1.5.1 全称量词与存在量词（教学课件）-人教A版2019必修第一册高一数学（人教A版2019必修第一册）

人教A版2019高一数学（必修一）第一章集合与常用逻辑用语1.5.1全称量词与存在量词目录/CONTENTS新知探究情景导入学习目标课堂小结分层练习错因分析学习目标1.了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题，提升数学抽象核心素养（重点）2.会判断全称量词命题、存在量词命题的真假，强化逻辑推理核心素养。（难点）情景导入情景导入全称量词

下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?(1)x>3(2)2x+1是整数(3)对所有的xR,x>3(4)对任意一个xZ,2x+1是整数是是不是不是(3)在(1)的基础上,用量词“所有的”对变量x进行限定;关系:(3)(4)全称量词命题(4)在(2)的基础上,用短语”对任意一个”对变量x进行限定.1.全称量词与全称命题新知探究1.全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做__________,并用符号“∀”表示.(2)含有全称量词的命题,叫做__________________.(3)全称命题的表述形式:对M中任意一个x,有p(x)成立,可简记为:___________,读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.(4)全称量词命题的真假判断:要判断一个全称命题量词是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x,验证p(x)成立;但要判断一个全称量词命题是假命题,只需列举出一个x0∈M,使得p(x0)不成立即可.名师点拨常用的全称量词还有“所有”“每一个”“任何”“任意”“一切”“任给”“全部”.只要含有这些量词,或者命题具有全称量词所表达的含义,就是全称量词命题.全称量词全称量词命题∀x∈M,p(x)概念归纳例1.判断下列全称量词命题的真假.(1)所有的素数都是奇数;(2)xR,|x|+1≥1(3)对每一个无理数x,x2也是无理数解:(1)∵2是素数,但不是奇数.∴全称命题(1)是假命题(2)∵xR,|x|≥0,从而|x|+1≥1∴全称命题(2)是真命题(3)∵是无理数,但

是有理数∴全称命题(3)是假命题典例剖析思考：如何判断全称量词命题的真假？方法:

若判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证P(x)成立;

若判定一个全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0

,使得P(x)不成立即可。典例剖析关系:存在量词下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?(1)2x+1=3(2)x能被2和3整除;(3)存在一个x∈R,使2x+1=3;(4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句;不是不是是是(4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句.(3)(4)存在量词命题2.存在量词与存在量词命题新知探究2.存在量词与存在量词命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做_________,并用符号“∃”表示.(2)含有存在量词的命题,叫做__________________.(3)存在量词命题的表述形式:存在M中的一个x0,使p(x0)成立,可简记为_____________:,读作“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”.(4)存在量词命题的真假判断:要判断一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个x0,使得命题p(x0)成立即可;否则这一命题就是假命题.名师点拨常用的存在量词还有“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”等.只要含有这些量词,或者命题具有存在量词所表达的含义,就是存在量词命题.全称量词全称量词命题∃x0∈M,p(x0)概念归纳例2.下列命题是不是存在量词命题？（1）有的平行四边形是菱形;（2）有一个素数不是奇数都是存在量词命题.练习：

设q(x):x2=x,使用不同的表达方法写出存在量词命题“∃x∈R,q(x)”解:存在实数x,使x2=x成立至少有一个x∈R,使x2=x成立对有些实数x,使x2=x成立有一个x∈R,使x2=x成立对某个x∈R,使x2=x成立典例剖析例3.下列语句是不是全称量词命题或存在量词命题(1)有一个实数a,a不能取倒数；(2)所有不等式的解集A,都是A⊆R；(3)有的四边形不是平行四边形。存在量词命题全称量词命题存在量词命题典例剖析例4.判断下列存在量词命题的真假(1)有一个实数x,使x2+2x+3=0;(2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线;(3)有些平行四边形是菱形.解:(2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线是互相平行的,因此不存在两个相交的直线垂直于同一条直线.所以,存在量词命题(1)是假命题.所以,存在量词命题(2)是假命题.(1)由于

因此使x2+2x+3=0的实数x不存在.（3）由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题。典例剖析

要判断存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可.思考：如何判断存在量词命题的真假方法:

如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个存在量词命题是假命题.例1.判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)矩形的对角线不相等；(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；(4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；(5)方程3x－2y＝10有整数解．素养点睛：考查数学抽象的核心素养．题型1全称量词命题与存在量词命题的判断典例剖析解：(1)可以改为：所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题．(2)可以改为：所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题．(3)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．(4)含存在量词“有些”，故为存在量词命题．(5)可改写为：存在整数x，y，使3x－2y＝10成立，故为存在量词命题．典例剖析全称量词命题与存在量词命题的判断思路[注意]

全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．概念归纳1．给出下列命题：①存在实数x>1，使x2>1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数．其中存在量词命题的个数为

(

)A．1

B．2

C．3

D．4【答案】C

【解析】①③④为存在量词命题，②为全称量词命题．故选C．练一练例2.判断下列命题的真假．(1)∃x∈Z，x3<1；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(4)∀x∈N，x2>0.素养点睛：考查数学抽象的核心素养．题型2

全称量词命题、存在量词命题的真假判断典例剖析解：(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，所以“∃x∈Z，x3<1”是真命题．(2)真命题，如梯形．(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．典例剖析判断全称量词命题与存在量词命题真假的技巧(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可．(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．概念归纳2．下列是存在量词命题且是真命题的是

(

)A．∀x∈R，x2>0 B．∃x∈Z，x2>2C．∀x∈N，x2∈N D．∃x，y∈R，x2＋y2<0【答案】B

【解析】对于A，∀x∈R，x2>0是全称量词命题，不合题意；对于B，∃x∈Z，x2>2是存在量词命题，且是真命题，满足题意；对于C，∀x∈N，x2∈N是全称量词命题，不合题意；对于D，∃x，y∈R，x2＋y2<0是存在量词命题，是假命题，不合题意．故选B．练一练例3.(1)命题“存在实数x，使x>1”的否定是

(

)A．对任意实数x，都有x>1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1题型3全称量词命题与存在量词命题的否定典例剖析(2)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(

)A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2素养点睛：考查数学抽象的核心素养．【答案】(1)C

(2)D

典例剖析【解析】(1)利用存在性命题的否定为全称命题可知，原命题的否定为：对于任意的实数x，都有x≤1.故选C．(2)由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．故选D．典例剖析全称量词命题与存在量词命题的否定的思路(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，

同时否定结论．(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．概念归纳3．命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则∃p是

(

)A．有些三角形不是等腰三角形B．所有三角形是等边三角形C．所有三角形都不是等腰三角形D．所有三角形是等腰三角形【解析】在写命题的否定时，一是更换量词，二是否定结论．更换量词，“有些”改为“所有”，否定结论，“是等腰三角形”改为“都不是等腰三角形”，故綈p为“所有三角形都不是等腰三角形”．C练一练

例4.已知命题“∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围．题型四：根据命题的真假求参数范围典例剖析【素养养成】由命题的真或假推断参数的取值范围考查逻辑推理的核心素养，由全称量词命题和存在量词命题的真假，推断不等式成立与否，考查数学抽象的核心素养．概念归纳随堂练随堂练随堂练4.下列语句不是全称量词命题的是(

)A.任何一个实数乘零都等于零B.自然数都是正整数C.高一(1)班绝大多数同学都是团员D.所有二次函数的图象都开口向上解析:“高一(1)班绝大多数同学都是团员”,即“高一(1)班有的同学不是团员”,是存在量词命题.随堂练C解析:当x=0时,0∈N,但0<1.故“∀x∈N,x≥1”是假命题.随堂练B6.存在量词命题“至少有一个整数,它既能被3整除又能被5整除”是

命题.(填“真”或“假”)

7.若对任意x>3,x>a恒成立,则a的取值范围是

.

解析:对任意x>3,x>a恒成立,即大于3的数恒大于a,故a≤3.随堂练真a≤38.用全称量词表述下列命题,并判断真假:(1)x2+2x+3≥2;(2)负数都没有算术平方根;(3)对角线垂直的四边形是菱形.解:(1)∀x∈R,x2+2x+3≥2.x2+2x+3=(x+1)2+2≥2.是真命题.(2)所有的负数都没有算术平方根.是真命题.(3)所有对角线垂直的四边形都是菱形.是假命题.随堂练

（1）每个四边形的内角和都是360°；

（2）任何实数都有算术平方根；

（3）∀x∈{x｜x是无理数}，x３是无理数．1.判断下列全称量词命题的真假:(1)命题真(2)命题假

(3)命题假

课本练习（1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；

（2）至少有一个整数n，使得n2＋n为奇数；

（3）∃x∈{y｜y是无理数｝，x2是无理数．2.判断下列存在量词命题的真假:(1)命题真(2)命题假

(3)命题真

课本练习错因分析防范措施是记准两点：一是否定量词，二是否定结论．错因分析对量词理解不到位致错判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.(1)矩形有一个外接圆;(2)非负实数有两个平方根.错解:(1)存在量词命题.(2)存在量词命题.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?错因分析提示:(1)误认为含有存在量词“有一个”,(2)误认为含有存在量词“有两个”,即判断为存在量词命题.正解:(1)可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆”,是全称量词命题.(2)可以改写为“所有的非负实数都有两个平方根”,是全称量词命题.错因分析防范措施1.全称量词命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题,存在量词命题就是陈述在某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题,是对某集合一些元素的限定,而不是对结论的限定.2.注意对全称量词命题和存在量词命题概念的理解,培养数学抽象素养.错因分析【变式训练】

用全称量词或存在量词表述下列命题:(1)有理数都能写成分数形式;(2)n边形的内角和等于(n-2)