈孤朴忘普乐:-颜有，当”=1时,4=d=-%+g+2-6.求得囚=一，当心2时，

«„=S„-S„.,=(-ir«„+^+2n-6-(一1广％1+3+2(〃_1)-6，化简得

[1+(-1严]。“=(-1)%,1-£+2,当”=2/々右叶),《1=-2+£,所以。”_产-2+5,4刈=-2+击,当

1工1,1

n=2k-i(keN*),2a〃=一生一一5r+2,所以雕花国=一嗫◎皿书甥一漕4=一丝施稣i咎兽一济现二幅一萍•

因为辆次一城的《一城卜：电恒成立，所以当当"=2—k£N*),(〃-a2A+i)(〃-a2A)<°，，-2+£T<P<6-Tr，

319511723

即一记<〃<记，当"=2左伏e".)，(〃一4人)(〃一。21)〈°,-2+产<〃<6—产,「.一^<P<],综上两种情

723

况，有一二〈•

44

S

5.在数列｛%｝中,4=1,当〃之2时，其前〃项和为S“满足S：=a〃(S〃-1)，设a=log?「，数歹U｛〃｝的前〃项

U+2

和为刀,，则满足126的最小正整数〃是

A.12B.11C.10D.9

【答案】C

【解析】由5；=4母—1)可得工2=(5,-5,1)6一1),即所以数列;是等差数列，首项

J〃3“

为i,公差为1,则g=i+(〃-i)=〃，解得s“=L所以〃,=1吗£=1鸣9,数列间的前〃项和

>n'+2n

,131415.n+l,n+2..345

7；,=log-+log,-+log-+---+log--+log----=iog2(；xqx彳x...x

212232n-\2n123

n+\〃+2、,(H+1)(H+2).，,(〃+l)(〃+2),//A

LrznnnlX

——X----)=log.---------.Lb?；,>6p｛fgiog2^----------^>6,即(〃+l)(〃+2)之2,令

H-1n22

;•(》)=9+3》_]26=(》+^]-128-1,可得函数/(力在口,收)上单调递增，而〃9)=—18<0,

/(10)=4>0,若xeN*,则〃210,则满足(26的最小正整数"是10.故选C.

6.已知数列｛4｝的前〃项和为S“，且q=5,4=-3凤_1+6(〃22),若对任意的“eM,14P(S.-4〃)43

恒成立，则实数P的取值范围为

A.(2,3]B.[2,3]C.(2,4]D.[2,4]

【答案】B

【解析】由数列的递推公式可得：*-4=-；(4-4),

则数列｛4-4｝是首项为q-4=1,公比为-；的等比数列，

分组求和可得：S“=|-;)+4〃，

题中的不等式即l4px|>(-；)43恒成立，

结合恒成立的条件可得实数"的取值范围为[2,3]

本题选择B选项.

7.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面

1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了

1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下

一个10米时，乌龟先他1米.…所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离

恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为()

A,”二1米一米

B.

90090

C.3米〜米

D.

90090

【答案】D

【解析】根据题意，这是一个等比数列模型,

设q=100,9=,为

0.1,

所以4=0.1=100X

解得〃=4,

10

故选：D.

8.朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学

启蒙》中涉及一些“堆垛”问题,主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有132根相同的圆形铅笔，

小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2,且从最下面一层

开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是()

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【解析】设最上面一层放生根，一共放"(n>2)层，则最下一层放q+(〃-1)根，

由等差数列前n项和公式得：=]32,

2

・。2644

・・2。]=---724-1,

n

・・・qwN：・・〃为264的因数,且竺一〃+1为偶数，

n

把各个选项分别代入，验证，可得：〃=8满足题意.

故选：D

9.删去正整数数列1,2,3,…中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2018项是

A.2062B.2063C.2064D.2065

【答案】B

【解析】由题意可得,这些数可以写为：F,2,3,22,5,6,7,8,3?,…，第公个平方数与第&+1个平方数之间有2攵

个正整数,而数列『,2,3,22,5,6,7,8,3?,…45?共有2025项,去掉45个平方数后,还剩余2025-45=1980个

数，所以去掉平方数后第2018项应在2025后的第38个数，即是原来数列的第2063项，即为2063,故选

B.

10.设数列｛4｝的前"项和为5.，。向+%=2"+3,且S,=1450,若见<4,贝ij〃的最大值为

A.51B.52C.53D.54

【答案】A

a

【解析】n+\+〃“=2〃+3,-(〃+2)=-(々〃一(〃+1)),

・・・｛4-(〃+1)｝是以-1为公比的等比数列,

-5+1）=（《一2）.（一1）”，

〃（〃+3）/、1一（一1）〃

当n为偶数时，$"5+'=145。无解,当n为奇数时，S=迹型+“-2=1450,

"2"2

/?（/?+3）厂L,

:.a,=1452一一-----,又6+%=5,.•.%=5-4<4,即q>1,

2

即〃（〃+3）<2902,又n为奇数，故n的最大值为51.

故选A

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

2

H.设数列｛%｝满足q=§,且对任意的满足4+2-%V2",4"4-。"25乂2”,则。珈,=

92017

【答案】—

3

【解析】•••对任意的“eM,满足八-%42",4+4-。“25x2”,

+2

‘5x2"<a„+4-a„=(«„+4-a„t2)+(a„+2-a„)<2"+2"=5x2",

4+4-0“=5x2".

•♦。2017=(电017—以2013)+(°2013-出009)(%—4)+4

=5X(220,3+22009+-+2')+|

2X(1-165,M),2220,7

=3CXT-

1-1633

92017

答案：・

3

12.数列数〃｝满足44+14+2=an+%+1+%+2(的〃+尸1，〃£N"),且6=1,。2=2.若

an=Asin（G〃+e）+c（G>0j夕|<、）,则实数A=.

【答案】_巫

3

【解析】由题意，数列｛为｝满足。②+。+2=q+。“+1+〃"2且4=1，%=2,

令刀=1,可得=4+。2+生，即2%=1+2+。3，解得％=3,

令〃=2,可得〃2〃3〃4=〃2+〃3+〃4，即6〃4=2+3+〃4，解得/二1，

同理可得的=2,4=3,…，可得数列｛见｝的周期为3,

乂由a“=Asin（3〃+e）+c,所以且=3,所以卬=红，g|Ja„=Asm\^-n+<p\+c,

w3\3J

与+sj+c=l

4=Asin

2zr

又由，a、=Asinx2+°)+c=2,解得A二一2弋、(p=_',c=2,

2万

%=Asinx3+夕+c=3

所以A=_&5.

3

13.1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维

的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”,并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几

何.分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现

象的工具.下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1,线段A8的长度为1,在线段A8上取两个

点C,D,使得4C=£>B=：A8,以C。为一边在线段43的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD,得

到图2中的图形；对图2中的线段EC、作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了

以下一系列图形:

记第〃个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为S“，对任意的正整数〃，都有则a的

最小值为.

【答案】2.

【解析】设第八个图形中新出现的等边三角形的边长为耳，则当〃22时,

2

设第〃个图形中新增加的等边三角形的个数为々，则当“W2时，bn=2"-,

故S,-S,i=[g)x2f其中〃22,

由累加法可得S.=1+3+-+(|「=l+；x士x1一(|)

3

〃=1时，，=1也符合该式，故5,=2-同，

故S,,<2对任意的“21恒成立,故a22即"的最小值为2.

故答案为：2.

14.对于实数x,[x]表示不超过x的最大整数，已知正数列｛a。｝满足S产!(an+—),nSN*,其中S”为

2an

111

数列｛an｝的前n项的和，则[履+1+…+「]=.

、2,121

【答案】20

【解析】由题可知s“>o,当时，S“=?(S"一S.T)+[]化简可得s：-s3=i,当"=i,s：=a；=i

所以数列｛S：｝是以首项和公差都是1的等差数列，即S：=〃:.S,产品

/222/

又〃>1时，2(+1—y/n)=\一一7=<--<—?=J---=2(Vn—-1)

\Jn+l+\/n2S〃5

「111

ipS=—+——+-----

°1°2°121

一方面S>2[Vi^—71^1+…3—1]=2(7^5-1)>20

另一方面s<i+2[(Vi^i—7^5)+…+(8―1)]=i+2(ViIT—i)=21

所以20vSv21

即[S]=20

故答案为20

三、解答题(本大题共3小题，共30分)

15.已知等比数列｛4｝的前八项和为5,,("€2*),-252,S3"成等差数列，且生+2%+4=上.

(1)求数列伍“｝的通项公式；

(2)若4=-(〃+2)logM求数列｛9的前〃项和心

,T=32〃+3

【答案】(1)«„(-)”一厂2(〃+1)("+2)

【解析】(1)设等比数列｛?｝的公比为4,

由-2S2,S3,4S4成等差数列知,2s3=-2邑+4S4,

所以2%=-%，即4=-；

又〃2+2%+%=—，所以qg+2qq-+qq3=--,所以4=—

所以等比数列｛〃〃｝的通项公式4=

（2）由（I）知2=_（〃+2）嚏，।=n（n+2），

所哈=花片

2(〃n+2J

所以数列的前"项和:

32/7+3

42(〃+1)(〃+2)

所以数列目的前〃项和7H2〃+3

2(〃+1)(〃+2)

16.设数列｛《,｝的前n项和为S,,S“=/，）（4，q-0,妤1）

1一夕

（1）求证：数列｛4｝是等比数列；

（2）若qcN*,是否存在q的某些取值，使数列｛““｝中某一项能表示为另外三项之和？若能求出q的全

部取值集合，若不能说明理由.

（3）若qeR,是否存在qe[3,+8）,使数列｛q｝中，某一项可以表示为另外三项之和？若存在指出q的

一个取值，若不存在，说明理由.

【答案】解：（1）见详解；（2）不存在；（3）不存在

【解析】（l）n=l时，at=St=a,

〃22时，-S„_,=-—（<]"-q"'）=aqn"'（n=l也符合）

\-q'/

；.a.=aqSM）,，T=q,即数列｛4“｝是等比数列.

（2）若&,=a„s+a„2+%则=q'b+«，”+/6N,q22）

可设〃4>4>%>〃I，两边同除以4%得：q-—qf=1

因为左边能被q整除，右边不能被q整除，因此满足条件的q不存在.

h

(3)若%=an)+a„2+册则q"，=q"'+q'+q'"(4eN,q22)

可设•.•qW3,q"，=q.q"C23q"C23q%>q%+q%+q"',；.%,=4、+4,?+4”不成立.

17.己知无穷数列｛““｝与无穷数列出“｝满足下列条件：①£｛0,1,2｝,〃eN*；②

导=（-I）"-I一>用1，〃eN•.记数列｛瓦｝的前n项积为。.

（1）若4=4=1,。2=0，“3=2,〃4=1,求方；

（2）是否存在《,生,%,%,使得仿也也也成等差数列？若存在，请写出一组4,%，％，毋若不存在，请说

明理由；

（3）若4=1,求（⑼的最大值.

2.X1020100

【答案】（1）7；=—;（2）不存在，理由见解析；（3）（金2鼠=目

【解析】⑴仇=（-1>|多-与他=一:，仇=（一1）2•停一与也=一，

242244

d=（»吟-孕

:.T=—

4128

（2）不