3.2.1 单调性与最大(小)值（第1课时 函数的单调性）（教学课件） -人教A版2019必修第一册高一数学（人教A版2019必修一）

人教A版2019高一数学（必修一）第三章函数的概念与性质第1课时函数的单调性3.2.1单调性与最大(小)值目录/CONTENTS新知探究情景导入学习目标课堂小结分层练习错因分析1.理解增函数、减函数、单调区间、单调性的定义．2.掌握定义法证明函数单调性的步骤（重点、难点）．3.掌握求函数单调区间的方法(重点).4.会用函数的单调性解答有关问题.学习目标

前面我们学习了函数的定义和表示法，知道函数y=f(x)，x∈A是描述了客观世界中变量之间的一种对应关系，也就是事物运动变化规律的数学模．这样，我们就可以通过研究函数的变化规律来把握客观世界中相应事物的变化规律．因此，研究函数的性质，如随着自变量的增大函数值增大还是减小，有没有最大值或最小值，函数图像有什么特征等，是认识客观规律的重要方法．情景导入观察下面各个函数的图象，说说图象有什么特点或变化规律？它们分别反映了函数的哪些性质？图象从左到右保持递增图象从左到右有增有减图象关于y轴对称单调性奇偶性定性:图形语言定量:符号语言图象关于原点成中心对称在初中，我们利用函数的图像研究过函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质，这一性质叫做函数的单调．接下来我们进一步用符号语言刻画这种性质．先研究

f(x)=x2的单调性．图像特征：

从左往右看，y轴左侧部分是下降的，y轴右侧部分是上升的；两变量的变化关系：

当x＜0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大；符号语言描述：

任意取x1，x2∈(-∞，0]，得到f(x1)=x12，f(x2)=x22，当x1<x2时，有f(x1)>f(x2)．这时我们就说函数f(x)=x2在区间(-∞，0]上是单调递减的．

任意取x1，x2∈[0，+∞)，得到f(x1)=x12，f(x2)=x22，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)．这时我们就说函数f(x)=x2在区间[0，+∞)上是单调递增的．

新知探究

y=-x2y=|x|函数f

(x)

=|x|，f

(x)

=-x2各有怎样的单调性？思考

设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，∀x1，

x2∈D，且x1<x2，如果都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上单调递增；如果都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上单调递减．xy0概念归纳特别的，函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数；函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．

我们说一个函数f(x)的增函数或减函数，一定说在定义域上某个区间上的增（减）函数．

如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．概念归纳（1）设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且∀x1，x2∈A，当x1<x2时都有f

(x1)<f

(x2)，我们能说函数f

(x)在区间D上单调递增吗？

你能举例说明吗？【解析】不能，如图，取A={1，2，3，4}，D=[1，4]，∀x1，x2∈A且x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，但f(x)在区间[1，4]不是单调函数．思考（2）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数的例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？思考

单调递增单调递减定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，∀x1，x2∈D,

当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称函数f(x)在区间D上单调递增,区间D为f(x)的单调递增区间.∀x1，x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)＞f(x2),则称函数f(x)在区间D上单调递减,区间D为f(x)的单调递减区间.图示注：①当函数在其定义域上单调递增(减)时，则称f(x)是增(减)函数.②若f(x)在区间D上单调递增(减)，则称f(x)在区间D具有严格的单调性.常数函数不具有严格的单调性.单调性是局部性质单调性的定义：【例1】根据定义,研究函数

f(x)=kx+b(k≠0)的单调性．课本例题【例2】物理学中的玻意耳定律,(k为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强p将增大.试对此用函数的单调性证明．

【分析】根据题意，只要证明函数是减函数即可.

课本例题【例3】根据定义证明函数在区间(1,+∞)上单调递增．假设作差变形定号定论课本例题1．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．由题中图象先上升后下降可知，工人数在一定范围内时，生产效率随着工人数的增加而提高，而当工人数超过某一数量后，随着工人数的增加，生产效率反而降低．课本练习课本练习课本练习课本练习课本练习混淆“单调区间”与“在区间上单调”致错【典例】

若函数y=|x-2a|在区间(-∞,6]上单调递减,求实数a的取值范围.错解:函数y=|x-2a|的图象如图所示.

因为函数在区间(-∞,6]上单调递减,所以有2a=6,即a=3.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?错因分析提示:错解是由于对“函数的单调区间是(-∞,6]”和“函数在区间(-∞,6]上单调递减”理解不清,将二者等同起来而导致的,事实上,二者的含义是不同的.正解:函数y=|x-2a|的图象如图所示,因为函数在区间(-∞,6]上单调递减,所以有2a≥6,即a≥3.防范措施单调区间是一个整体的概念,例如函数的单调递减区间是D,指的是函数递减的最大范围是区间D,而函数在D上单调递减,则区间D是相应单调递减区间的子区间,在解决此类问题时,一定要将两种不同的说法区分开来.答案:m≥1典例剖析总结归纳总结归纳总结归纳总结归纳总结归纳总结归纳总结归纳函数的单调性核心知识方法总结易错提醒核心素养

当c>0时，函数f(x)与cf(x)的单调性相同;当c<0时，函数f(x)与cf(x)的单调性相反，函数f(x)和g(x)单调性相同，则f(x)+g(x)的单调性与其相同函数f(x)与f(x)+c的单调性相同;单调递增单调区间单调递减图象单调性的判断（1）单调区间必须是